Aufgaben zu Definitionsmenge, Achsenschnittpunkten und Einfluss der Parameter

Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .

1) Gib zu den gegebenen Parametern $a$ , $b$ und $c$ die zugehörende gebrochen-rationale Funktionsgleichung an.

2) Beschreibe, wie der Graph deiner ermittelten Funktion aus dem Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hervorgeht.

3) Gib die Gleichungen der waagerechten und senkrechten Asymptoten von deiner ermittelten Funktion an und erläutere sie.

Funktion $f_{1} (x)$ : $a = 1$ , $b = 0$ und $c = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_{1} (x) = \frac{1}{x + 0} + 2 = \frac{1}{x} + 2$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{1} (x) = \frac{1}{x} + 2$
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{1} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $c = 2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{1} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $b = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3:
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{1} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y = 0$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung verschoben.
Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{1} (x)$ hat nun die Gleichung $y = 2$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{1} (x)$ ist weiterhin $x = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in x-Richtung erfolgt ( $b = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = 2$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ .
Funktion $f_{2} (x)$ : $a = 1$ , $b = 0$ und $c = - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_{2} (x) = \frac{1}{x + 0} - 3 = \frac{1}{x} - 3$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{2} (x) = \frac{1}{x} - 3$
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{2} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $c = - 3$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um drei Einheiten in negative y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{2} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $b = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3:
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{2} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um drei Einheiten in negative y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y = 0$ um drei Einheiten in negative y-Richtung verschoben. Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{2} (x)$ hat nun die Gleichung $y = - 3$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{2} (x)$ ist weiterhin $x = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in x-Richtung erfolgt ( $b = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = - 3$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ .
Funktion $f_{3} (x)$ : $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_{3} (x) = \frac{1}{x + 1} + 0 = \frac{1}{x + 1}$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{3} (x) = \frac{1}{x + 1}$
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{3} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $b = 1$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um eine Einheit in negative x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{3} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $c = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3:
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{3} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um eine Einheit in negative x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x = 0$ um eine Einheit in negative x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{3} (x)$ hat nun die Gleichung $x = - 1$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{3} (x)$ ist weiterhin $y = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in y-Richtung erfolgt ( $c = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = - 1$ .
Funktion $f_{4} (x)$ : $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow$
$f_{4} (x) = \frac{1}{x - 2} + 0 = \frac{1}{x - 2}$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{4} (x) = \frac{1}{x - 2}$
Teilaufgabe 2
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{4} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $b = - 2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{4} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $c = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{4} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x = 0$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{4} (x)$ hat nun die Gleichung $x = 2$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{4} (x)$ ist weiterhin $y = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in y-Richtung erfolgt ( $c = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 2$ .