Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern

Auf der einen Seite der Gleichung steht bereits eine Null. Lies also die Parameter $a,b$ und $c$ aus der allgemeinen Form von quadratischen Gleichungen ab.

$x^2+2dx+9=0$

$a=1,b=2d,c=9$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\begin{array}{l}D=(2d{)}^2-4\cdot 1\cdot 9\\ =4d^2-36=4(d^2-9)\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $d$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt. Dabei ist die dritte binomische Formel hilfreich.

$D=4(d^2-9)=4(d+3)(d-3)=0$

$\iff d=3$ oder $d=-3$

Da die Diskriminante in Abhängigkeit von $d$ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, bestimmst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante anhand ihrer Nullstellen und leitest darüber die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter $d$ her.

Ist $d<-3$ oder $d>3$, dann ist $D$ größer also $0$und es gibt zwei Lösungen. Ist $d=-3$ oder $d=3$, dann ist die Diskriminante $D$ gleich $0$, sodass genau eine Lösung existiert. Ist stattdessen $d\in (-\mathrm{3,3})$, so gibt es keine Lösung.

Wende nun die Mitternachtsformel auf die verschiedenen Fälle an, um die Lösungen jeweils zu bestimmen.

Für $d<-3$ oder $d>3$ist

$\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-2d\pm \sqrt{4\cdot (d+3)\cdot (d-3)}}{2}\\ =-d\pm \sqrt{(d+3)\cdot (d-3)}\end{array}$

Für $d=-3$ oder $d=3:$

$\begin{array}{l}x=\frac{-2d\pm \sqrt{0}}{2}=-d\end{array}$

Für $d\in (-\mathrm{3,3})$ existieren keine Lösungen.