Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern

$a{x}^2+4x+4=2x+3$

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

$a{x}^2+2x+1=0$

Lies die Werte der Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab. Beachte, dass das $a$ auf der linken Seite dem $a$ aus der allgemeinen Form entspricht.

$a=a,b=2,c=1$

Im Sonderfall $a=0$ fällt der Term mit $x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun $𝐚\ne \mathrm{𝟎}$:

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$D=2^2-4\cdot a\cdot 1=4-4a=4(1-a)$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $a$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$D=4(1-a)=0\iff a=1$

Du kannst $1-a$ als eine Gerade mit negativer Steigung betrachten und so das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen. Dadurch erhältst du eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Dabei ist $a=0$ ein Spezielfall, den du getrennt betrachten musst.

$a<1\Rightarrow D>0\Rightarrow$

$a=1\Rightarrow D=0\Rightarrow$

$a>1\Rightarrow D<0\Rightarrow$

$a=1\Rightarrow$

zwei Lösungen

eine Lösungen

keine Lösung

Spezialfall

Wende die nun Mitternachtsformel an.

$a<1:x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-2\pm \sqrt{4(1-a)}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1-a}}{a}$

$a=1:x=\frac{-2\pm 0}{2\cdot 1}=-1$

$a>1:keineL\ddot{o}sung$

Sei nun $𝒂=\mathrm{𝟎}$:

In diesem Fall fällt der Term mit $x^2$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung.

Diese kannst du durch Äquivalenzumformung lösen.

$\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}0\cdot x^2+2x+1& =& 0\\ 2x+1& =& 0\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}\end{array}$