Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen ( $𝔻 = ℝ ∖ {0}$ ) und kontrolliere dein Ergebnis graphisch, z. B. mit Hilfe eines Funktionsplotters.

Gib die Lösung in der Form " $x_{1}, x_{2}$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $5; - 2,5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $- 2,5$ ".

$11 = 2 x + \frac{12}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
$11$ $=$ $2 x + \frac{12}{x}$ $\cdot x$
$11 x$ $=$ $2 x^{2} + 12$ $- 11 x$
$0$ $=$ $2 x^{2} + 12 - 11 x$
Nun kann man die Diskriminante D berechnen:
$D$ $=$ $121 - 4 \cdot 2 \cdot 12$
$=$ $25$
Da $D = 25 > 0$ , erhalten wir zwei Lösungen. Man kann nun die Mitternachtsformel anwenden. Die Lösungen lauten:
$x_{1}$ $=$ $\frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
$=$ $\frac{16}{4}$
$=$ $4$
$x_{2}$ $=$ $\frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
$=$ $\frac{6}{4}$
$=$ $1,5$
Die Lösungsmenge lautet $L = {1,5; 4}$ . Der gezeichnete Graph sieht so aus:
$3 (x + 2) + \frac{3}{x} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
$0$ $=$ $3 (x + 2) + \frac{3}{x}$
↓
Ausmultiplizieren
$=$ $3 x + 6 + \frac{3}{x}$ $\cdot x$
$0$ $=$ $3 x^{2} + 6 x + 3$
Nun kann man die Diskriminante D berechnen:
$D$ $=$ $36 - 4 \cdot 3 \cdot 3$
$=$ $0$
Da $D = 0$ , erhalten wir eine Lösungen. Man kann nun die Mitternachtsformel anwenden. Die Lösung lautet:
$x$ $=$ $\frac{- 6}{2 \cdot 3}$
$=$ $- \frac{6}{6}$
$=$ $- 1$
Die Lösungsmenge lautet $L = {- 1}$ .

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$11$	$=$	$2 x + \frac{12}{x}$	$\cdot x$
$11 x$	$=$	$2 x^{2} + 12$	$- 11 x$
$0$	$=$	$2 x^{2} + 12 - 11 x$

$x_{1}$	$=$	$\frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{16}{4}$
	$=$	$4$

$x_{2}$	$=$	$\frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{6}{4}$
	$=$	$1,5$

$0$	$=$	$3 (x + 2) + \frac{3}{x}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$3 x + 6 + \frac{3}{x}$	$\cdot x$
$0$	$=$	$3 x^{2} + 6 x + 3$

$x$	$=$	$\frac{- 6}{2 \cdot 3}$
	$=$	$- \frac{6}{6}$
	$=$	$- 1$