Aufgaben zu Definitionsmenge, Achsenschnittpunkten und Einfluss der Parameter

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Zeichne die Graphen zu den Termen $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ und $g (x) = \frac{1}{3} x$ in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Zeichnung
Bestimmung der Nullstelle
$f (x) = \frac{x}{x - 2}$
Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. $\to$ Setze den Zähler gleich $0$ , also $x = 0$ .
$\Rightarrow x_{N} = 0$
Der Graph hat bei $x_{N} = 0$ eine Nullstelle.
x-Wert mit $f (x) = - 3$
Setze $f (x) = - 3$
$\frac{x}{x - 2}$ $=$ $- 3$ $\cdot (x - 2)$
↓
Multipliziere über Kreuz.
$x$ $=$ $- 3 (x - 2)$
↓
Multipliziere aus.
$x$ $=$ $- 3 x + 6$ $+ 3 x$
$4 x$ $=$ $6$ $: 4$
$x$ $=$ $\frac{6}{4} = 1,5$
Für $x = 1,5$ nimmt $f (x)$ den Wert $- 3$ an.
Bestimmung der Schnittpunkte
$f (x) = \frac{x}{x - 2}$ , $g (x) = \frac{x}{3}$
Setze $f (x)$ und $g (x)$ gleich.
$f (x)$ $=$ $g (x)$
$\frac{x}{x - 2}$ $=$ $\frac{x}{3}$ $\cdot 3 (x - 2)$
↓
Multipliziere über Kreuz.
$3 x$ $=$ $x (x - 2)$
↓
Multipliziere aus.
$3 x$ $=$ $x^{2} - 2 x$ $- 3 x$
$x^{2} - 5 x$ $=$ $0$
↓
Klammer x aus.
$x (x - 5)$ $=$ $0$
Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
$\Rightarrow$ $x_{S 1} = 0 x_{S 2} = 5$
Setze $x_{S 2}$ in eine der beiden Funktionen ein.
$y_{S 2} = \frac{5}{3}$
$\Rightarrow S_{1} (0 | 0); S_{2} (5 | \frac{5}{3})$
In der Definitionsmenge von $f (x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g (x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.
Daher ist die Lösungsmenge: $L = {0; 5}$
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Zeichne die Graphen der Funktionen $f : x \mapsto \frac{3}{x + 2}$ und $f_{1} : x \mapsto \frac{1}{2 - x}$
Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
$f_{} : x \mapsto \frac{3}{x + 2}$
$f_{1} : x \mapsto \frac{1}{2 - x}$
Der Schnittpunkt liegt bei $(1 | 1)$ .
Rechnung
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:
$\frac{3}{2 + x}$ $=$ $\frac{1}{2 - x}$
↓
Über Kreuz multiplizieren.
$3 \cdot (2 - x)$ $=$ $1 \cdot (2 + x)$
↓
Die Klammer ausmultiplizieren.
$6 - 3 x$ $=$ $2 + x$ $- 2 + 3 x$
↓
Nach $x$ auflösen.
$ 4$ $=$ $4 x$ $: 4$
$x$ $=$ $1$
Einsetzen von $x = 1$ in einen der Funktionsterme, z.B. in $f_{1} (x)$ :
$y = \frac{1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1$
Also wurde auch rechnerisch gezeigt, dass der Schnittpunkt bei $(1 | 1)$ liegt.
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .
1) Gib zu den gegebenen Parametern $a$ , $b$ und $c$ die zugehörende gebrochen-rationale Funktionsgleichung an.
2) Beschreibe, wie der Graph deiner ermittelten Funktion aus dem Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hervorgeht.
3) Gib die Gleichungen der waagerechten und senkrechten Asymptoten von deiner ermittelten Funktion an und erläutere sie.
Funktion $f_{1} (x)$ : $a = 1$ , $b = 0$ und $c = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_{1} (x) = \frac{1}{x + 0} + 2 = \frac{1}{x} + 2$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{1} (x) = \frac{1}{x} + 2$
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{1} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $c = 2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{1} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $b = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3:
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{1} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y = 0$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung verschoben.
Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{1} (x)$ hat nun die Gleichung $y = 2$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{1} (x)$ ist weiterhin $x = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in x-Richtung erfolgt ( $b = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = 2$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ .

Funktion $f_{2} (x)$ : $a = 1$ , $b = 0$ und $c = - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_{2} (x) = \frac{1}{x + 0} - 3 = \frac{1}{x} - 3$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{2} (x) = \frac{1}{x} - 3$
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{2} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $c = - 3$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um drei Einheiten in negative y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{2} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $b = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3:
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{2} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um drei Einheiten in negative y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y = 0$ um drei Einheiten in negative y-Richtung verschoben. Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{2} (x)$ hat nun die Gleichung $y = - 3$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{2} (x)$ ist weiterhin $x = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in x-Richtung erfolgt ( $b = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = - 3$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ .

Funktion $f_{3} (x)$ : $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_{3} (x) = \frac{1}{x + 1} + 0 = \frac{1}{x + 1}$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{3} (x) = \frac{1}{x + 1}$
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{3} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $b = 1$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um eine Einheit in negative x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{3} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $c = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3:
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{3} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um eine Einheit in negative x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x = 0$ um eine Einheit in negative x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{3} (x)$ hat nun die Gleichung $x = - 1$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{3} (x)$ ist weiterhin $y = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in y-Richtung erfolgt ( $c = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = - 1$ .

Funktion $f_{4} (x)$ : $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow$
$f_{4} (x) = \frac{1}{x - 2} + 0 = \frac{1}{x - 2}$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{4} (x) = \frac{1}{x - 2}$
Teilaufgabe 2
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{4} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $b = - 2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{4} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $c = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{4} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x = 0$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{4} (x)$ hat nun die Gleichung $x = 2$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{4} (x)$ ist weiterhin $y = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in y-Richtung erfolgt ( $c = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 2$ .
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .
Verschiebe den Graphen der Funktion $g (x) = \frac{2}{x + 1} + 2,5$ um $4$ Einheiten in negative x-Richtung und um $3,5$ Einheiten in negative y-Richtung. Der neue Graph gehört zu einer Funktion $h (x)$ .
1) Gib die Funktionsgleichung von $h (x)$ an.
2) Berechne die Schnittpunkte des Graphen von $h (x)$ mit den Koordinatenachsen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Der Graph der Funktion $g (x)$ ist im Vergleich zum Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ um $1$ Einheit in negative x-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von $g (x)$ um weitere $4$ Einheiten in negative x-Richtung verschoben werden. Der Nenner der Funktion $h (x)$ muss also nun lauten: $x + 1 + 4 = x + 5$ .
Der Graph der Funktion $g (x)$ ist im Vergleich zum Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ um $2,5$ Einheiten in positive y-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von $g (x)$ um $3,5$ Einheiten in negative y-Richtung verschoben werden. Der Parameter $c$ lautet nun: $c = 2,5 - 3,5 = - 1$ .
Antwort: Die Funktionsgleichung $h (x)$ lautet somit: $h (x) = \frac{2}{x + 5} - 1$
Teilaufgabe 2
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $h (0)$ :
$h (0) = \frac{2}{0 + 5} - 1 = \frac{2}{5} - 1 = - \frac{3}{5} = - 0,6$
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T (0 | - 0,6)$ geschnitten.
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $h (x) = 0$ .
$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 5} - 1 & = & 0 & | + 1 \\ \frac{2}{x + 5} & = & 1 & | \cdot (x + 5) \\ 2 & = & 1 \cdot (x + 5) \\ 2 & = & x + 5 & | - 5 \\ x & = & - 3 \end{array}$
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N (- 3 | 0)$ geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der türkisfarbige Graph $G_{g}$ gehört zur Funktion $g (x) = \frac{2}{x + 1} + 2,5$
Der lilafarbige Graph $G_{h}$ ist der um $4$ Einheiten nach links und um $3,5$ Einheiten nach unten verschobene Graph $G_{g}$ .
Eingezeichnet sind beim verschobenen Graphen $G_{h}$ die berechneten Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen $T (0 | - 0,6)$ und $N (- 3 | 0)$ .
Teilaufgabe 1
Überlege Dir, wie sich der Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion verändern muss, wenn der Graph dieser Funktion in negative x-Richtung verschoben werden soll. Wie ändert sich der Parameter $c$ bei einer Verschiebung des Graphen in negative y-Richtung?
Teilaufgabe 2
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $h (0)$ . Für den Schnittpunkt mit der x-Achse löse die Gleichung $h (x) = 0$ .
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $g (x) = \frac{1}{x + b} + c$
Bestimme die Werte der Parameter $b$ und $c$ so, dass die gebrochen-rationale Funktion folgende Eigenschaften hat.
Der Graph der Funktion $g_{1} (x)$ schneidet die y-Achse im Punkt $T (0 | 3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_{1} (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Wenn du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ in positive oder negative x-Richtung verschiebst, wird die y-Achse geschnitten, die x-Achse hingegen nicht. Der Parameter $c$ , der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow c = 0$
Der Wert für den Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss berechnet werden.
Die Funktion $g_{1} (x)$ hat die Form:
$g_{1} (x) = \frac{1}{x + b}$
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T (0 | 3)$ in die Funktionsgleichung von $g_{1} (x)$ ein und löse nach $b$ auf.
$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{1}{0 + b} \\ 3 & = & \frac{1}{b} & | \cdot b \\ 3 b & = & 1 & | : 3 \\ b & = & \frac{1}{3} \end{array}$
Antwort: Der Graph der Funktion $g_{1} (x) = \frac{1}{x + \frac{1}{3}}$ schneidet die y-Achse im Punkt $T (0 | 3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Überlege dir, wie du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.

Der Graph der Funktion $g_{2} (x)$ schneidet die x-Achse im Punkt $N (- 2 | 0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_{2} (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
Wenn du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung verschiebst, wird die x-Achse geschnitten, die y-Achse hingegen nicht. Der Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow b = 0$
Der Wert für den Parameter $c$ , der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss berechnet werden.
Die Funktion $g_{2} (x)$ hat die Form:
$g_{2} (x) = \frac{1}{x} + c$
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N (- 2 | 0)$ in die Funktionsgleichung von $g_{2} (x)$ ein und löse nach $c$ auf.
$\begin{array}{rcl} 0 & = & \frac{1}{- 2} + c \\ 0 & = & - \frac{1}{2} + c & | + \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & = & c \end{array}$
Antwort: Der Graph der Funktion $g_{2} (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$ schneidet die x-Achse im Punkt $N (- 2 | 0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Überlege dir, wie du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Spiegeln, verschieben, stauchen
Zeichne den Graphen der Funktion $f (x) = \frac{3}{x}$ und bestimme damit die Graphen von $g (x) = - \frac{3}{x} - 2$ , $h (x) = \frac{3}{x + 1,5}$ und $k (x) = \frac{1,5}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
$f (x) = \frac{3}{x}$
Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein. Bsp.: $x = 3; \to y = 1$
$g (x) = - \frac{3}{x} - 2$
$g (x) = - \frac{3}{x} - 2$ $\to$ Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.
$h (x) = \frac{3}{x + 1,5}$
Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.
$k (x) = \frac{1,5}{x}$
Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .
Überprüfe rechnerisch, welche der gegebenen Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
Hinweis: Bei der Eingabe deiner Lösung gib die Punktnummern durch Komma getrennt ein (z.B. so: 1,2,4). In diesem Fall würden die Punkte $P_{1}$ , $P_{2}$ und $P_{4}$ auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen, die Punkte $P_{3}$ und $P_{5}$ hingegen nicht. Es können bei jeder Teilaufgabe 1 bis 5 Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
$f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$
$P_{1} (- 2 | 0,6); P_{2} (- 1 | 0,4); P_{3} (1 | 0); P_{4} (4 | 3); P_{5} (3,5 | 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Setze $P_{1} (- 2 | 0,6)$ in $f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ein:
$\begin{array}{rcl} 0,6 & = & \frac{2}{- 2 - 3} + 1 \\ 0,6 & = & \frac{2}{- 5} + 1 \\ 0,6 & = & - 0,4 + 1 \\ 0,6 & = & 0,6 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{1}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{2} (- 1 | 0,4)$ in $f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ein:
$\begin{array}{rcl} 0,4 & = & \frac{2}{- 1 - 3} + 1 \\ 0,4 & = & \frac{2}{- 4} + 1 \\ 0,4 & = & - 0,5 + 1 \\ 0,4 & = & 0,5 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{2}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{3} (1 | 0)$ in $f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ein:
$\begin{array}{rcl} 0 & = & \frac{2}{1 - 3} + 1 \\ 0 & = & \frac{2}{- 2} + 1 \\ 0 & = & - 1 + 1 \\ 0 & = & 0 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{3}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{4} (4 | 3)$ in $f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ein:
$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{4 - 3} + 1 \\ 3 & = & \frac{2}{1} + 1 \\ 3 & = & 2 + 1 \\ 3 & = & 3 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{4}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{5} (3,5 | 4)$ in $f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ein:
$\begin{array}{rcl} 4 & = & \frac{2}{3,5 - 3} + 1 \\ 4 & = & \frac{2}{0,5} + 1 \\ 4 & = & 4 + 1 \\ 4 & = & 5 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{5}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $1,3,4$
Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.

$f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$
$P_{1} (- 5 | - 1,1); P_{2} (- 4 | - 1); P_{3} (- 2 | 1); P_{4} (1 | - 3,5); P_{5} (4 | - 2,6)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Setze $P_{1} (- 5 | - 1,1)$ in $f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 1,1 & = & \frac{- 3}{- 5 + 1} - 2 \\ - 1,1 & = & \frac{- 3}{- 4} - 2 \\ - 1,1 & = & 0,75 - 2 \\ - 1,1 & = & - 1,25 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{1}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{2} (- 4 | - 1)$ in $f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 1 & = & \frac{- 3}{- 4 + 1} - 2 \\ - 1 & = & \frac{- 3}{- 3} - 2 \\ - 1 & = & 1 - 2 \\ - 1 & = & - 1 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{2}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{3} (- 2 | 1)$ in $f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} 1 & = & \frac{- 3}{- 2 + 1} - 2 \\ 1 & = & \frac{- 3}{- 1} - 2 \\ 1 & = & 3 - 2 \\ 1 & = & 1 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{3}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{4} (1 | - 3,5)$ in $f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 3,5 & = & \frac{- 3}{1 + 1} - 2 \\ - 3,5 & = & \frac{- 3}{2} - 2 \\ - 3,5 & = & - 1,5 - 2 \\ - 3,5 & = & - 3,5 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{4}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{5} (4 | - 2,6)$ in $f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 2,6 & = & \frac{- 3}{4 + 1} - 2 \\ - 2,6 & = & \frac{- 3}{5} - 2 \\ - 2,6 & = & - 0,6 - 2 \\ - 2,6 & = & - 2,6 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{5}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $2,3,4,5$
Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.

$f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$
$P_{1} (- 4 | - 2,5); P_{2} (- 3 | - 3); P_{3} (- 2 | - 5,5); P_{4} (- 1 | 1); P_{5} (1 | - 1,3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Setze $P_{1} (- 4 | - 2,5)$ in $f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 2,5 & = & \frac{1,5}{- 4 + 1,5} - 2 \\ - 2,5 & = & \frac{1,5}{- 2,5} - 2 \\ - 2,5 & = & - 0,6 - 2 \\ - 2,5 & = & - 2,6 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{1}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Weil f(-4) = -2,6 < -2,5 gilt, liegt der Punkt unterhalb des Graphen von f.
Setze $P_{2} (- 3 | - 3)$ in $f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 3 & = & \frac{1,5}{- 3 + 1,5} - 2 \\ - 3 & = & \frac{1,5}{- 1,5} - 2 \\ - 3 & = & - 1 - 2 \\ - 3 & = & - 3 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{2}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{3} (- 2 | - 5,5)$ in $f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 5,5 & = & \frac{1,5}{- 2 + 1,5} - 2 \\ - 5,5 & = & \frac{1,5}{- 0,5} - 2 \\ - 5,5 & = & - 3 - 2 \\ - 5,5 & = & - 5 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{3}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Weil f(-2) = -5 > -5,5 gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
Setze $P_{4} (- 1 | 1)$ in $f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} 1 & = & \frac{1,5}{- 1 + 1,5} - 2 \\ 1 & = & \frac{1,5}{0,5} - 2 \\ 1 & = & 3 - 2 \\ 1 & = & 1 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{4}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{5} (1 | - 1,3)$ in $f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 1,3 & = & \frac{1,5}{1 + 1,5} - 2 \\ - 1,3 & = & \frac{1,5}{2,5} - 2 \\ - 1,3 & = & 0,6 - 2 \\ - 1,3 & = & - 1,4 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{5}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Weil $f (1) = - 1,4 < - 1,3$ gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $2,4$
Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
8
Bestimme bei den gegebenen Funktionen die Definitionslücke und gib den maximalen Definitionsbereich an. Deine Grundmenge sind die rationalen Zahlen $ℚ$ .
$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Setze den Nenner gleich Null:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
Für $x = 2$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $2$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = 2$ eine Definitonslücke vorliegt.
Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $f$ ist $x = 2$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_{f} = ℚ \ {2}$
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)

$g (x) = \frac{5}{x + 3} - 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Setze den Nenner gleich Null:
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$
Für $x = - 3$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $- 3$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = - 3$ eine Definitonslücke vorliegt.
Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $g$ ist $x = - 3$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_{g} = ℚ \ {- 3}$
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)

$h (x) = - \frac{3}{x - \frac{1}{3}} - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Setze den Nenner gleich Null:
$x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$
Für $x = \frac{1}{3}$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $\frac{1}{3}$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = \frac{1}{3}$ eine Definitonslücke vorliegt.
Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $h$ ist $x = \frac{1}{3}$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_{h} = ℚ \ {\frac{1}{3}}$
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)

$k (x) = \frac{1}{2 x + 2} - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Setze den Nenner gleich Null:
$\begin{array}{rcl} 2 x + 2 & = & 0 & | - 2 \\ 2 x & = & - 2 & | (: 2) \\ x & = & - 1 \end{array}$
Für $x = - 1$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $- 1$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = - 1$ eine Definitonslücke vorliegt.
Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $k$ ist $x = - 1$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_{k} = ℚ \ {- 1}$
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)

$l (x) = \frac{1,5}{5 x - 2} + 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Setze den Nenner gleich Null:
$\begin{array}{rcl} 5 x - 2 & = & 0 & | + 2 \\ 5 x & = & 2 & | (: 5) \\ x & = & \frac{2}{5} \end{array}$
Für $x = \frac{2}{5}$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $\frac{2}{5}$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = \frac{2}{5}$ eine Definitonslücke vorliegt.
Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $l$ ist $x = \frac{2}{5}$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_{l} = ℚ \ {0,4}$
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)
9
Lies aus den abgebildeten Graphen jeweils die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ab. Überprüfe rechnerisch deine Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.
$f (x) = \frac{2}{x + 2} + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T (0 | 5)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T (0 | 5)$ :
$f (0) = \frac{2}{0 + 2} + 4 = 1 + 4 = 5 ✓$
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N (- 2,5 | 0)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N (- 2,5 | 0)$ :
$f (- 2,5) = \frac{2}{- 2,5 + 2} + 4 = \frac{2}{- 0,5} + 4 = - 4 + 4 = 0 ✓$
Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.
Suche den Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $T$ . Suche dann den Punkt auf der x-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $N$ .

$g (x) = \frac{4}{x - 2} + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T (0 | 2)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T (0 | 2)$ :
$g (0) = \frac{4}{0 - 2} + 4 = - 2 + 4 = 2 ✓$
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N (1 | 0)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N (1 | 0)$ :
$g (1) = \frac{4}{1 - 2} + 4 = \frac{4}{- 1} + 4 = - 4 + 4 = 0 ✓$
Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.
Suche den Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $T$ . Suche dann den Punkt auf der x-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $N$ .

$h (x) = - \frac{3}{x - 3} - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T (0 | - 2)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T (0 | - 2)$ :
$h (0) = - \frac{3}{0 - 3} - 3 = 1 - 3 = - 2 ✓$
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N (2 | 0)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N (2 | 0)$ :
$h (2) = - \frac{3}{2 - 3} - 3 = - \frac{3}{- 1} - 3 = 3 - 3 = 0 ✓$
Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.
Suche den Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $T$ . Suche dann den Punkt auf der x-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $N$ .
10
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der gegebenen Funktionen mit den Koordinatenachsen.
$g (x) = \frac{2,5}{x + 2,5} + 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $g (0)$ :
$g (0) = \frac{2,5}{0 + 2,5} + 5 = 1 + 5 = 6$
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T (0 | 6)$ geschnitten.
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $g (x) = 0$ .
$\begin{array}{rcl} \frac{2,5}{x + 2,5} + 5 & = & 0 & | - 5 \\ \frac{2,5}{x + 2,5} & = & - 5 & | \cdot (x + 2,5) \\ 2,5 & = & - 5 \cdot (x + 2,5) & | : (- 5) \\ - 0,5 & = & x + 2,5 & | - 2,5 \\ x & = & - 3 \end{array}$
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N (- 3 | 0)$ geschnitten.
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Für den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse setze $x = 0$ in die Funktionsgleichung ein. Den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechnest du durch Lösen der Gleichung $g (x) = 0$ .

$h (x) = \frac{2}{x + 1} + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $h (0)$ :
$h (0) = \frac{2}{0 + 1} + 2 = 2 + 2 = 4$
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T (0 | 4)$ geschnitten.
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $h (x) = 0$ .
$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 1} + 2 & = & 0 & | - 2 \\ \frac{2}{x + 1} & = & - 2 & | \cdot (x + 1) \\ 2 & = & - 2 \cdot (x + 1) & | : (- 2) \\ - 1 & = & x + 1 & | - 1 \\ x & = & - 2 \end{array}$
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N (- 2 | 0)$ geschnitten.
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Für den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse setze $x = 0$ in die Funktionsgleichung ein. Den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechnest du durch Lösen der Gleichung $h (x) = 0$ .

$k (x) = \frac{2}{x + 2} - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $k (0)$ :
$k (0) = \frac{2}{0 + 2} - 4 = 1 - 4 = - 3$
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T (0 | - 3)$ geschnitten.
Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $k (x) = 0$ .
$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - 4 & = & 0 & | + 4 \\ \frac{2}{x + 2} & = & 4 & | \cdot (x + 2) \\ 2 & = & 4 \cdot (x + 2) & | : 4 \\ 0,5 & = & x + 2 & | - 2 \\ x & = & - 1,5 \end{array}$
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N (- 1,5 | 0)$ geschnitten.
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Für den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse setze $x = 0$ in die Funktionsgleichung ein. Den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechnest du durch Lösen der Gleichung $k (x) = 0$ .
11
Bestimme die Schnittpunkte der angegebenen Graphen durch eine geeignete Zeichnung!
$f (x) = \frac{1}{x}$ und $y = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Zeichne zunächst den Graphen $f (x)$ in ein Koordinatensystem ein. Suche dir dazu die Asymptoten und zeichne dann die Hyperbeläste ein.
Die senkrechte Asymptote von $f (x)$ ist $x = 0$ und die waagerechte Asymptote $y = 0$ .
Zeichne anschließend den Graphen $y = 4$ in die Zeichnung ein.
Lies die $x$ - und $y$ -Koordinate aus dem Bild ab.
In diesem Fall ist $y = 4$ und $x \approx 0,25$ .
Der abgelesene Schnittpunkt ist also: $S (0,25 | 4)$
Zeichne ein Koordinatensystem und anschließend beide Graphen. Lies dann $x$ - und $y$ -Koordinate des Schnittpunkts ab!

$f (x) = \frac{1}{x + 3} - 1$ und $g (x) = - x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Zeichne zunächst f(x) indem du die Asymptoten bestimmst und die Hyperbeläste einzeichnest.
Die senkrechte Asymptote ist x=-3 und die waagerechte -1.
Zeichne nun den Graph der linearen Funktion g(x) in das Koordinatensystem ein.
Hier gibt es zwei Schnittpunkte! Der erste ist ungefähr bei $S_{1} (- 2,75 | 2,75)$ und der zweite bei $S_{2} (0,75 | - 0,75)$ .
Zeichne ein Koordinatensystem und anschließend beide Graphen. Lies dann x- und y-Koordinate des Schnittpunkts ab!

$f (x) = \frac{1}{x + 4} - 2$ und $x = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Zeichne zunächst f(x) indem du die Asymptoten bestimmst und die Hyperbeläste einzeichnest.
Die senkrechte Asymptote liegt bei x=-4 und die waagerechte bei y=-2.
Zeichne anschließend eine senkrechte Gerade bei x=1 ein.
Der abgelesene Schnittpunkt liegt ungefähr bei $S (1 | - 1,8)$ .
Zeichne ein Koordinatensystem und anschließend beide Graphen. Lies dann x- und y-Koordinate des Schnittpunkts ab!

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{x}{x - 2}$	$=$	$- 3$	$\cdot (x - 2)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$x$	$=$	$- 3 (x - 2)$
	↓	Multipliziere aus.
$x$	$=$	$- 3 x + 6$	$+ 3 x$
$4 x$	$=$	$6$	$: 4$
$x$	$=$	$\frac{6}{4} = 1,5$

$f (x)$	$=$	$g (x)$
$\frac{x}{x - 2}$	$=$	$\frac{x}{3}$	$\cdot 3 (x - 2)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$3 x$	$=$	$x (x - 2)$
	↓	Multipliziere aus.
$3 x$	$=$	$x^{2} - 2 x$	$- 3 x$
$x^{2} - 5 x$	$=$	$0$
	↓	Klammer x aus.
$x (x - 5)$	$=$	$0$

$\frac{3}{2 + x}$	$=$	$\frac{1}{2 - x}$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$3 \cdot (2 - x)$	$=$	$1 \cdot (2 + x)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$6 - 3 x$	$=$	$2 + x$	$- 2 + 3 x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$ 4$	$=$	$4 x$	$: 4$
$x$	$=$	$1$

Aufgaben zu Definitionsmenge, Achsenschnittpunkten und Einfluss der Parameter

Zeichnung

Bestimmung der Nullstelle

x-Wert mit f(x)=−3

Bestimmung der Schnittpunkte

Rechnung

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0

Setze den Nenner gleich Null:

Setze den Nenner gleich Null:

Setze den Nenner gleich Null:

Setze den Nenner gleich Null:

Setze den Nenner gleich Null:

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0

x-Wert mit $f (x) = - 3$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$