Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern

Hier findest du gemischte Übungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern. Lerne, Gleichungen mit Parametern zu lösen!

1
Löse die quadratische Gleichung $a x^{2} + 4 x + 4 = 2 x + 3$ in Abhängigkeit vom Parameter $a$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel mit Parametern
$a x^{2} + 4 x + 4 = 2 x + 3$
Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.
$a x^{2} + 2 x + 1 = 0$
Lies die Werte der Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ ab. Beachte, dass das $a$ auf der linken Seite dem $a$ aus der allgemeinen Form entspricht.
$a = a, b = 2, c = 1$
Im Sonderfall $a = 0$ fällt der Term mit $x^{2}$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.
Sei nun $𝐚 \neq 𝟎$ :
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung.
$D = 2^{2} - 4 \cdot a \cdot 1 = 4 - 4 a = 4 (1 - a)$
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $a$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.
$D = 4 (1 - a) = 0 \Leftrightarrow a = 1$
Du kannst $1 - a$ als eine Gerade mit negativer Steigung betrachten und so das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen. Dadurch erhältst du eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.
Dabei ist $a = 0$ ein Spezielfall, den du getrennt betrachten musst.
$a < 1 \Rightarrow D > 0 \Rightarrow$
$a = 1 \Rightarrow D = 0 \Rightarrow$
$a > 1 \Rightarrow D < 0 \Rightarrow$
$a = 1 \Rightarrow$
zwei Lösungen
eine Lösungen
keine Lösung
Spezialfall
Wende die nun Mitternachtsformel an.
$a < 1 : x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 - a)}}{2 a} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - a}}{a}$
$a = 1 : x = \frac{- 2 \pm 0}{2 \cdot 1} = - 1$
$a > 1 : k e i n e L \ddot{o} s u n g$
Sei nun $𝒂 = 𝟎$ :
In diesem Fall fällt der Term mit $x^{2}$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung.
Diese kannst du durch Äquivalenzumformung lösen.
$\begin{array}{l} \begin{array}{ccc} 0 \cdot x^{2} + 2 x + 1 & = & 0 \\ 2 x + 1 & = & 0 \\ x & = & - \frac{1}{2} \end{array} \end{array}$
Ergebnis:
$a < 1 \Rightarrow x_{1,2 =} \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - a}}{a}$
$a = 1 \Rightarrow x = - 1$
$a > 1 \Rightarrow k e i n e L \ddot{o} s u n g$
$a = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
2
Löse die quadratische Gleichung $3 x^{2} + m x - 3 = 4 x + m$ in Abhängigkeit vom Parameter $m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel mit Parametern
$3 x^{2} + m x - 3 = 4 x + m$
Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.
$3 x^{2} + m x - 4 x - 3 - m = 0$
Fasse die Summanden mit $x$ zusammen indem du $x$ ausklammerst.
$3 x^{2} + (m - 4) x - 3 - m = 0$
Lies $a$ , $b$ und $c$ ab.
$a = 3, b = m - 4, c = - 3 - m$
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung. Dabei hilft dir die zweite binomische Formel .
$\begin{array}{l} D = (m - 4)^{2} - 4 \cdot 3 (- 3 - m) \\ = m^{2} - 8 m + 16 + 36 + 12 m \\ = m^{2} + 4 m + 52 \end{array}$
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ auf ihr Vorzeichen, indem du quadratisch ergänzt .
$\begin{array}{l} D = m^{2} + 4 m + 52 \\ = m^{2} + 4 m + 4 + 48 \\ = (m + 2)^{2} + 48 \end{array}$
Du erkennst, dass $(m + 2)^{2}$ als Quadrat immer größer oder gleich Null ist und somit die Diskriminante insgesamt immer größer als Null ist, so dass für alle $m$ zwei Lösungen existieren.
$D = (m + 2)^{2} + 48 > 0$ $\Rightarrow$ zwei Lösungen für alle $m$
Wende nun die Mitternachtsformel an.
$x_{1,2} = \frac{- m + 4 \pm \sqrt{(m + 2)^{2} + 48}}{6}$
3
Löse die quadratische Gleichung $2 x^{2} + 5 x + t = 3 x^{2} + 3 x - t$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel
Forme die quadratische Gleichung
$2 x^{2} + 5 x + t = 3 x^{2} + 3 x - t$
so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.
$- x^{2} + 2 x + 2 t = 0$
Lese $a$ , $b$ und $c$ ab.
$a = - 1, b = 2, c = 2 t$
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung.
$\begin{array}{l} D = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2 t \\ = 4 + 8 t \end{array}$
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $t$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.
$D = 4 (1 + 2 t) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}$
Da $1 + 2 t$ eine Gerade mit positiver Steigung ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.
$t > - \frac{1}{2} \Rightarrow D > 0 \Rightarrow$ zwei Lösungen
$t = - \frac{1}{2} \Rightarrow D = 0 \Rightarrow$ eine Lösung
$t < - \frac{1}{2} \Rightarrow D < 0 \Rightarrow$ keine Lösung
Wende nun die Mitternachtsformel an, aber beachte dabei die verschiedenen Fälle für die Werte von $t$ .
$t > - \frac{1}{2} : x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 2 t)}}{- 2} = 1 \pm \sqrt{1 + 2 t}$
$t = - \frac{1}{2} : x_{1} = 1$
$t < - \frac{1}{2} :$ keine Lösung
4
Löse die quadratische Gleichung $4 x^{2} + k^{2} = - m x$ in Abhängigkeit von den Parametern $k > 0$ und $m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: die Mitternachtsformel
Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.
$4 x^{2} + k^{2} = - m x$
$4 x^{2} + m x + k^{2} = 0$
Lese die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ der allgemeinen Form ab.
$a = 4, b = m, c = k^{2}$
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung.
$\begin{array}{l} D = m^{2} - 4 \cdot 4 \cdot k^{2} = \\ m^{2} - 16 k^{2} = (m + 4 k) (m - 4 k) \end{array}$
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ und $k$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.
$\begin{array}{l} D = (m + 4 k) \cdot (m - 4 k) = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow m = - 4 k$ oder $m = 4 k$
Da die Diskriminante $D (m)$ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, kannst du daran das Vorzeichenverhalten ablesen.
Ist $m < - 4 k$ oder $m > 4 k$ , dann ist $D (m) > 0$ und es gibt zwei Lösungen. Ist $m = - 4 k$ oder $m = 4 k$ , so ist $D (m) = 0$ und es gibt genau eine Lösung. Für $m \in (- 4 k, 4 k)$ ist $D (m) < 0$ , also gibt es keine Lösung.
Wende nun die Mitternachtsformel an, um die Lösungen zu bestimmen. Beachte dabei aber die verschiedenen Fälle von oben
Für $m < - 4 k$ oder $m > 4 k$ ist:
$x_{1,2} = \frac{- m \pm \sqrt{m^{2} - 16 k}}{8}$
Für $m = - 4 k$ oder $m = 4 k$ ist:
$x_{} = \frac{- m \pm 0}{8} = \frac{- m}{8}$
Ist stattdessen $m \in (- 4 k, 4 k)$ , dann gibt es keine Lösung.
5
Löse die quadratische Gleichung $(m + 1) x^{2} + x + m + 1 = 0$ in Abhängigkeit vom Parameter $m > 0$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Da auf einer Seite der Gleichung
$(m + 1) x^{2} + x + m + 1 = 0$
bereits Null steht, kannst du sofort die Parameter $a$ , $b$ und $c$ der allgemeinen Form ablesen. Und zwar gilt:
$a = m + 1, b = 1, c = m + 1$
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung.
$\begin{array}{l} D = 1^{2} - 4 \cdot (m + 1) \cdot (m + 1) \\ = 1 - 4 \cdot (m + 1)^{2} \end{array}$
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ auf ihr Vorzeichen:
Da $m > 0$ gilt, ist $m + 1 > 1$ und ebenso das Quadrat $(m + 1)^{2}$ größer als $1$ . Somit ist der Term $4 \cdot (m + 1)^{2}$ größer als $4$ . Folglich ist die Diskriminante für jeden Wert von $m$ kleiner als Null. Daran kannst du also erkennen, dass es keine Lösungen gibt.
6
Löse die quadratische Gleichung $t x^{2} + t x + t = 0$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parameter in quadratischen Gleichungen
$t x^{2} + t x + t = 0$
In der Gleichung steht bereits auf einer Seite die Null. Hier kannst du nichts mehr zusammenfassen. Jetzt kannst du a,b und c ablesen.
$a = t, b = t, c = t$
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung.
$D = t^{2} - 4 \cdot t \cdot t = - 3 t^{2}$
Betrachte das Vorzeichen der Diskriminante in Abhängigkeit vom Parameter $t$ und leite daraus die Anzahl der Lösungen her. Beachte dabei, dass im Fall $t = 0$ die allgemeingültige Gleichung $0 = 0$ entsteht und du somit jedes $x$ einsetzen kannst.
$t \neq 0 : - 3 t^{2} < 0 \Rightarrow$
$t = 0 : 0 = 0 \Rightarrow richtige Aussage für jedes x$
7
Löse die quadratische Gleichung $4 t^{2} x^{2} + 4 t x + 1 = 0$ in Abhängigkeit vom Parameter $t \neq 0$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel mit Parametern
$4 t^{2} x^{2} + 4 t x + 1 = 0$
Bei dieser Gleichung steht auf einer Seite bereits die Null. Hier kannst du nichts mehr ausklammern. Jetzt kannst du a,b und c ablesen.
$a = 4 t^{2}, b = 4 t, c = 1$
Der Fall $t = 0$ ist laut Aufgabenstellung ausgeschlossen. Er muss also nicht explizit untersucht werden.
$D = 16 t^{2} - 4 \cdot 4 t^{2} \cdot 1 = 0$
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung.
Untersuche das Vorzeichenverhalten von $D$ und leite daraus die Anzahl der Lösungen her.
$D = 0 \Rightarrow eine Lösung$
Setze in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1} = \frac{- 4 t}{8 t^{2}} = - \frac{1}{2 t}$
8
Löse die quadratische Gleichung $x^{2} + 2 d x + 9 = 0$ in Abhängigkeit vom Parameter $d$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: die Mitternachtsformel
Auf der einen Seite der Gleichung steht bereits eine Null. Lies also die Parameter $a, b$ und $c$ aus der allgemeinen Form von quadratischen Gleichungen ab.
$x^{2} + 2 d x + 9 = 0$
$a = 1, b = 2 d, c = 9$
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung.
$\begin{array}{l} D = (2 d)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 \\ = 4 d^{2} - 36 = 4 (d^{2} - 9) \end{array}$
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $d$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt. Dabei ist die dritte binomische Formel hilfreich.
$D = 4 (d^{2} - 9) = 4 (d + 3) (d - 3) = 0$
$\Leftrightarrow d = 3$ oder $d = - 3$
Da die Diskriminante in Abhängigkeit von $d$ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, bestimmst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante anhand ihrer Nullstellen und leitest darüber die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter $d$ her.
Ist $d < - 3$ oder $d > 3$ , dann ist $D$ größer also $0$ und es gibt zwei Lösungen. Ist $d = - 3$ oder $d = 3$ , dann ist die Diskriminante $D$ gleich $0$ , sodass genau eine Lösung existiert. Ist stattdessen $d \in (- 3,3)$ , so gibt es keine Lösung.
Wende nun die Mitternachtsformel auf die verschiedenen Fälle an, um die Lösungen jeweils zu bestimmen.
Für $d < - 3$ oder $d > 3$ ist
$\begin{array}{l} x_{1,2} = \frac{- 2 d \pm \sqrt{4 \cdot (d + 3) \cdot (d - 3)}}{2} \\ = - d \pm \sqrt{(d + 3) \cdot (d - 3)} \end{array}$
Für $d = - 3$ oder $d = 3 :$
$\begin{array}{l} x = \frac{- 2 d \pm \sqrt{0}}{2} = - d \end{array}$
Für $d \in (- 3,3)$ existieren keine Lösungen.
9
Löse die quadratische Gleichung $(a + 1) x^{2} + a x + a = 0$ in Abhängigkeit vom Parameter $a$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel mit Parametern
$(a + 1) x^{2} + a x + a = 0$
Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.
Lies $a$ , $b$ und $c$ ab. Beachte, dass $a$ auch als Parameter in der allgemeinen Form der quadratischen Gleichungen vorkommt.
$a = a + 1, b = a, c = a$
Im Sonderfall $a = - 1$ fällt der Term mit $x^{2}$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.
Sei nun $a \neq - 𝟏$ :
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung.
$D$ $=$ $a^{2} - 4 \cdot (a + 1) \cdot a$
$=$ $a^{2} - 4 a^{2} - 4 a$
$=$ $a \cdot (- 3 a - 4)$
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $a$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.
$\begin{array}{l} D = a \cdot (- 3 a - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow a = 0 \lor a = - \frac{4}{3} \end{array}$
Da $- 3 a - 4$ eine Gerade mit negativer Steigung in $a$ ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.
$a < - \frac{4}{3} \Rightarrow D > 0 \Rightarrow$ zwei Lösungen
$a = - \frac{4}{3} \lor a = 0 \Rightarrow D = 0 \Rightarrow$ eine Lösung
$a > - \frac{4}{3} \Rightarrow D < 0 \Rightarrow$ keine Lösung
Wende nun die Mitternachtsformel an.
für $a < - \frac{4}{3} :$
$\Rightarrow x_{1,2} = \frac{- a \pm \sqrt{a \cdot (- 3 a - 4)}}{2 (a + 1)}$
für $\begin{array}{l} a = - \frac{4}{3} \lor a = 0 : \end{array}$
$\Rightarrow x = \frac{- a \pm 0}{2 (a + 1)} = \frac{- a}{2 (a + 1)}$
für $\begin{array}{l} a > - \frac{4}{3} : \end{array}$
$\Rightarrow k e i n e L \ddot{o} s u n g$
Sei nun $𝒂 = - 𝟏$ .
In diesem Fall erhältst du eine lineare Gleichung. Setze dazu $a = - 1$ in die Gleichung ein und löse sie auf.
$(- 1 + 1) x^{2} + (- 1) x + (- 1)$ $=$ $0$
$- x - 1$ $=$ $0$
$x$ $=$ $- 1$
Ergebnis:
für $a < - \frac{4}{3} :$
$\Rightarrow x_{1,2} = \frac{- a \pm \sqrt{a \cdot (- 3 a - 4)}}{2 (a + 1)}$
für $a = - \frac{4}{3} \lor a = 0 :$
$\Rightarrow x = \frac{- a \pm 0}{2 (a + 1)} = \frac{- a}{2 (a + 1)}$
für $a > - \frac{4}{3} :$
$\Rightarrow k e i n e L \ddot{o} s u n g$
für $a = - 1 :$
$\Rightarrow x = - 1$
10
Löse die quadratische Gleichung $3 x^{2} + 2 x + 1 = (m + 1) x + 4$ in Abhängigkeit vom Parameter $m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformeln mit Parametern
$3 x^{2} + 2 x + 1 = (m + 1) x + 4$
Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse zusammen.
$3 x^{2} + 2 x - (m + 1) x - 3 = 0$
Fasse die Terme mit $x$ zusammen indem du den Faktor x ausklammerst.
$3 x^{2} + (1 - m) x - 3 = 0$
Lies $a$ , $b$ und $c$ ab.
$a = 3, b = 1 - m, c = - 3$
Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung.
$\begin{array}{l} D = (1 - m)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3) = (1 - m)^{2} + 36 \end{array}$
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ auf ihr Vorzeichen, indem du beachtest, dass ein Quadrat immer größer oder gleich als Null ist, und leite daraus die Anzahl der Lösungen her.
$D = (1 - m)^{2} + 36 > 0$
$\Rightarrow$ zwei Lösungen für alle m
Wende nun die Mitternachtsformel an.
$x_{1,2} = \frac{- 1 + m \pm \sqrt{(1 - m)^{2} + 36}}{6}$

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$D$	$=$	$a^{2} - 4 \cdot (a + 1) \cdot a$
	$=$	$a^{2} - 4 a^{2} - 4 a$
	$=$	$a \cdot (- 3 a - 4)$

$(- 1 + 1) x^{2} + (- 1) x + (- 1)$	$=$	$0$
$- x - 1$	$=$	$0$
$x$	$=$	$- 1$