Mathe Terme und Gleichungen Gleichungen Quadratische Gleichungen mit Parametern Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern

Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern

Löse die quadratische Gleichung $4 x^{2} + k^{2} = - m x$ in Abhängigkeit von den Parametern $k > 0$ und $m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: die Mitternachtsformel

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

$4 x^{2} + k^{2} = - m x$

$4 x^{2} + m x + k^{2} = 0$

Lese die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ der allgemeinen Form ab.

$a = 4, b = m, c = k^{2}$

Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der Gleichung.

$\begin{array}{l} D = m^{2} - 4 \cdot 4 \cdot k^{2} = \\ m^{2} - 16 k^{2} = (m + 4 k) (m - 4 k) \end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ und $k$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$\begin{array}{l} D = (m + 4 k) \cdot (m - 4 k) = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow m = - 4 k$ oder $m = 4 k$

Da die Diskriminante $D (m)$ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, kannst du daran das Vorzeichenverhalten ablesen.

Ist $m < - 4 k$ oder $m > 4 k$ , dann ist $D (m) > 0$ und es gibt zwei Lösungen. Ist $m = - 4 k$ oder $m = 4 k$ , so ist $D (m) = 0$ und es gibt genau eine Lösung. Für $m \in (- 4 k, 4 k)$ ist $D (m) < 0$ , also gibt es keine Lösung.

Wende nun die Mitternachtsformel an, um die Lösungen zu bestimmen. Beachte dabei aber die verschiedenen Fälle von oben

Für $m < - 4 k$ oder $m > 4 k$ ist:

$x_{1,2} = \frac{- m \pm \sqrt{m^{2} - 16 k}}{8}$

Für $m = - 4 k$ oder $m = 4 k$ ist:

$x_{} = \frac{- m \pm 0}{8} = \frac{- m}{8}$

Ist stattdessen $m \in (- 4 k, 4 k)$ , dann gibt es keine Lösung.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org