Gemischte Aufgaben zu Bruchgleichungen

Tipp: 3.Binomische Formel $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Bruchgleichungen lösen

Um diese Aufgabe zu lösen, könnten dir die Artikel Binomische Formeln und Bruchgleichungen lösen helfen.

Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:

$${\displaystyle \frac{5}{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac{3}{x-3}}$$

Definitionsmenge bestimmen:

Um die Definitionsmenge bestimmen zu können, musst du sogenannte Definitionslücken der Bruchgleichung finden. Eine Lücke entsteht, sobald der Nenner eines Bruchs 0 wird. Man darf nämlich nicht durch 0 teilen.

Die Definitionsmenge ist also: $𝔻=\{-\mathrm{3,3}\}$

Der erste Nenner ist für x = -3, der zweite Nenner ist für x = -3 und x = 3 und der dritte Nenner ist für x = 3 nicht definiert. Daraus ergibt sich die Definitionsmenge.

Gleichung auflösen

$${\displaystyle \frac{5}{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac{3}{x-3}}$$

$|\cdot (x+3)(x-3)$

$\frac{5(x+3)(x-3)}{x+3}-\frac{-6(x+3)(x-3)}{x^2-9}=\frac{3(x+3)(x-3)}{x-3}$

Kürze die Brüche.

$${\displaystyle 5\cdot (x-3)-\frac{-6(x^2-9)}{x^2-9}=3\cdot (x+3)}$$

Löse den Bruch auf.

$${\displaystyle 5x-15-(-6)=3x+9}$$

Löse die Klammer auf

$${\displaystyle 5x-15+6=3x+9}$$

und forme die Gleichung geeignet um!

$${\displaystyle 5x-3x=9+15-6}$$

$${\displaystyle 2x=18}$$

$|:2$

$${\displaystyle x=9}$$

Die Lösungsmenge ist somit $𝕃=\left\{9\right\}$