Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Wie gut kennst du dich aus? Lerne mit diesen Aufgaben, die Lösung von quadratischen Gleichungen zu lösen.

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Entscheide, ob folgende Gleichungen quadratische Gleichungen sind. Begründe deine Antwort.
$3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$
quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung $3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ ist quadratisch!
Erklärung:
Sie hat die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ):
$\underset{a}{\underset{⏟}{3}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{2}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{1}} = 0$

$\frac{1}{2} x^{2} + 1 = 0$
quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung $\frac{1}{2} x^{2} + 1 = 0$ ist quadratisch!
Erklärung:
Sie hat die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ):
$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 1 = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow \underset{a}{\underset{⏟}{\frac{1}{2}}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{0}} \cdot x + \underset{c}{\underset{⏟}{1}} = 0$

$5 x - 1 = 2 x^{3}$
quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist nicht quadratisch!
Erklärung:
Die Gleichung enthält einen Term dritten Graden ( $2 x^{3}$ ), welches sich nicht durch Äquivalenzumformungen entfernen lässt (z.B. durch kürzen oder subtrahieren)

$x^{2} = 25 x$
quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist quadratisch!
Erklärung:
Durch Umformungen kannst du sie in die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ) bringen:
$x^{2}$ $=$ $25 x$ $- 25 x$
$x^{2} - 25 x$ $=$ $0$
$1 \cdot x^{2} + (- 25) \cdot x + 0$ $=$ $0$
$\underset{a}{\underset{⏟}{1}} \cdot x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(- 25)}} \cdot x + \underset{c}{\underset{⏟}{0}} = 0$

$\frac{1}{3} x + 2 = 0$
quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist nicht quadratisch!
Erklärung:
Für eine quadratische Gleichung benötigt es einen quadratischen Term (etwas mit $x^{2}$ ), welcher hier nicht vorkommt.
(In der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung $a x^{2} + b x + c = 0$ dürfen $b$ und $c$ Null sein, aber nicht $a$ .)

$(x + 1) (x - 2) = 0$
quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist quadratisch!
Erklärung:
Durch Umformungen kannst du sie in die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ) bringen:
$(x + 1) (x - 2)$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$x^{2} - 2 x + x - 2$ $=$ $0$
↓
Fasse zusammen.
$x^{2} - x - 2$ $=$ $0$
$1 \cdot x^{2} + (- 1) \cdot x + (- 2)$ $=$ $0$
$\underset{a}{\underset{⏟}{1}} \cdot x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(- 1)}} \cdot x + \underset{c}{\underset{⏟}{(- 2)}} = 0$

$5 {(x + 1)}^{2} = x$
quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist quadratisch!
Erklärung:
Durch Umformungen kannst du sie in die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ) bringen:
$5 {(x + 1)}^{2}$ $=$ $x$
↓
Löse die binomische Formel.
$5 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$ $=$ $x$
↓
Multipliziere aus,
$5 x^{2} + 10 x + 5$ $=$ $x$ $- x$
$5 x^{2} + 9 x + 5$ $=$ $0$
$\underset{a}{\underset{⏟}{5}} \cdot x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{9}} \cdot x + \underset{c}{\underset{⏟}{5}} = 0$

$x^{2} \cdot (- x + 3) = - 5$
quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist nicht quadratisch!
Erklärung:
Die Gleichung enthält ausmultipliziert einen Term dritten Graden, welches sich nicht durch Äquivalenzumformungen entfernen lässt (z.B. durch kürzen oder subtrahieren)
$x^{2} \cdot (- x + 3)$ $=$ $- 5$
↓
Multipliziere aus.
$- x^{3} + 3 x^{2}$ $=$ $- 5$ $+ 5$
$- x^{3} + 3 x^{2} + 5$ $=$ $0$
Der Term $- x^{3}$ bleibt.

$d x - g x^{2} = h$ (mit $d, g, h \in ℝ$ , $g \neq 0$ )
quadratische Gleichung
keine quadratische Gleichung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die Gleichung ist quadratisch!
Erklärung:
Durch Umformungen kannst du sie in die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ ) bringen:
$d x - g x^{2}$ $=$ $h$ $- h$
$- g x^{2} + d x - h$ $=$ $0$
$(- g) x^{2} + d \cdot x + (- h)$ $=$ $0$
$\underset{a}{\underset{⏟}{(- g)}} \cdot x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{d}} \cdot x + \underset{c}{\underset{⏟}{(- h)}} = 0$
(Da $g \neq 0$ enthält die Gleichung immer einen quadratischen Term.)

Löse die folgenden Gleichungen.

Gib im Eingabefeld die Lösung in der Form $x_{1}; x_{2}$ an, zum Beispiel "4;-1"

${(x - 2)}^{2} = 16$

${(x + 3)}^{2} = 25$

${(x + 8)}^{2} = 36$

${(x - 1)}^{2} = 10$

3
Löse die angegebenen Gleichungen.
Gib die Lösungen in der Form " $x_{1}; x_{2}$ " an. Zum Beispiel: " $4; - 1$ "
$(x - 3) (x + 1) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$(x - 3) (x + 1) = 0$
Damit der Term auf der linken Seite gleich $0$ ist, muss einer der beiden Faktoren gleich $0$ sein. Also entweder:
$(x - 3) = 0$
Dann erhältst du die Lösung $x_{1} = 3$ . Oder:
$(x + 1) = 0$
Dann erhältst du die Lösung $x_{2} = - 1$
Insgesamt hast du also die Lösungsmenge $L = {3; - 1}$ .

$0,5 {(x - 2)}^{2} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$0,5 {(x - 2)}^{2} = 0$
Damit der Term auf der linken Seite gleich $0$ ist, muss der Faktor $(x - 2)$ gleich $0$ sein. Mit:
$(x - 2) = 0$
kommst du auf das Ergebnis $x = 2$ .
Diese Lösung ist eine zweifache Lösung!
Die Lösungsmenge ist $L = {2}$ .

$0,5 x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen quadratischer Gleichungen
$0,5 x^{2} - 2 x + 2 = 0$
Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel lösen:
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot 0,5 \cdot 2}}{2 \cdot 0,5} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{1}$
Unter der Wurzel ergibt sich der Wert $0$ , damit gibt es nur genau eine Lösung und zwar: $x = 2$ .
Die Lösungsmenge ist $L = {2}$ .

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.

Die Lösungen kannst du durch ein Semikolon getrennt in das Lösungsfeld eingeben.

Sie die Lösungen z.B. $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 3$ , so kannst du entweder " $2; - 3$ " oder " $- 3; 2$ " (ohne die Anführungszeichen) eingeben.

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

$x^{2} + 10 x + 9 = 0$

$0,5 x^{2} - 1,5 x - 14 = 0$

$- \frac{1}{2} x^{2} + 7 x + 7,5 = 0$

$2 x^{2} + 2 x - \frac{8}{9} = 0$

$2 x^{2} = x + 1$

5
Löse die folgenden Gleichungen und überprüfe dein Ergebnis mit dem Satz von Vieta.
Gib die Lösung in der Form " $x_{1}; x_{2}$ " an. Zum Beispiel: " $5; - 4$ "
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$a = 1$ , $b = - 5$ und $c = 6$
Die drei Koeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
$x_{1,2} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
$= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} = 3 \\ \Rightarrow x_{2} = 2 \end{array}$
Lösung mit der pq-Formel
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$p = - 5$ und $q = 6$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2} )}^{2} - q} \\ = & - \frac{(- 5)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 5}{2})}^{2} - 6} \\ = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 6} \\ = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{24}{4}} \\ = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \\ = & \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \end{array}$
$\Rightarrow x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$\Rightarrow x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ erfüllen die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\begin{array}{ccccc} I & x_{1} + x_{2} & = & - p \\ I I & x_{1} \cdot x_{2} & = & q \end{array}$
Setze $x_{1} = 3, x_{2} = 2, p = - 5$ und $q = 6$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $I I$ stimmen:
$\begin{array}{ccccc} I & 3 + 2 & = & - (- 5) & ✓ \\ I I & 3 \cdot 2 & = & 6 & ✓ \end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.

$x^{2} - 6 x - 27 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x^{2} - 6 x - 27 = 0$
$a = 1, b = - 6, c = - 27$
Die drei Kooeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
$x_{1,2} = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$
$= \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} = \frac{6 \pm 12}{2}$
$\Rightarrow$ $x_{1} = \frac{18}{2}$ und $x_{2} = \frac{- 6}{2}$
Die Lösungen sind also $x_{1} = 9$ und $x_{2} = - 3$ .
Lösung mit der pq-Formel
$x^{2} - 6 x - 27 = 0$
$p = - 6$ und $q = - 27$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ = & - \frac{- 6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 6}{2})}^{2} - (- 27)} \\ = & \frac{6}{2} \pm \sqrt{\frac{36}{4} + 27} \\ = & 3 \pm \sqrt{9 + 27} \\ = & 3 \pm \sqrt{36} \\ = & 3 \pm 6 \end{array}$
$\Rightarrow x_{1} = 3 + 6 = 9$
$\Rightarrow x_{2} = 3 - 6 = - 3$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ erfüllen die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\begin{array}{l} \begin{array}{ccccc} I & x_{1} + x_{2} & = & - p \\ I I & x_{1} \cdot x_{2} & = & q \end{array} \end{array}$
Setze $x_{1} = 9, x_{2} = - 3, p = - 6$ und $q = - 27$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $I I$ stimmen:
$\begin{array}{ccccc} I & 9 + (- 3) & = & - (- 6) & ✓ \\ I I & 9 \cdot (- 3) & = & - 27 & ✓ \end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.

$\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit Mitternachtsformel
$\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$
Die Koeffizienten sind $a = \frac{1}{3}, b = 3, c = - 12$ .
Eingesetzt in die Mitternachtsformel erhältst du:
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 12)}}{2 \cdot \frac{1}{3}}$
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{\frac{2}{3}}$
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{\frac{2}{3}}$
$=$ $\frac{- 3 \pm 5}{\frac{2}{3}}$
↓
Multipliziere mit dem Kehrbruch.
$=$ $\frac{(- 3 \pm 5) \cdot 3}{2}$
$\Rightarrow x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 12$
Lösung mit der pq-Formel
$\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$
Die pq-Formel lässt sich nur auf Gleichungen der Form $x^{2} + p x + q = 0$ anwenden. Klammere also zuerst $\frac{1}{3}$ aus:
$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} (x^{2} + 9 x - 36) & = & 0 & | \cdot 3 \\ x^{2} + 9 x - 36 & = & 0 \end{array}$
$p = 9$ und $q = - 36$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2} )^{2} - q} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - (- 36)} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} + 36} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{144}{4}} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{225}{4}} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{{(\frac{15}{2})}^{2}} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \frac{15}{2} \end{array}$
$\Rightarrow x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{15}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$\Rightarrow x_{2} = - \frac{9}{2} - \frac{15}{2} = - \frac{24}{2} = - 12$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ erfüllen die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\begin{array}{ccccc} I & x_{1} + x_{2} & = & - p \\ I I & x_{1} \cdot x_{2} & = & q \end{array}$
Geg: $\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$
Da $a = \frac{1}{3} \neq 1$ ist muss man zuerst $a$ ausklammern, um den Satz von Vieta anwenden zu können.
$\frac{1}{3} (x^{2} + 9 x - 36) = 0$
Hierauf kannst du den Satz von Vieta nun anwenden.
Setze $x_{1} = 3, x_{2} = - 12, p = 9$ und $q = - 36$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $I I$ stimmen:
$\begin{array}{ccccc} I & 3 + (- 12) & = & - 9 = 5 & ✓ \\ I I & 3 \cdot (- 12) & = & - 36 & ✓ \end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
6
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen ( $𝔻 = ℝ ∖ {0}$ ) und kontrolliere dein Ergebnis graphisch, z. B. mit Hilfe eines Funktionsplotters.
Gib die Lösung in der Form " $x_{1}, x_{2}$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $5; - 2,5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $- 2,5$ ".
$11 = 2 x + \frac{12}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
$11$ $=$ $2 x + \frac{12}{x}$ $\cdot x$
$11 x$ $=$ $2 x^{2} + 12$ $- 11 x$
$0$ $=$ $2 x^{2} + 12 - 11 x$
Nun kann man die Diskriminante D berechnen:
$D$ $=$ $121 - 4 \cdot 2 \cdot 12$
$=$ $25$
Da $D = 25 > 0$ , erhalten wir zwei Lösungen. Man kann nun die Mitternachtsformel anwenden. Die Lösungen lauten:
$x_{1}$ $=$ $\frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
$=$ $\frac{16}{4}$
$=$ $4$
$x_{2}$ $=$ $\frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
$=$ $\frac{6}{4}$
$=$ $1,5$
Die Lösungsmenge lautet $L = {1,5; 4}$ . Der gezeichnete Graph sieht so aus:

$3 (x + 2) + \frac{3}{x} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
$0$ $=$ $3 (x + 2) + \frac{3}{x}$
↓
Ausmultiplizieren
$=$ $3 x + 6 + \frac{3}{x}$ $\cdot x$
$0$ $=$ $3 x^{2} + 6 x + 3$
Nun kann man die Diskriminante D berechnen:
$D$ $=$ $36 - 4 \cdot 3 \cdot 3$
$=$ $0$
Da $D = 0$ , erhalten wir eine Lösungen. Man kann nun die Mitternachtsformel anwenden. Die Lösung lautet:
$x$ $=$ $\frac{- 6}{2 \cdot 3}$
$=$ $- \frac{6}{6}$
$=$ $- 1$
Die Lösungsmenge lautet $L = {- 1}$ .

Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:

$x_{1 / 2} = \frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$
↓
Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{164}}{2}$
↓
Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{41}}{2}$
↓
Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1 / 2}$ $=$ $- 7 \pm \sqrt{41}$

$x_{1 / 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}}}{2 \sqrt{7}}$

Berechne möglichst geschickt die Lösungen der folgenden Gleichungen. Überprüfe deine Ergebnisse grafisch, z. B. mithilfe eines Funktionsplotters.

$2 x^{2} + 16 = 12 x$

$2 = {(3 + x)}^{2}$

$- x^{2} - 2 = 0,25 + 9 x$

$2 x + x + 16 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen
Lösungen von Gleichungen
$2 x + x + 16$ $=$ $0$
$3 x + 16$ $=$ $0$ $- 16$
$3 x$ $=$ $- 16$ $: 3$
$x$ $=$ $\frac{- 16}{3}$
$=$ $- 5 \frac{1}{3}$
$\approx$ $- 5,3$
Graphen zeichen

$x^{2} + \sqrt{2} x - 1 = 0$

$x^{2} - x = x - x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Quadratische Gleichung
$x^{2} - x$ $=$ $x - x^{2}$ $- x + x^{2}$
$x^{2} - x - x + x^{2}$ $=$ $0$
↓
Gleiches zusammenfassen
$2 x^{2} - 2 x$ $=$ $0$
↓
x ausklammern.
$x (2 x - 2)$ $=$ $0$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} \end{array}$ $=$ $0$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{2} \end{array}$ $=$ $1$

9
Gib jeweils eine quadratische Gleichung mit der angegebenen Eigenschaft an.
Die Gleichung hat nur die Lösung –2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Die Gleichung hat nur die Lösung –2.
Zerlegung in Linearfaktoren.
$(x + 2) (x + 2)$
Zusammenfassen.
${(x + 2)}^{2} = 0$

Die Gleichung hat keine Lösungen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Damit die Gleichung keine Lösung hat muss eine unwahre Aussage entstehen.
Dies geschieht beispielsweise bei allen Gleichungen, auf deren einer Seite $x^{2}$ und auf deren anderen eine negative Zahl steht.
Beispielsweise:
$x^{2} = - 1$

Die Gleichung hat die Lösungen –2 und 2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Die Gleichung hat die Lösungen –2 und 2.
Zerlegung in Linearfaktoren.
$(x + 2) (x - 2)$
Binomische Formel anwenden.
$0 = x^{2} - 4$

Die Gleichung hat die Lösungen –1 und –3.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
$x_{1} = - 1; x_{2} = - 3$
Angabe der Nullstellen mit Hilfe der Faktorschreibweise:
$(x + 1) \cdot (x + 3) = 0$
Ausmultiplizieren.
$x^{2} + 3 x + x + 3 = 0$
$x^{2} + 4 x + 3 = 0$

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

Gib die Lösung in der Form " $x_{1}, x_{2}$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $3; - 5,5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $- 5,5$ ".

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
Die Lösung erfolgt hier mit der pq-Formel.
$x^{2} - 9 x + 20 = 0$
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = - 9$ und $q = 20$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 9$ und $q = 20$ ein.
$=$ $- \frac{(- 9)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 9}{2})}^{2} - 20}$
↓
Vereinfache.
$=$ $4,5 \pm \sqrt{20,25 - 20}$
$=$ $4,5 \pm \sqrt{0,25}$
$=$ $4,5 \pm 0,5$
$x_{1}$ $=$ $4,5 - 0,5$
$x_{1}$ $=$ $4$
$x_{2}$ $=$ $4,5 + 0,5$
$x_{2}$ $=$ $5$
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $𝕃 = {4; 5}$
$x^{2} + 11 x = - 18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
Bringe die Gleichung zunächst in die Normalform:
$x^{2} + 11 x$ $=$ $- 18$ $+ 18$
↓
Bringe in die Normalform.
$x^{2} + 11 x + 18$ $=$ $0$
Die Lösung der quadratischen Gleichung $x^{2} + 11 x + 18 = 0$ erfolgt hier mit der pq-Formel.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = 11$ und $q = 18$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 11$ und $q = 18$ ein.
$=$ $- \frac{11}{2} \pm \sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} - 18}$
↓
Vereinfache.
$=$ $- 5,5 \pm \sqrt{30,25 - 18}$
$=$ $- 5,5 \pm \sqrt{12,25}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $- 5,5 \pm 3,5$
$x_{1}$ $=$ $- 5,5 - 3,5$
$x_{1}$ $=$ $- 9$
$x_{2}$ $=$ $- 5,5 + 3,5$
$x_{2}$ $=$ $- 2$
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $𝕃 = {- 9; - 2}$

$3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$

$x^{2} - 153 = 8 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
Bringe die quadratische Gleichung zunächst in die Normalform.
$x^{2} - 153$ $=$ $8 x$ $- 8 x$
↓
Normalform herstellen.
$x^{2} - 8 x - 153$ $=$ $0$
Die Lösung der quadratischen Gleichung $x^{2} - 8 x - 153 = 0$ erfolgt hier mit der pq-Formel.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = - 8$ und $q = - 153$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 8$ und $q = - 153$ ein.
$=$ $- \frac{(- 8)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 8}{2})}^{2} - (- 153)}$
↓
Vereinfache.
$=$ $4 \pm \sqrt{16 + 153}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $4 \pm \sqrt{169}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $4 \pm 13$
$x_{1}$ $=$ $4 - 13$
$x_{1}$ $=$ $- 9$
$x_{2}$ $=$ $4 + 13$
$x_{2}$ $=$ $17$
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $𝕃 = {- 9; 17}$
$45 + 30 x = - 5 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
Bringe die quadratische Gleichung zunächst in die Normalform.
$45 + 30 x$ $=$ $- 5 x^{2}$ $+ 5 x^{2}$
↓
Normalform herstellen.
$5 x^{2} + 30 x + 45$ $=$ $0$
Die Lösung der quadratischen Gleichung $5 x^{2} + 30 x + 45 = 0$ erfolgt hier mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
$a = 5$ , $ b = 30$ und $c = 45$
$x_{1, 2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = 5$ , $b = 30$ und $c = 45$ ein.
$=$ $\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 45}}{2 \cdot 5}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 900}}{10}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{- 30 \pm \sqrt{0}}{10}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $\frac{- 30 \pm 0}{10}$
↓
Kürze.
$=$ $- 3$
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet: $𝕃 = {- 3}$

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} = 0$

$8 x^{2} + 4 x = 4$

$2 x^{2} + 8,8 x + 8,4 = 0$

$13 x^{2} + 18,2 x + 3,12 = 0$

11
Löse die quadratischen Gleichung und gib die Lösungsmenge an.
$x^{2} - 10 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$x^{2} - 10$ $=$ $0$ $+ 10$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf
$x^{2}$ $=$ $10$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 10 ergibt: $\sqrt{10}$ und $- \sqrt{10}$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $\sqrt{10}$ und $- \sqrt{10}$ .
Die Lösungsmenge ist dann $𝕃 = {- \sqrt{10}; \sqrt{10}}$

$\frac{1}{3} \cdot x^{2} - 12 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$\frac{1}{3} \cdot x^{2} - 12$ $=$ $0$ $+ 12$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf
$\frac{1}{3} \cdot x^{2}$ $=$ $12$ $\cdot 3$
$x^{2}$ $=$ $36$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 36 ergibt: $6$ und $- 6$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $6$ und $- 6$ .
Die Lösungsmenge ist dann $𝕃 = {- 6; 6}$

$2 \cdot x^{2} + \frac{1}{2} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$2 \cdot x^{2} + \frac{1}{2}$ $=$ $0$ $- \frac{1}{2}$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf
$2 \cdot x^{2}$ $=$ $- \frac{1}{2}$ $: 2$
$x^{2}$ $=$ $- \frac{1}{4}$ $\sqrt{}$
↓
Beachte, dass es keine Lösung gibt, wenn du von einer negativen Zahl die Wurzel ziehen willst.
Antwort: Diese Gleichung hat keine Lösung.
Die Lösungsmenge ist $𝕃 = {}$ .

$9 \cdot x^{2} + 23 = 6 \cdot x^{2} + 50$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$9 \cdot x^{2} + 23$ $=$ $6 \cdot x^{2} + 50$ $- 6 \cdot x^{2}$
↓
Terme mit $x^{2}$ auf eine Seite bringen.
$3 \cdot x^{2} + 23$ $=$ $50$ $- 23$
↓
Nach $x^{2}$ auflösen.
$3 \cdot x^{2}$ $=$ $27$ $: 3$
$x^{2}$ $=$ $9$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 9 ergibt: $3$ und $- 3$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $3$ und $- 3$ .
Die Lösungsmenge ist dann $𝕃 = {- 3; 3}$
12
Bestimme die Lösungen der Gleichung und gib die Lösungsmenge an.
Gib die Lösung in der Form " $x_{1}, x_{2}$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $3 / 5; - 5,5$ ".
$x^{2} = 20 \cdot x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$x^{2}$ $=$ $20 \cdot x$ $- 20 \cdot x$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.

$x^{2} - 20 \cdot x$ $=$ $0$
↓
Klammere $x$ aus.
$x \cdot (x - 20)$ $=$ $0$
↓
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.
1. Faktor: $x = 0$
2. Faktor: $x - 20 = 0 \Rightarrow x = 20$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {0; 20}$
Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.

$2 x \cdot (x - 2,5) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $2 x = 0 \Rightarrow x = 0$
2. Faktor: $x - 2,5 = 0 \Rightarrow x = 2,5$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {0; 2,5}$
Wende den Satz vom Nullprodukt an.

$2 x^{2} + 5 x = 5 x^{2} - 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$2 x^{2} + 5 x$ $=$ $5 x^{2} - 2 x$ $- 2 x^{2}$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.

$5 x$ $=$ $3 x^{2} - 2 x$ $- 5 x$
$0$ $=$ $3 x^{2} - 7 x$
↓
Klammere $x$ aus.
$0$ $=$ $x \cdot (3 x - 7)$
↓
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.
1. Faktor: $x = 0$
2. Faktor: $3 x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {0; \frac{7}{3}}$
Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.

$\frac{1}{2} x^{2} = 8 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$\frac{1}{2} x^{2}$ $=$ $8 \cdot x$ $- 8 \cdot x$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.

$\frac{1}{2} x^{2} - 8 x$ $=$ $0$
↓
Klammere $x$ aus.
$x \cdot (\frac{1}{2} x - 8)$ $=$ $0$
↓
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.
1. Faktor: $x = 0$
2. Faktor: $\frac{1}{2} x - 8 = 0 \Rightarrow x = 16$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {0; 16}$
Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.
13
Bestimme die Lösungen der Gleichung und gib die Lösungsmenge an.
Gib die Lösung in der Form " $x_{1}, x_{2}$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $- (5 / 7); - 5,5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $- 5,5$ ".
$3 \cdot (x - 1,5) \cdot (x + 2) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $3 \neq 0$
2. Faktor: $x - 1,5 = 0 \Rightarrow x = 1,5$
3. Faktor: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- 2; 1,5}$
Wende den Satz vom Nullprodukt an.

$(3 x - 2) \cdot (\frac{1}{2} x + 4) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $3 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
2. Faktor: $\frac{1}{2} x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 8$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- 8; \frac{2}{3}}$
Wende den Satz vom Nullprodukt an.

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$x^{2} + 4 x + 4$ $=$ $0$
↓
Wende die 1.binomische Formel an.
$(x + 2)^{2}$ $=$ $0$
↓
Schreibe die linke Seite als Produkt.
$(x + 2) \cdot (x + 2)$ $=$ $0$
↓
Wende den Satz vom Nullprodukt an.
1. Faktor: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$
2. Faktor: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$
Die Gleichung hat eine doppelte Lösung $x_{1,2} = - 2$ und damit die Lösungsmenge: $𝕃 = {- 2}$
Forme die linke Seite der Gleichung mit Hilfe einer binomischen Formel um. Wende dann den Satz vom Nullprodukt an.

$(4 x - \frac{2}{3}) \cdot (\frac{1}{3} x + \frac{1}{8}) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $4 x - \frac{2}{3} = 0$
$4 x - \frac{2}{3}$ $=$ $0$ $+ \frac{2}{3}$
↓
Löse nach $x$ auf.
$4 x$ $=$ $\frac{2}{3}$ $: 4$
$x$ $=$ $\frac{2}{3 \cdot 4}$
↓
Kürze
$x$ $=$ $\frac{1}{3 \cdot 2}$
$x$ $=$ $\frac{1}{6}$
2. Faktor: $\frac{1}{3} x + \frac{1}{8} = 0$
$\frac{1}{3} x + \frac{1}{8}$ $=$ $0$ $- \frac{1}{8}$
↓
Löse nach $x$ auf.
$\frac{1}{3} x$ $=$ $- \frac{1}{8}$ $\cdot 3$
$x$ $=$ $- \frac{3}{8}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- \frac{3}{8}; \frac{1}{6}}$
Wende den Satz vom Nullprodukt an.

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung.

Gib die Lösung in der Form " $x_{1}, x_{2}$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $3; - 5,5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $- 5,5$ ". Bei einer leeren Lösungsmenge schreibe "leer".

$2 (x - 2)^{2} - 32 = 0$

$\frac{1}{3} {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 = 0$

$4 (x + 3)^{2} + 12 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$4 (x + 3)^{2} + 12$ $=$ $0$ $- 12$
↓
Bringe $12$ auf die andere Seite.
$4 (x + 3)^{2}$ $=$ $- 12$ $: 4$
↓
Teile durch $4$ .
$(x + 3)^{2}$ $=$ $- 3$ $\sqrt{}$
↓
Beachte, dass es keine Lösung gibt, wenn du von einer negativen Zahl die Wurzel ziehen willst.
Antwort: Diese Gleichung hat keine Lösung.
Die Lösungsmenge ist $𝕃 = {}$ .
Wende die Technik des Rückwärtsrechnens an.

$\frac{2}{5} {(x + 0,85)}^{2} - 10 = 0$

15
Löse die quadratischen Gleichung und gib die Lösungsmenge an.
$4 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = 4; b = - 5; c = - 6$
Mitternachtsformel: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1, 2}$ $=$ $\frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 4}$
↓
Berechne die Wurzel
$=$ $\frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{8}$
$=$ $\frac{5 \pm \sqrt{121}}{8}$
$=$ $\frac{5 \pm 11}{8}$
$x_{1} = \frac{5 + 11}{8} = \frac{16}{8} = 2$
$x_{2} = \frac{5 - 11}{8} = - \frac{6}{8} = - \frac{3}{4}$
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- \frac{3}{4}; 2}$
Verwende die Mitternachtsformel.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = 3; b = 2; c = - 1$
Mitternachtsformel: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3}$
↓
Berechne die Wurzel
$=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}$
$=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{6}$
$=$ $\frac{- 2 \pm 4}{6}$
$x_{1} = \frac{- 2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_{2} = \frac{- 2 - 4}{6} = - \frac{6}{6} = - 1$
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- 1; \frac{1}{3}}$
Verwende die Mitternachtsformel.

$- 5 x^{2} + 3 x - 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = - 5; b = 3; c = - 2$
Mitternachtsformel: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 5)}$
↓
Berechne die Wurzel
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{- 10}$
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{- 10}$
Es gibt keine Lösung der Gleichung, wenn Du von einer negativen Zahl die Wurzel ziehen willst. Die Lösungsmenge ist: $𝕃 = {}$
Verwende die Mitternachtsformel.

$x^{2} + 4 x - 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = 4; q = - 2$
pq-Formel: $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - (- 2)}$
$=$ $- 2 \pm \sqrt{4 + 2}$
$=$ $- 2 \pm \sqrt{6}$
$x_{1} = - 2 + \sqrt{6}$
$x_{2} = - 2 - \sqrt{6}$
Antwort: Die Gleichung hat die Lösungsmenge:
$𝕃 = {- 2 - \sqrt{6}; - 2 + \sqrt{6}}$
Die Gleichung liegt in der Normalform vor. Du kannst die pq-Formel verwenden.

Löse die quadratischen Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

$4 \cdot (x + \frac{3}{7}) \cdot (x - \frac{1}{8}) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $4 \neq 0$
2. Faktor: $x + \frac{3}{7} = 0 \Rightarrow x = - \frac{3}{7}$
3. Faktor: $x - \frac{1}{8} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{8}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- \frac{3}{7}; \frac{1}{8}}$
Wende den Satz vom Nullprodukt an.
$\frac{1}{8} x^{2} = 18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$\frac{1}{8} x^{2}$ $=$ $18$ $\cdot 8$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf
$x^{2}$ $=$ $144$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 144 ergibt: $12$ und $- 12$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $12$ und $- 12$ .
Die Lösungsmenge ist dann $𝕃 = {- 12; 12}$ .
$5 x^{2} = - 4 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$5 x^{2}$ $=$ $- 4 x$ $+ 4 x$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$5 x^{2} + 4 x$ $=$ $0$
↓
Klammere $x$ aus.
$x \cdot (5 x + 4)$ $=$ $0$
↓
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.
1. Faktor: $x = 0$
2. Faktor: $5 x + 4 = 0 \Rightarrow x = - \frac{4}{5}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {0; - \frac{4}{5}}$
Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.
$- 12 x + 32 = - x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$- 12 x + 32$ $=$ $- x^{2}$ $+ x^{2}$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$x^{2} - 12 x + 32$ $=$ $0$
↓
Wende die pq-Formel an.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = - 12; q = 32$
pq-Formel: $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{(- 12)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 12}{2})}^{2} - 32}$
$=$ $6 \pm \sqrt{36 - 32}$
$=$ $6 \pm \sqrt{4}$
$=$ $6 \pm 2$
$x_{1} = 6 + 2 = 8$
$x_{2} = 6 - 2 = 4$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {4; 8}$
Bringe alle Summanden auf eine Seite und wende die pq-Formel an.
$\frac{5}{2} x^{2} + \frac{7}{8} x - \frac{3}{8} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = \frac{5}{2}; b = \frac{7}{8}; c = - \frac{3}{8}$
Mitternachtsformel: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{{(\frac{7}{8})}^{2} - 4 \cdot (\frac{5}{2}) \cdot (- \frac{3}{8})}}{2 \cdot (\frac{5}{2})}$
$=$ $\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{\frac{49}{64} + \frac{60}{16}}}{5}$
↓
Bringe die Brüche auf den Hauptnenner.
$=$ $\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{\frac{49}{64} + \frac{240}{64}}}{5}$
$=$ $\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{\frac{289}{64}}}{5}$
$=$ $\frac{- \frac{7}{8} \pm \frac{17}{8}}{5}$
$=$ $- \frac{7}{40} \pm \frac{17}{40}$
$x_{1} = - \frac{7}{40} + \frac{17}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$
$x_{2} = - \frac{7}{40} - \frac{17}{40} = - \frac{24}{40} = - \frac{3}{5}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- \frac{3}{5}; \frac{1}{4}}$
Wende die Mitternachtsformel an.

$3 \cdot {(x - \frac{1}{7})}^{2} - 12 = 0$

$2 x^{2} - 72 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$2 x^{2} - 72$ $=$ $0$ $+ 72$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf.
$2 x^{2}$ $=$ $72$ $: 2$
$x^{2}$ $=$ $36$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 36 ergibt: $6$ und $- 6$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $6$ und $- 6$ .
Die Lösungsmenge ist dann $𝕃 = {- 6; 6}$ .
$- 6 x^{2} = \frac{1}{3} x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$- 6 x^{2}$ $=$ $\frac{1}{3} x$ $+ 6 x^{2}$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$0$ $=$ $6 x^{2} + \frac{1}{3} x$
↓
Klammere $x$ aus.
$0$ $=$ $x (6 x + \frac{1}{3})$
↓
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.
1. Faktor: $x = 0$
2. Faktor: $6 x + \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{18}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- \frac{1}{18}; 0}$
Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.

$(8 x + 12) \cdot (3 x - 15) = 0$

$- 2 \cdot {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 4 = 0$

17
Lies aus der quadratischen Gleichung die Werte für die Koeffizienten $a, b$ und $c$ ab.
$2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$
$a = 2; b = - 3; c = - 4$
$a = - 2; b = 3; c = - 4$
$a = 2; b = 3; c = - 4$
$a = - 2; b = - 3; c = - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $a x^{2} + b x + c = 0$ .
$a$ ist der Koeffizient vor dem $x^{2}$ , d.h. hier ist $a = 2$ .
$b$ ist der Koeffizient vor dem $x$ , d.h. hier ist $b = 3$ .
$c$ ist der konstante Summand, d.h. hier ist $c = - 4$ .

$- 2 x - 0,5 x^{2} + 0,5 = 0$
$a = - 2; b = - 0,5; c = 0,5$
$a = - 0,5; b = - 2; c = 0,5$
$a = 0,5; b = 2; c = - 0,5$
$a = - 0,5; b = - 2; c = - 0,5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $a x^{2} + b x + c = 0$ .
$- 2 x - 0,5 x^{2} + 0,5 = 0$
Sortiere die Gleichung in der richtigen Reihenfolge, d.h. zuerst der quadratische Summand, dann der lineare Summand und schließlich der konstante Summand.
$- 0,5 x^{2} - 2 x + 0,5 = 0$
$a$ ist der Koeffizient vor dem $x^{2}$ , d.h. hier ist $a = - 0,5$ .
$b$ ist der Koeffizient vor dem $x$ , d.h. hier ist $b = - 2$ .
$c$ ist der konstante Summand, d.h. hier ist $c = 0,5$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{3}{7} x + \frac{2}{3} x^{2} = 0$
$a = - \frac{1}{8}; b = \frac{3}{7}, c = \frac{2}{3}$
$a = - \frac{2}{3}; b = - \frac{3}{7}, c = \frac{1}{8}$
$a = - \frac{2}{3}, b = \frac{3}{7}, c = - \frac{1}{8}$
$a = \frac{2}{3}, b = \frac{3}{7}, c = - \frac{1}{8}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichung
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $a x^{2} + b x + c = 0$ .
$- \frac{1}{8} + \frac{3}{7} x + \frac{2}{3} x^{2} = 0$
Sortiere die Gleichung zuerst in der richtigen Reihenfolge, d.h. schreibe zuerst den quadratischen Summanden auf, dann den linearen Summanden und schließlich den konstanten Summanden.
$\frac{2}{3} x^{2} + \frac{3}{7} x - \frac{1}{8} = 0$
$a$ ist der Koeffizient vor dem $x^{2}$ , d.h. hier ist $a = \frac{2}{3}$ .
$b$ ist der Koeffizient vor dem $x$ , d.h. hier ist $b = \frac{3}{7}$ .
$c$ ist der konstante Summand, d.h. hier ist $c = - \frac{1}{8}$ .
18
Lies aus der quadratischen Gleichung die Werte für die Koeffizienten $a, b$ und $c$ ab.
$5 x^{2} + 3 = 0$
$a = 5; b = 1; c = 3$
$a = 5 x^{2}; b = 0; c = 3$
$a = 5, b = 0, c = 3$
$a = 5; b = 0; c = - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $a x^{2} + b x + c = 0.$
$a$ ist der Koeffizient vor dem $x^{2}$ , d.h. hier ist $a = 5$ .
$b$ ist der Koeffizient vor dem $x$ . In der Gleichung tritt kein $x$ auf, d.h. hier ist $b = 0$ .
$c$ ist der konstante Summand, d.h. hier ist $c = 3$ .

$- 2 x^{2} + 2 x = 0$
$a = 2; b = 2; c = 2 x$
$a = - 2; b = 2; c = 0$
$a = - 2 x^{2}, b = 0 x, c = 2 x$
$a = - 2; b = 0, c = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $a x^{2} + b x + c = 0.$
Die quadratische Gleichung in dieser Aufgabe lautet: $- 2 x^{2} + 2 x = 0$
$a$ ist der Koeffizient vor dem $x^{2}$ , d.h. hier ist $a = - 2$ .
$b$ ist der Koeffizient vor dem $x$ . d.h. hier ist $b = 2$ .
Es gibt keinen konstanten Summanden $c$ , d.h. hier ist $c = 0$ .
19
Bringe die Gleichung zuerst in die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung und lies dann die Werte für die Koeffizienten $a, b$ und $c$ ab.
$\frac{1}{2} (x - 2) \cdot (2 x + 3) = 0$
$a = 0; b = - \frac{1}{2}; c = - 3$
$a = - 2; b = - \frac{1}{2} x; c = - 3$
$a = \frac{1}{2}; b = 1; c = - 3$
$a = 1; b = - \frac{1}{2}; c = - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $a x^{2} + b x + c = 0$ .
$\frac{1}{2} (x - 2) \cdot (2 x + 3) = 0$
Du musst die Klammern ausmultiplizieren und die linke Seite zusammenfassen.
$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6) = 0 \Rightarrow$
$\frac{1}{2} (2 x^{2} - x - 6) = 0 \Rightarrow$
$x^{2} - \frac{1}{2} x - 3 = 0$
$a$ ist der Koeffizient vor dem $x^{2}$ , d.h. hier ist $a = 1$ .
$b$ ist der Koeffizient vor dem $x$ , d.h. hier ist $b = - \frac{1}{2}$ .
$c$ ist der konstante Summand, d.h. hier ist $c = - 3$ .

$(x - 4)^{2} + 3 = 0$
$a = 1; b = 8; c = - 19$
$a = - 4; b = 0; c = 3$
$a = 1; b = - 8; c = 19$
$a = 0; b = - 4; c = 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: $a x^{2} + b x + c = 0$ .
$(x - 4)^{2} + 3 = 0$
Du musst die Klammer mit der binomischen Formel ausmultiplizieren und die linke Seite zusammenfassen.
$(x^{2} - 8 x + 16) + 3 = 0 \Rightarrow$
$x^{2} - 8 x + 19 = 0$
$a$ ist der Koeffizient vor dem $x^{2}$ , d.h. hier ist $a = 1$ .
$b$ ist der Koeffizient vor dem $x$ , d.h. hier ist $b = - 8$ .
$c$ ist der konstante Summand, d.h. hier ist $c = 19$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

${(x - 2)}^{2}$	$=$	$16$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x - 2)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{16}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x - 2 \|$	$=$	$4$

Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

1. Fall

2. Fall

1. Fall

2. Fall

1. Fall

2. Fall

1. Fall

2. Fall

Lösung mit der Mitternachtsformel

Lösung mit der pq-Formel

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

Lösung mit der Mitternachtsformel

Lösung mit der pq-Formel

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

Lösung mit Mitternachtsformel

Lösung mit der pq-Formel

Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta

Graphen zeichnen

Gleichung bestimmen

Graphen zeichnen

Quadratische Gleichung lösen

Graphische Darstellung

Lösungen von Gleichungen

Graphen zeichen

Lösung mit Hilfe der pq-Formel:

Quadratische Gleichung

$x^{2}$	$=$	$25 x$	$- 25 x$
$x^{2} - 25 x$	$=$	$0$
$1 \cdot x^{2} + (- 25) \cdot x + 0$	$=$	$0$

$(x + 1) (x - 2)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$x^{2} - 2 x + x - 2$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$x^{2} - x - 2$	$=$	$0$
$1 \cdot x^{2} + (- 1) \cdot x + (- 2)$	$=$	$0$

$5 {(x + 1)}^{2}$	$=$	$x$
	↓	Löse die binomische Formel.
$5 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$	$=$	$x$
	↓	Multipliziere aus,
$5 x^{2} + 10 x + 5$	$=$	$x$	$- x$
$5 x^{2} + 9 x + 5$	$=$	$0$

$x^{2} \cdot (- x + 3)$	$=$	$- 5$
	↓	Multipliziere aus.
$- x^{3} + 3 x^{2}$	$=$	$- 5$	$+ 5$
$- x^{3} + 3 x^{2} + 5$	$=$	$0$

$d x - g x^{2}$	$=$	$h$	$- h$
$- g x^{2} + d x - h$	$=$	$0$
$(- g) x^{2} + d \cdot x + (- h)$	$=$	$0$

$x - 2$	$=$	$- 4$	$+ 2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$- 2$

${(x + 3)}^{2}$	$=$	$25$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x + 3)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{25}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x + 3 \|$	$=$	$5$

$x + 3$	$=$	$- 5$	$- 3$
	↓	Gleichung nach x auflösen
$x$	$=$	$- 8$

${(x + 8)}^{2}$	$=$	$36$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x + 8)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{36}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x + 8 \|$	$=$	$6$

$x + 8$	$=$	$6$	$- 8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$- 2$

$0,5 x^{2} - 1,5 x - 14$	$=$	$0$
	↓	0,5 ausklammern.
$0,5 (x^{2} - 3 x) - 14$	$=$	$0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$0,5 (x^{2} - 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}) - 14$	$=$	$0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$0,5 ({(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}) - 14$	$=$	$0$
	↓	Ausmultiplizieren.
$0,5 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{8} - 14$	$=$	$0$	$+ 14 + \frac{9}{8}$
	↓	Gleichung umformen.
$0,5 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$	$=$	$14 + \frac{9}{8}$	$\cdot 2$
${(x - \frac{3}{2})}^{2}$	$=$	$28 + \frac{9}{4}$	$\sqrt{}$
$x - \frac{3}{2}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{121}{4}}$	$+ \frac{3}{2}$
$x$	$=$	$\frac{3}{2} \pm \frac{11}{2}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 4; 7}$

$x_{1}$	$=$	$\frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{16}{4}$
	$=$	$4$

$x_{2}$	$=$	$\frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{6}{4}$
	$=$	$1,5$

$2$	$=$	${(3 + x)}^{2}$	$- 2$
$0$	$=$	${(3 + x)}^{2} - 2$
	↓	Klammer mit Hilfe der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren.
$0$	$=$	$x^{2} + 6 x + 9 - 2$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen
	$=$	$x^{2} + 6 x + 7$
	↓	Diskriminante berechnen
$D$	$=$	$6^{2} - 4 \cdot^{\cdot 7}$
	$=$	$36 - 28 = 8$
$\Rightarrow 8$	$>$	$0$
	↓	daher 2 Lösungen
$0$	$=$	$x^{2} + 6 x + 7$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzten, dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 6 + 2 \sqrt{2}}{2} = - 3 + \sqrt{2}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 6 - 2 \sqrt{2}}{2} = - 3 - \sqrt{2}$
$L$	$=$	${- 3 + \sqrt{2}; - 3 - \sqrt{2}}$

$x + 8$	$=$	$- 6$	$- 8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$- 14$

${(x - 1)}^{2}$	$=$	$10$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{10}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x - 1 \|$	$=$	$\sqrt{10}$

$x - 1$	$=$	$\sqrt{10}$	$+ 1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$1 + \sqrt{10}$

$x - 1$	$=$	$- \sqrt{10}$	$+ 1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$1 - \sqrt{10}$

$x^{2} + 6 x - 16$	$=$	$0$
	↓	Quadratisch ergänzen mit $3^{2}$ .
$x^{2} + 6 x + 3^{2} - 3^{2} - 16$	$=$	$0$
	↓	Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.
${(x + 3)}^{2} - 9 - 16$	$=$	$0$
	↓	Zusammenfassen
${(x + 3)}^{2} - 25$	$=$	$0$	$+ 25$
${(x + 3)}^{2}$	$=$	$25$	$\sqrt{}$
$x + 3$	$=$	$\pm 5$	$- 3$
$x$	$=$	$\pm 5 - 3$
$x_{1}$	$=$	$- 8$
$x_{2}$	$=$	$2$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 8; 2}$

$x^{2} + 10 x + 9$	$=$	$0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $5^{2}$ .
$x^{2} + 2 \cdot 5 x + 5^{2} - 5^{2} + 9$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$(x^{2} + 2 \cdot 5 x + 5^{2}) - 16$	$=$	$0$
	↓	Fasse als 1. binomische Formel zusammen.
${(x + 5)}^{2} - 16$	$=$	$0$	$+ 16$
${(x + 5)}^{2}$	$=$	$16$	$\sqrt{}$
$x + 5$	$=$	$\pm 4$
$x_{1}$	$=$	$4 - 5 = - 1$
$x_{2}$	$=$	$- 4 - 5 = - 9$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 1; - 9}$

$- \frac{1}{2} x^{2} + 7 x + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Klammere $- \frac{1}{2}$ vor den x-Termen aus.
$- \frac{1}{2} (x^{2} - 14 x) + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $7^{2}$ .
$- \frac{1}{2} (x^{2} - 2 \cdot 7 x + 7^{2} - 7^{2}) + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Fasse als 2. binomische Formel zusammen.
$- \frac{1}{2} ({(x - 7)}^{2} - 49) + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$- \frac{1}{2} ({(x - 7)}^{2}) + 24,5 + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$- \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2} + 32$	$=$	$0$	$- 32$
$- \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2}$	$=$	$- 32$	$- 2$
${(x - 7)}^{2}$	$=$	$64$
	↓	Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.
$x - 7$	$=$	$\pm 8$
	↓	Forme weiter um.
$x_{1}$	$=$	$8 + 7 = 15$
$x_{2}$	$=$	$- 8 + 7 = - 1$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 1; 15}$

$2 x^{2} + 2 x - \frac{9}{8}$	$=$	$0$
	↓	Klammere den Faktor $2$ vor den x-Termen aus.
$2 (x^{2} + x) - \frac{8}{9}$	$=$	$0$
	↓	Ergänze quadratisch mit ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .
$2 (x^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} x + {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{8}{9}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.
$2 ({(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}) - \frac{8}{9}$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - \frac{16}{18}$	$=$	$0$
	↓	Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{18} - \frac{16}{18}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{18}$	$=$	$0$	$+ \frac{25}{18}$
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$\frac{25}{18}$	$\cdot \frac{1}{2}$
${(x + \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$\frac{25}{36}$	$\sqrt{}$
$x + \frac{1}{2}$	$=$	$\pm \frac{5}{6}$
	↓	Forme weiter um.
$x_{1}$	$=$	$\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$
	$=$	$\frac{5}{6} - \frac{3}{6}$
	$=$	$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_{2}$	$=$	$- \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$
	$=$	$- \frac{5}{6} - \frac{3}{6}$
	$=$	$- \frac{8}{6} = - \frac{4}{3}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- \frac{4}{3}; \frac{1}{3}}$

$2 x^{2}$	$=$	$x + 1$	$- x + 1$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$2 x^{2} - x - 1$	$=$	$0$
	↓	Den Faktor 2 ausklammern.
$2 (x^{2} - \frac{1}{2} x) - 1$	$=$	$0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$2 (x^{2} - \frac{1}{2} x + {(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}) - 1$	$=$	$0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$2 ({(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}) - 1$	$=$	$0$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} - 1$	$=$	$0$
	↓	Die Gleichung nach x auflösen.
$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} - 1$	$=$	$0$	$+ 1 + \frac{1}{8}$
$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2}$	$=$	$\frac{1}{8} + 1$	$: 2$
${(x - \frac{1}{4})}^{2}$	$=$	$\frac{9}{16}$	$\sqrt{}$
$x - \frac{1}{4}$	$=$	$\pm \frac{3}{4}$	$+ \frac{1}{4}$
$x$	$=$	$\frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- \frac{1}{2}; 1}$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 12)}}{2 \cdot \frac{1}{3}}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{\frac{2}{3}}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{\frac{2}{3}}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm 5}{\frac{2}{3}}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
	$=$	$\frac{(- 3 \pm 5) \cdot 3}{2}$

$11$	$=$	$2 x + \frac{12}{x}$	$\cdot x$
$11 x$	$=$	$2 x^{2} + 12$	$- 11 x$
$0$	$=$	$2 x^{2} + 12 - 11 x$

$0$	$=$	$3 (x + 2) + \frac{3}{x}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$3 x + 6 + \frac{3}{x}$	$\cdot x$
$0$	$=$	$3 x^{2} + 6 x + 3$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{164}}{2}$
	↓	Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{41}}{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1 / 2}$	$=$	$- 7 \pm \sqrt{41}$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}}}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2 \sqrt{7}} = \frac{- 5 \pm 9}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Berechne den Bruch einmal mit $+$ und einmal mit $-$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 5 + 9}{2 \sqrt{7}} = \frac{4}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{2}{\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{7}$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{2 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 5 - 9}{2 \sqrt{7}} = \frac{- 14}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{7}$ .
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 14 \sqrt{7}}{2 \sqrt{7} \sqrt{7}} = \frac{- 14 \sqrt{7}}{2 \cdot 7} = \frac{- 14 \sqrt{7}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit 14.
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{7}$

$2 x^{2} + 16$	$=$	$12 x$	$- 12 x$
$0$	$=$	$2 x^{2} - 12 x + 16$
	↓	Diskriminante berechnen
$D$	$=$	${(- 12)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 16$
	$=$	$144 - 128$
	$=$	$16$
$\Rightarrow 16$	$>$	$0$
	↓	daher 2 Lösungen
$2 x^{2} + 16$	$=$	$2 x$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{12 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2}$
	↓	$x_{1}$ berechnen
$x_{1}$	$=$	$\frac{12 + 4}{4}$
	$=$	$\frac{16}{4} = 4$
$x_{2}$	$=$	$\frac{12 - 4}{4}$
	$=$	$\frac{8}{4} = 2$
$𝕃$	$=$	${4; 2}$

$- x^{2} - 2$	$=$	$0,25 + 9 x$
	↓	Stelle die Gleichung so um, dass auf einer Seite 0 ist
$0$	$=$	$x^{2} + 9 x + 2,25$
	↓	Setze in die Mitternachtsformel ein
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2,25}}{2}$
	↓	$x_{1} u n d x_{2}$ ausrechnen
$x_{1}$	$\approx$	$- 0,26$
$x_{2}$	$\approx$	$- 8,74$
$𝕃$	$=$	${- 0,26; - 8,74}$

$2 x + x + 16$	$=$	$0$
$3 x + 16$	$=$	$0$	$- 16$
$3 x$	$=$	$- 16$	$: 3$
$x$	$=$	$\frac{- 16}{3}$
	$=$	$- 5 \frac{1}{3}$
	$\approx$	$- 5,3$

$x^{2} + \sqrt{2} x - 1$	$=$	$0$
	↓	Die Gleichung liegt in der Normalform vor. Nach der pq-Formel gilt: $x^{2} + px + p$ mit $p = \sqrt{2}$ und $q = - 1$
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{q} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} - q}$
	↓	Einsetzen der Werte
	$=$	$- \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + 1}$
	↓	Vereinfachen der Wurzel
	$=$	$\begin{array}{l} - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2} + 1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}$
$x_{1}$	$=$	$x_{1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \lor$
$x_{2}$	$=$	$- \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$x^{2} - x$	$=$	$x - x^{2}$	$- x + x^{2}$
$x^{2} - x - x + x^{2}$	$=$	$0$
	↓	Gleiches zusammenfassen
$2 x^{2} - 2 x$	$=$	$0$
	↓	x ausklammern.
$x (2 x - 2)$	$=$	$0$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} \end{array}$	$=$	$0$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{2} \end{array}$	$=$	$1$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 9$ und $q = 20$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 9)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 9}{2})}^{2} - 20}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$4,5 \pm \sqrt{20,25 - 20}$
	$=$	$4,5 \pm \sqrt{0,25}$
	$=$	$4,5 \pm 0,5$
$x_{1}$	$=$	$4,5 - 0,5$
$x_{1}$	$=$	$4$
$x_{2}$	$=$	$4,5 + 0,5$
$x_{2}$	$=$	$5$