Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

$4 \cdot (x + \frac{3}{7}) \cdot (x - \frac{1}{8}) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $4 \neq 0$
2. Faktor: $x + \frac{3}{7} = 0 \Rightarrow x = - \frac{3}{7}$
3. Faktor: $x - \frac{1}{8} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{8}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- \frac{3}{7}; \frac{1}{8}}$
Wende den Satz vom Nullprodukt an.
$\frac{1}{8} x^{2} = 18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$\frac{1}{8} x^{2}$ $=$ $18$ $\cdot 8$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf
$x^{2}$ $=$ $144$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 144 ergibt: $12$ und $- 12$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $12$ und $- 12$ .
Die Lösungsmenge ist dann $𝕃 = {- 12; 12}$ .
$5 x^{2} = - 4 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$5 x^{2}$ $=$ $- 4 x$ $+ 4 x$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$5 x^{2} + 4 x$ $=$ $0$
↓
Klammere $x$ aus.
$x \cdot (5 x + 4)$ $=$ $0$
↓
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.
1. Faktor: $x = 0$
2. Faktor: $5 x + 4 = 0 \Rightarrow x = - \frac{4}{5}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {0; - \frac{4}{5}}$
Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.
$- 12 x + 32 = - x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$- 12 x + 32$ $=$ $- x^{2}$ $+ x^{2}$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$x^{2} - 12 x + 32$ $=$ $0$
↓
Wende die pq-Formel an.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = - 12; q = 32$
pq-Formel: $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{(- 12)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 12}{2})}^{2} - 32}$
$=$ $6 \pm \sqrt{36 - 32}$
$=$ $6 \pm \sqrt{4}$
$=$ $6 \pm 2$
$x_{1} = 6 + 2 = 8$
$x_{2} = 6 - 2 = 4$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {4; 8}$
Bringe alle Summanden auf eine Seite und wende die pq-Formel an.
$\frac{5}{2} x^{2} + \frac{7}{8} x - \frac{3}{8} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = \frac{5}{2}; b = \frac{7}{8}; c = - \frac{3}{8}$
Mitternachtsformel: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{{(\frac{7}{8})}^{2} - 4 \cdot (\frac{5}{2}) \cdot (- \frac{3}{8})}}{2 \cdot (\frac{5}{2})}$
$=$ $\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{\frac{49}{64} + \frac{60}{16}}}{5}$
↓
Bringe die Brüche auf den Hauptnenner.
$=$ $\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{\frac{49}{64} + \frac{240}{64}}}{5}$
$=$ $\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{\frac{289}{64}}}{5}$
$=$ $\frac{- \frac{7}{8} \pm \frac{17}{8}}{5}$
$=$ $- \frac{7}{40} \pm \frac{17}{40}$
$x_{1} = - \frac{7}{40} + \frac{17}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$
$x_{2} = - \frac{7}{40} - \frac{17}{40} = - \frac{24}{40} = - \frac{3}{5}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- \frac{3}{5}; \frac{1}{4}}$
Wende die Mitternachtsformel an.

$3 \cdot {(x - \frac{1}{7})}^{2} - 12 = 0$

$2 x^{2} - 72 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$2 x^{2} - 72$ $=$ $0$ $+ 72$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf.
$2 x^{2}$ $=$ $72$ $: 2$
$x^{2}$ $=$ $36$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 36 ergibt: $6$ und $- 6$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $6$ und $- 6$ .
Die Lösungsmenge ist dann $𝕃 = {- 6; 6}$ .
$- 6 x^{2} = \frac{1}{3} x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
$- 6 x^{2}$ $=$ $\frac{1}{3} x$ $+ 6 x^{2}$
↓
Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$0$ $=$ $6 x^{2} + \frac{1}{3} x$
↓
Klammere $x$ aus.
$0$ $=$ $x (6 x + \frac{1}{3})$
↓
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.
1. Faktor: $x = 0$
2. Faktor: $6 x + \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{18}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {- \frac{1}{18}; 0}$
Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.

$(8 x + 12) \cdot (3 x - 15) = 0$

$- 2 \cdot {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 4 = 0$

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$3 \cdot {(x - \frac{1}{7})}^{2} - 12$	$=$	$0$	$+ 12$
	↓	Bringe 12 auf die andere Seite.
$3 \cdot {(x - \frac{1}{7})}^{2}$	$=$	$12$	$: 3$
${(x - \frac{1}{7})}^{2}$	$=$	$4$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.
$\sqrt{{(x - \frac{1}{7})}^{2}}$	$=$	$\sqrt{4}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen.
$\| x - \frac{1}{7} \|$	$=$	$2$

$- 2 \cdot {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 4$	$=$	$0$	$- 4$
	↓	Bringe 4 auf die andere Seite.
$- 2 \cdot {(x + \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$- 4$	$: (- 2)$
${(x + \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$2$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.
$\sqrt{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}$	$=$	$\sqrt{2}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen.
$\| x + \frac{1}{2} \|$	$=$	$\sqrt{2}$

$\frac{1}{8} x^{2}$	$=$	$18$	$\cdot 8$
	↓	Löse nach $x^{2}$ auf
$x^{2}$	$=$	$144$

$5 x^{2}$	$=$	$- 4 x$	$+ 4 x$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$5 x^{2} + 4 x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$x \cdot (5 x + 4)$	$=$	$0$
	↓	Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.

$- 12 x + 32$	$=$	$- x^{2}$	$+ x^{2}$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$x^{2} - 12 x + 32$	$=$	$0$
	↓	Wende die pq-Formel an.

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{(- 12)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 12}{2})}^{2} - 32}$
	$=$	$6 \pm \sqrt{36 - 32}$
	$=$	$6 \pm \sqrt{4}$
	$=$	$6 \pm 2$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{{(\frac{7}{8})}^{2} - 4 \cdot (\frac{5}{2}) \cdot (- \frac{3}{8})}}{2 \cdot (\frac{5}{2})}$
	$=$	$\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{\frac{49}{64} + \frac{60}{16}}}{5}$
	↓	Bringe die Brüche auf den Hauptnenner.
	$=$	$\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{\frac{49}{64} + \frac{240}{64}}}{5}$
	$=$	$\frac{- \frac{7}{8} \pm \sqrt{\frac{289}{64}}}{5}$
	$=$	$\frac{- \frac{7}{8} \pm \frac{17}{8}}{5}$
	$=$	$- \frac{7}{40} \pm \frac{17}{40}$

$2 x^{2} - 72$	$=$	$0$	$+ 72$
	↓	Löse nach $x^{2}$ auf.
$2 x^{2}$	$=$	$72$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$36$

$- 6 x^{2}$	$=$	$\frac{1}{3} x$	$+ 6 x^{2}$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$0$	$=$	$6 x^{2} + \frac{1}{3} x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$0$	$=$	$x (6 x + \frac{1}{3})$
	↓	Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.

$(8 x + 12) \cdot (3 x - 15)$	$=$	$0$
	↓	Klammere $8$ aus dem 1. Faktor und $3$ aus dem 2. Faktor aus.
$8 \cdot (x + 1,5) \cdot 3 \cdot (x - 5)$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen
$24 \cdot (x + 1,5) \cdot (x - 5)$	$=$	$0$
	↓	Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.