Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit Parametern

$3x^2+mx-3=4x+m$

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

$3x^2+mx-4x-3-m=0$

Fasse die Summanden mit $x$ zusammen indem du $x$ ausklammerst.

$3x^2+(m-4)x-3-m=0$

Lies $a$, $b$ und $c$ ab.

$a=3,b=m-4,c=-3-m$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung. Dabei hilft dir die zweite binomische Formel .

$\begin{array}{l}D=(m-4{)}^2-4\cdot 3(-3-m)\\ =m^2-8m+16+36+12m\\ =m^2+4m+52\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ auf ihr Vorzeichen, indem du quadratisch ergänzt .

$\begin{array}{l}D=m^2+4m+52\\ =m^2+4m+4+48\\ =(m+2{)}^2+48\end{array}$

Du erkennst, dass $(m+2{)}^2$ als Quadrat immer größer oder gleich Null ist und somit die Diskriminante insgesamt immer größer als Null ist, so dass für alle $m$ zwei Lösungen existieren.

$D=(m+2{)}^2+48>0$ $\Rightarrow$ zwei Lösungen für alle $m$

Wende nun die Mitternachtsformel an.

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-m+4\pm \sqrt{(m+2{)}^2+48}}{6}$