Aufgaben zu Definitionsmenge, Achsenschnittpunkten und Einfluss der Parameter

Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $g (x) = \frac{1}{x + b} + c$

Bestimme die Werte der Parameter $b$ und $c$ so, dass die gebrochen-rationale Funktion folgende Eigenschaften hat.

Der Graph der Funktion $g_{1} (x)$ schneidet die y-Achse im Punkt $T (0 | 3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_{1} (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Wenn du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ in positive oder negative x-Richtung verschiebst, wird die y-Achse geschnitten, die x-Achse hingegen nicht. Der Parameter $c$ , der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow c = 0$
Der Wert für den Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss berechnet werden.
Die Funktion $g_{1} (x)$ hat die Form:
$g_{1} (x) = \frac{1}{x + b}$
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T (0 | 3)$ in die Funktionsgleichung von $g_{1} (x)$ ein und löse nach $b$ auf.
$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{1}{0 + b} \\ 3 & = & \frac{1}{b} & | \cdot b \\ 3 b & = & 1 & | : 3 \\ b & = & \frac{1}{3} \end{array}$
Antwort: Der Graph der Funktion $g_{1} (x) = \frac{1}{x + \frac{1}{3}}$ schneidet die y-Achse im Punkt $T (0 | 3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Überlege dir, wie du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.
Der Graph der Funktion $g_{2} (x)$ schneidet die x-Achse im Punkt $N (- 2 | 0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_{2} (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
Wenn du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung verschiebst, wird die x-Achse geschnitten, die y-Achse hingegen nicht. Der Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow b = 0$
Der Wert für den Parameter $c$ , der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss berechnet werden.
Die Funktion $g_{2} (x)$ hat die Form:
$g_{2} (x) = \frac{1}{x} + c$
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N (- 2 | 0)$ in die Funktionsgleichung von $g_{2} (x)$ ein und löse nach $c$ auf.
$\begin{array}{rcl} 0 & = & \frac{1}{- 2} + c \\ 0 & = & - \frac{1}{2} + c & | + \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & = & c \end{array}$
Antwort: Der Graph der Funktion $g_{2} (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$ schneidet die x-Achse im Punkt $N (- 2 | 0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Überlege dir, wie du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.

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