Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern

$(a+1)x^2+ax+a=0$

Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.

Lies $a$, $b$ und $c$ ab. Beachte, dass $a$ auch als Parameter in der allgemeinen Form der quadratischen Gleichungen vorkommt.

$a=a+1,b=a,c=a$

Im Sonderfall $a=-1$ fällt der Term mit $x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun $a\ne -\mathrm{𝟏}$:

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $a$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$\begin{array}{l}D=a\cdot (-3a-4)=0\\ \iff a=0\vee a=-\frac{4}{3}\end{array}$

Da $-3a-4$ eine Gerade mit negativer Steigung in $a$ ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

$a<-\frac{4}{3}\Rightarrow D>0\Rightarrow$ zwei Lösungen

$a=-\frac{4}{3}\vee a=0\Rightarrow D=0\Rightarrow$ eine Lösung

$a>-\frac{4}{3}\Rightarrow D<0\Rightarrow$ keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

für $a<-\frac{4}{3}:$

$\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-a\pm \sqrt{a\cdot (-3a-4)}}{2(a+1)}$

für$\begin{array}{l}a=-\frac{4}{3}\vee a=0:\end{array}$

$\Rightarrow x=\frac{-a\pm 0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}$

für$\begin{array}{l}a>-\frac{4}{3}:\end{array}$

$\Rightarrow keineL\ddot{o}sung$

Sei nun $𝒂=-\mathrm{𝟏}$ .

In diesem Fall erhältst du eine lineare Gleichung. Setze dazu $a=-1$ in die Gleichung ein und löse sie auf.

Ergebnis:

für $a<-\frac{4}{3}:$

$\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-a\pm \sqrt{a\cdot (-3a-4)}}{2(a+1)}$

für $a=-\frac{4}{3}\vee a=0:$

$\Rightarrow x=\frac{-a\pm 0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}$

für $a>-\frac{4}{3}:$

$\Rightarrow keineL\ddot{o}sung$

für $a=-1:$

$\Rightarrow x=-1$