Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern

Forme die quadratische Gleichung

$2x^2+5x+t=3x^2+3x-t$

so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

$-x^2+2x+2t=0$

Lese $a$, $b$ und $c$ ab.

$a=-1,b=2,c=2t$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\begin{array}{l}D=2^2-4\cdot (-1)\cdot 2t\\ =4+8t\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $t$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$D=4(1+2t)=0\iff t=-\frac{1}{2}$

Da $1+2t$ eine Gerade mit positiver Steigung ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

$t>-\frac{1}{2}\Rightarrow D>0\Rightarrow$ zwei Lösungen

$t=-\frac{1}{2}\Rightarrow D=0\Rightarrow$ eine Lösung

$t<-\frac{1}{2}\Rightarrow D<0\Rightarrow$ keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an, aber beachte dabei die verschiedenen Fälle für die Werte von $t$.

$t>-\frac{1}{2}:x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-2\pm \sqrt{4(1+2t)}}{-2}=1\pm \sqrt{1+2t}$

$t=-\frac{1}{2}:x_1=1$

$t<-\frac{1}{2}:$ keine Lösung