Parameter in quadratischen Gleichungen

Manchmal ist es notwendig, die Lösungen einer quadratischen Gleichung, die einen oder mehrere Parameter enthält, mithilfe der Mitternachtsformel zu berechnen.

Die Aufgabe liegt darin, durch Umformen und Ausklammern die Gleichung auf die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ zu bringen, die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ , die von den Parametern abhängen, richtig abzulesen und dann mit ihnen korrekt weiterzurechnen.

Allgemeine Vorgehensweise

Wenn man auf eine quadratische Gleichung mit Parameter die Mitternachtsformel anwenden will, geht man folgendermaßen vor:

1. Teil: Gleichung auf die richtige Form bringen

1. Schritt	Genau wie bei quadratischen Gleichungen ohne Parameter muss die Gleichung zunächst so umgeformt werden, dass auf der einen Seite 0 steht. Klammern müssen aufgelöst und Zusammengehöriges (wie z. B. $3 x + 5 x$ zu $8 x$ ) zusammengefasst sein.
2. Schritt	Aus den Termen, bei denen $x^{2}$ steht, wird $x^{2}$ ausgeklammert. Aus den Termen, bei denen $x$ steht, wird $x$ ausgeklammert.
3. Schritt:	$a$ ist der Faktor, der bei $x^{2}$ steht (ohne das $x^{2}$ selbst); $b$ ist der Faktor, der bei $x$ steht (ohne das $x$ selbst); $c$ ist der Term, der ohne $x$ dasteht.

Sonderfall: a=0 für bestimmte Parameter

Falls $a$ für bestimmte Parameterwerte gleich null wird, muss man diese Werte in Teil $3$ gesondert betrachten. Für alle anderen Werte fährt man mit Teil $2$ und $3$ fort.

2. Teil: Diskriminante berechnen und Fallunterscheidung durchführen

1. Schritt	Man berechnet die Diskriminante mit Hilfe der Formel $D = b^{2} - 4 a c$ .
2. Schritt	Man überprüft die Diskriminante in Abhängigkeit der / des Parameter/s auf ihr Vorzeichen. Dadurch erhält man eine Aussage darüber, wie viele Lösungen die Gleichung besitzt, falls der Parameter einen bestimmten Wert annimmt.

3. Teil: Mitternachtsformel anwenden und Lösungen angeben

Nun wendet man die Mitternachtsformel an.

Sonderfall a=0

Hier setzt man die Parameterwerte, für die $a = 0$ wird, in die Ausgangsgleichung ein und löst jeweils die sich ergebende lineare Gleichung

Beispiele

Da es sehr viele kleine Details zu beachten gilt, versteht man das Prinzip am besten, wenn man sich möglichst viele Beispiele dazu ansieht und durchrechnet.

Beispiel mit einem Parameter

Aufgabenstellung: Löse die Gleichung $x^{2} - 3 x + 4 = m x$ in Abhängigkeit vom Parameter m.

$x^{2} - 3 x + 4$	$=$	$m x$
	↓	1.Teil, 1. Schritt: Bringe alles auf eine Seite.
$x^{2} - 3 x - m x + 4$	$=$	$0$
	↓	1.Teil, 2. Schritt: Klammere x aus .
$x^{2} - (3 + m) x + 4$	$=$	$0$
	↓	1.Teil, 3. Schritt: Lies a, b und c ab.
$a$	$=$	$1$
$b$	$=$	$- (3 + m)$
$c$	$=$	$4$

$2$ . Teil, $1$ . Schritt: Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ ; dabei ist die erste binomische Formel nützlich.

$D$	$=$	${[- (3 + m)]}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4$
	↓	$(- 1)^{2} = 1$
	$=$	$(m + 3)^{2} - 16$
	↓	Binomische Formel anwenden und zusammenfassen.
	$=$	$m^{2} + 6 m - 7$

$2$ . Teil, $2$ . Schritt: Untersuche das Vorzeichenverhalten der Diskriminante, indem du sie gleich null setzt und mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen berechnest.

$\begin{array}{l} m^{2} + 6 m - 7 = 0 \\ \Rightarrow D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7) = 64 \\ \Rightarrow m_{1,2} = \frac{- 6 \pm 8}{2} \\ \Rightarrow m_{1} = 1, m_{2} = - 7 \end{array}$

Immer noch $2$ . Teil, $2$ . Schritt: Da $m^{2} + 6 m - 7$ eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist die Diskriminante für $m < - 7$ und $m > 1$ positiv, für $m = 1$ und $m = - 7$ gleich null und für $m \in] - 7; 1 [$ negativ.

Gib nun mit diesem Ergebnis die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter $m$ an.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9344_TS2gWFYYUa.xml

$m < - 7$ oder $m > 1$ : Zwei Lösungen

$m = - 7$ oder $m = 1$ : Eine Lösung

$- 7 < m < 1$ : Keine Lösung

$3$ . Teil: Berechne nun mithilfe der Mitternachtsformel die Lösungen $x_{1,2}$ in Abhängigkeit vom Parameter $m$ .

$m < - 7$ oder $\begin{array}{l} m > 1 : \end{array}$ $x_{1,2} = \frac{3 + m \pm \sqrt{m^{2} + 6 m - 7}}{2}$

$m = - 7$ oder $m = 1$ : $x_{1} = \frac{3 + m}{2}$

$- 7 < m < 1 :$ Keine Lösung

Beispiel mit zwei Parametern

Aufgabenstellung: Löse die Gleichung $x^{2} + 2 γ x + ω^{2} = 0$ in Abhängigkeit von den Parametern $γ, ω^{2} > 0$ .

x^{2} + 2 γ x + ω^{2} = 0

mit $γ, ω^{2} > 0$

In diesem Fall lässt du den ersten und zweiten Schritt des $1$ . Teils weg, da das Format der Gleichung schon passt, weshalb du jetzt schon $a$ , $b$ und $c$ abliest.

$a = 1, b = 2 γ, c = ω^{2}$

$2$ . Teil, $1$ . Schritt: Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ .

$D = {(2 γ)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ω^{2} = 4 \cdot (γ^{2} - ω^{2})$

$2$ . Teil, $2$ . Schritt: Untersuche das Vorzeichenverhalten der Diskriminante, indem du die Parameter betrachtest.

$\begin{array}{ccc} D > 0 & \Leftrightarrow & γ > ω; \\ D = 0 & \Leftrightarrow & γ = ω; \\ D < 0 & \Leftrightarrow & γ < ω; \end{array}$

Immer noch $2$ . Teil, $2$ . Schritt: Lies am Verhalten der Parameter (und damit der Diskriminanten) ab, wie viele Lösungen die Gleichung besitzt.

$γ > ω$ : zwei Lösungen

$γ = ω$ : eine Lösung

$γ < ω$ : keine Lösung

$3$ . Teil: Berechne nun mithilfe der Mitternachtsformel die Lösungen $x_{1,2}$ in Abhängigkeit der Parameter $γ$ und $ω$ .

γ > ω : x_{1,2} = \frac{- 2 γ \pm 2 \sqrt{γ^{2} - ω^{2}}}{2}

$= - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω^{2}}$

$γ = ω$ : $x_{1} = - γ$

$γ < ω$ : keine Lösung

Beispiel mit einem Sonderfall

Aufgabenstellung: Löse die Gleichung $m x^{2} + (m + 4) x + 3 = 3 x^{2} + 1$ in Abhängigkeit vom Parameter $m$ .

$m x^{2} + (m + 4) x + 3$	$=$	$3 x^{2} + 1$
	↓	1.Teil, 1. Schritt: Bringe alles auf eine Seite und fasse zusammen.
$m x^{2} - 3 x^{2} + (m + 4) x + 2$	$=$	$0$
	↓	1.Teil, 2. Schritt: Klammere aus .
$(m - 3) x^{2} + (m + 4) x + 2$	$=$	$0$
	↓	1.Teil, 3. Schritt: Lies a, b und c ab.
$a$	$=$	$m - 3$
$b$	$=$	$m + 4$
$c$	$=$	$2$

Im Sonderfall $m = 3$ fällt der Term mit $x^{2}$ weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung ; diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun zunächst $𝒎 \neq 𝟑$ .

$2$ . Teil, $1$ . Schritt: Berechne die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ ; dabei ist die erste binomische Formel nützlich

$\begin{array}{lll} D & = & {(m + 4)}^{2} - 4 \cdot (m - 3) \cdot 2 \\ = & m^{2} + 8 m + 16 - 8 m + 24 \\ = & m^{2} + 40 \end{array}$

$2$ . Teil, $2$ . Schritt: Untersuche das Vorzeichenverhalten der Diskriminante: Diese ist hier immer positiv, da $m^{2}$ immer größer oder gleich null ist und deshalb $m^{2} + 40$ immer echt größer als Null ist.

$D = m^{2} + 40 \geq 40 > 0$

Immer noch $2$ . Teil, $2$ . Schritt: Lies aus dem Vorzeichenverhalten der Diskriminante die Anzahl der Lösungen ab.

Für alle $m \neq 3$ gilt $D > 0 \Rightarrow$ zwei Lösungen unabhängig von $m$ .

$3$ . Teil: Berechne nun mithilfe der Mitternachtsformel die Lösungen $x_{1,2}$ in Abhängigkeit vom Parameter $m$ .

$\begin{array}{ccccc} m \neq 3 : & x_{1,2} & = & \frac{- (m + 4) \pm \sqrt{m^{2} + 40}}{2 (m - 3)} \end{array}$

Sei nun $m = 3$ .

In diesem Fall erhältst du eine lineare Gleichung. Setze dazu $m = 3$ ein und löse auf.

$\begin{array}{cccc} (3 - 3) x^{2} + (3 + 4) x + 2 & = & 0 \\ \Leftrightarrow & 7 x + 2 & = & 0 \\ \Leftrightarrow & x & = & - \frac{2}{7} \end{array}$

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