Aufgaben zur Berechnung von Kreisringen und Kreissektoren

1
Wähle die richtige Antwort aus.
In welchem Bild ist der Radius rot markiert?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
Der Radius ist die Länge einer Strecke vom Mittelpunkt $M$ bis zum Rand des Kreises.
Informiere dich genau über die Begriffe: Umfang, Durchmesser, Radius.
Sobald du die Definitionen kennst, weißt du die Antwort.

Wie berechnet man den Flächeninhalt $A$ von einem Kreis mit Radius $r$ ?
$A = π \cdot r^{2}$
$A = π^{2} \cdot r$
$A = \frac{r}{2} \cdot π$
$A = 2 \cdot π \cdot r$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
Die richtige Antwort ist $A = π \cdot r^{2}$ . Sie ist die einzige Formel unter den Antwortmöglichkeiten, bei der du eine Fläche als Ergebnis erhältst. Rechne zum Beispiel mit $r = 1 cm$ . Dann erhältst du $A = π \cdot 1 {cm}^{2} \approx 3,14 {cm}^{2}$ . In den anderen Formeln kommt der Radius $r$ ohne Quadrat vor und dein Ergebnis wird keine Fläche.
Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.

Welche Formel stimmt? (Mit $A$ ist der Flächeninhalt vom Kreis gemeint.)
$A = \frac{U \cdot r}{2}$
$A = \frac{π}{r}$
$r = 2 \cdot d$
$U = π \cdot r$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formeln zum Kreis
Die richtige Antwort ist $A = \frac{U \cdot r}{2}$ .
Um zu überprüfen, dass die Antwort stimmt, kannst du die Formel für den Umfang $U = 2 \cdot π \cdot r$ einsetzen.
$A = \frac{U \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot π \cdot r \cdot r}{2}$
Kürze den Bruch.
$A = π \cdot r \cdot r = π \cdot r^{2}$
Das ist die richtige Formel für den Flächeninhalt. Es wurden nur Äquivalenzumformungen verwendet. Deshalb ist auch die Ausgangsformel $A = \frac{U \cdot r}{2}$ richtig.
Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.

Auf welchem Bild ist ein Kreissegment dargestellt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis

Ein Kreissegment ist im nebenstehenden Bild zu sehen.
Die Grundbegriffe zum Kreis musst du auswendig können.
Benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
2
Wie lang ist der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurücklegst? Berechne den Weg in Metern $(m)$ gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma.
Du fährst mit einem Kinderrad. Das Rad hat einen Außendurchmesser von $500 mm$ .
$1,58 m$
$1570 m$
$1,57 m$
$1,67 m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
$U$ $=$ $d \cdot π$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $500 mm \cdot 3,14$
$=$ $1570 mm$
$=$ $1,57 m$
Antwort: Mit einer Radumdrehung deines Kinderrades kannst du einen Weg von etwa $1,57 m$ zurücklegen.
Der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurücklegst, entspricht dem Umfang deines Rades. Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Kreisumfang. Wandle den Umfang in die geforderte Einheit Meter um und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Du fährst mit einem Jugendrad. Das Rad hat einen Außendurchmesser von $614 mm$ .
$1,92 m$
$2,93 m$
$192,8 m$
$1,93 m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
$U$ $=$ $d \cdot π$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $614 mm \cdot 3,14$
$=$ $1927,96 mm$
$\approx$ $1,93 m$
Antwort: Mit einer Radumdrehung deines Jugendrades kannst du einen Weg von etwa $1,93 m$ zurücklegen.
Der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurücklegst, entspricht dem Umfang deines Rades. Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Kreisumfang. Wandle den Umfang in die geforderte Einheit Meter um und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Du fährst mit einem Tourenrad. Das Rad hat einen Außendurchmesser von $716 mm$ .
$2,248 m$
$2,24 m$
$2,25 m$
$2,15 m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
$U$ $=$ $d \cdot π$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $716 mm \cdot 3,14$
$=$ $2248,24 mm$
$\approx$ $2,25 m$
Antwort: Mit einer Radumdrehung deines Tourenrades kannst du einen Weg von etwa $2,25 m$ zurücklegen.
Der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurücklegst, entspricht dem Umfang deines Rades. Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Kreisumfang. Wandle den Umfang in die geforderte Einheit Meter um und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
3
Eine Näherin hat ein gemustertes Band mit einer bestimmten Länge abgeschnitten. Dieses Band soll um den Rand einer runden Tischdecke genäht werden. Welchen Durchmesser hat die jeweils dazugehörende runde Tischdecke. Gib den Durchmesser in Metern $(m)$ gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma an.
Das gemustertes Band hat eine Länge von $6,28 m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Die Umfangsformel wird nach $d$ aufgelöst:
$U$ $=$ $d \cdot π$ $: π$
$\frac{U}{π}$ $=$ $d$
$d$ $=$ $\frac{U}{π}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{6,28 m}{3,14}$
$=$ $2 m$
Antwort: Die Tischdecke hat einen Durchmesser von etwa $2,00 m$ .
Die Länge des Bandes entspricht dem Umfang des Kreises. Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen. Löse die Umfangsformel nach $d$ auf.

Das gemustertes Band hat eine Länge von $785 cm$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Die Umfangsformel wird nach $d$ aufgelöst:
$U$ $=$ $d \cdot π$ $: π$
$\frac{U}{π}$ $=$ $d$
$d$ $=$ $\frac{U}{π}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{785 cm}{3,14}$
$=$ $250 cm$
↓
Rechne $c m$ in $m$ um
$=$ $2,50 m$
Antwort: Die Tischdecke hat einen Durchmesser von etwa $2,50 m$ .
Die Länge des Bandes entspricht dem Umfang des Kreises. Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen. Löse die Umfangsformel nach $d$ auf.

Das gemustertes Band hat eine Länge von $10990 mm$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Die Umfangsformel wird nach $d$ aufgelöst:
$U$ $=$ $d \cdot π$ $: π$
$\frac{U}{π}$ $=$ $d$
$d$ $=$ $\frac{U}{π}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{10990 mm}{3,14}$
$=$ $3500 mm$
↓
Rechne $m m$ in $m$ um
$=$ $3,50 m$
Antwort: Die Tischdecke hat einen Durchmesser von etwa $3,50 m$ .
Die Länge des Bandes entspricht dem Umfang des Kreises. Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen. Löse die Umfangsformel nach $d$ auf.
4
Bestimme den Flächeninhalt der folgenden Kreissektoren. Gib deine Lösungen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel für die Berechnung der Kreissektorfläche
$A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Rechne anschließend den Term aus:
$\begin{aligned} A & = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360 °} \\ = 10^{2} \cdot π \cdot \frac{25 °}{360 °} \\ = 100 \cdot π \cdot \frac{5}{72} \\ \approx 21,82 \end{aligned}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
$A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2}$
Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
$A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2} = \frac{5,82 \cdot 6}{2} = 17,46$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
$A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
$A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}} = 8^{2} \cdot π \cdot \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}$
Rechne aus und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
$= 64 \cdot π \cdot \frac{1}{6} \approx 33,51$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel
Benutze die Formel, in der $α$ und $r$ vorkommen:
$A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
$A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}} = 8^{2} \cdot π \cdot \frac{125^{\circ}}{360^{\circ}}$
Berechne.
$= 64 \cdot π \cdot \frac{25}{72} \approx 69,81$
2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens
Benutze die Formel, in der $b$ und $r$ vorkommen:
$A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2}$
Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
$A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2} = \frac{17,44 \cdot 8}{2} = 69,76$
Die kleine Abweichung zum vorherigen Ergebnis kommt vom Runden der Länge des Kreisbogens.
5
Berechne bei den einzelnen Figuren jeweils den Umfang und den Flächeninhalt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur $U_{F}$ setzt sich aus zwei geraden $6 cm$ langen Strecken und einem Viertel Kreisumfang zusammen.
Die Formel für den Kreisumfang lautet: $U = 2 π r$
Ein Viertel des Kreisumfangs kann dann mit $U_{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \cdot (2 π r) = 0,5 π r$ berechnet werden. Der Kreisradius $r$ beträgt bei dieser Figur $6 cm$ , so
dass du für $U_{\frac{1}{4}}$ folgenden Wert erhältst:
$U_{\frac{1}{4}}$ $=$ $0,5 \cdot π \cdot r$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $0,5 \cdot 3,14 \cdot 6 cm$
$=$ $9,42 cm$
Damit kannst du den gesamten Umfang der Figur berechnen:
$U_{F}$ $=$ $2 \cdot Radius + U_{\frac{1}{4}}$
$=$ $2 \cdot 6 cm + 9,42 cm$
$=$ $21,42 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $21,42 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Die Kreisfläche berechnest du mit der Formel $A = π r^{2}$ .
Die abgebildete Figur ist ein Viertel eines Kreises mit dem Radius $r = 6 cm$ . Den Flächeninhalt $A_{F}$ dieser Figur kannst du demnach mit $A_{F} = \frac{1}{4} \cdot π \cdot r^{2}$ berechnen:
$A_{F}$ $=$ $= \frac{1}{4} \cdot π \cdot r^{2}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{1}{4} \cdot 3,14 \cdot (6 cm)^{2}$
$=$ $28,26 {cm}^{2}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $28,26 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur $U_{F}$ setzt sich aus vier Vierteln eines Kreisumfangs zusammen. Somit ist der Umfang $U_{F}$ genau der Umfang eines Kreises mit dem Radius $r = 6 cm$ .
Die Formel für den Kreisumfang lautet: $U = 2 π r$
Für den Umfang der Figur $U_{F}$ gilt:
$U_{F}$ $=$ $2 \cdot π \cdot r$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $2 \cdot 3,14 \cdot 6 cm$
$=$ $37,68 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $37,68 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Für die Berechnung des Flächeninhaltes $A_{F}$ denke dir ein Quadrat mit der Seitenlänge $12 cm$ um die Figur gezeichnet. So wie in der folgenden Abbildung.
Die Quadratfläche $A_{Q}$ besteht aus vier $V i e r t e l k r e i s f l ä c h e n$ und der Fläche der Figur $A_{F}$ . Die vier $V i e r t e l k r e i s f l ä c h e n$ lassen sich zu einer ganzen Kreisfläche $A_{K}$ zusammensetzen, die du mit der Formel $A_{K} = π r^{2}$ berechnen kannst. Dabei beträgt der Radius $r = 6 cm$ . Somit erhältst du den Flächeninhalt $A_{F}$ der Figur als Differenz der Quadratfläche $A_{Q}$ und der Kreisfläche $A_{K}$ : $A_{F} = A_{Q} - A_{K}$
$A_{F}$ $=$ $(12 cm)^{2} - π \cdot r^{2}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $144 {cm}^{2} - 3,14 \cdot (6 cm)^{2}$
$=$ $144 {cm}^{2} - 113,04 {cm}^{2}$
$=$ $30,96 {cm}^{2}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $30,96 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur $U_{F}$ setzt sich aus zwei geraden $16 cm$ langen Strecken und zwei Hälften eines Kreisumfangs zusammen. Das ist genau der Umfang eines Kreises mit dem Radius $r = 3 cm$ . Die Formel für den Kreisumfang lautet:
$U = 2 π r$
Für den Umfang der Figur $U_{F}$ gilt:
$U_{F}$ $=$ $2 \cdot 16 cm + 2 \cdot π \cdot 3 cm$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $2 \cdot 16 cm + 2 \cdot 3,14 \cdot 3 cm$
$=$ $50,84 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $50,84 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Die Figur setzt sich aus zwei Teilen zusammen, einem Kreis mit dem Radius $r = 3 cm$ (zwei Halbkreise ergeben einen ganzen Kreis) und einem Rechteck mit den Seitenlängen $a = 16 cm$ und $b = 6 cm$ . Den Flächeninhalt $A_{F}$ dieser Figur berechnest du als Summe einer Kreisfläche und einer Rechteckfläche mit:
$\begin{aligned} A_{F} = & π \cdot r^{2} + a \cdot b \\ = & π \cdot (3 cm)^{2} + 16 cm \cdot 6 cm \\ \approx & 3,14 \cdot 9 {cm}^{2} + 96 {cm}^{2} \\ = & 124,26 {cm}^{2} \end{aligned}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $124,26 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur $U_{F}$ ist die Summe aus zwei Kreisumfängen. Der eine Kreis hat einen Radius von $r_{1} = 6 cm$ und der andere Kreis hat einen Radius von $r_{2} = 2 cm$ . Die Formel für den Kreisumfang lautet:
$U = 2 π r$
Für den Umfang der Figur $U_{F}$ ergibt sich somit:
$U_{F}$ $=$ $U_{g r o ß e r K r e i s} + U_{k l e i n e r K r e i s}$
$=$ $2 \cdot π \cdot 6 cm + 2 \cdot π \cdot 2 cm$
↓
$π$ $\approx$ 3,14
$\approx$ $2 \cdot 3,14 \cdot 6 cm + 2 \cdot 3,14 \cdot 2 cm$
$=$ $37,68 cm + 12,56 cm$
$=$ $50,24 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $50,24 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Den Flächeninhalt $A_{F}$ dieser Figur berechnest du als Differenz von zwei Kreisflächen. $A_{F} = A_{g r o ß e r K r e i s} - A_{k l e i n e r K r e i s}$
$\begin{aligned} A_{F} = & π \cdot {r_{1}}^{2} - π \cdot {r_{2}}^{2} \\ = & π \cdot (6 cm)^{2} - π \cdot (2 cm)^{2} \\ \approx & 3,14 \cdot 36 {cm}^{2} - 3,14 \cdot 4 {cm}^{2} \\ = & 100,48 {cm}^{2} \end{aligned}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $100,48 {cm}^{2}$ .
Beachte: Bei dieser Figur geht es nur um den gefärbten Bereich.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur $U_{F}$ ist die Summe aus vier halben Kreisumfängen, das heißt aus insgesamt zwei Kreisumfängen. Der Kreis hat einen Radius von $r = 4 cm$ . Die Formel für den Kreisumfang lautet:
$U_{K} = 2 π r$
Für den Umfang der Figur $U_{F}$ ergibt sich somit:
$U_{F}$ $=$ $2 \cdot U_{K}$
$=$ $2 \cdot (2 \cdot π \cdot 4 cm)$
↓
$π$ $\approx$ 3,14
$\approx$ $4 \cdot 3,14 \cdot 4 cm$
$=$ $50,24 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $50,24 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Damit es deutlich wird, kannst du dir die Mitte der Figur ohne Farbe vorstellen. Du siehst hier nun ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 8 cm$ . Die vier Halbkreise ergeben zwei ganze Kreise. Den Flächeninhalt $A_{F}$ dieser Figur berechnest du als Summe zweier $K r e i s f l ä c h e n$ und einer Quadratfläche mit: $A_{F} = 2 \cdot A_{F} + A_{Q}$
$\begin{aligned} A_{F} = & 2 \cdot (π \cdot r^{2}) + a^{2} \\ = & 2 \cdot π \cdot (4 cm)^{2} + (8 cm)^{2} \\ \approx & 2 \cdot 3,14 \cdot 16 {cm}^{2} + 64 {cm}^{2} \\ = & 164,48 {cm}^{2} \end{aligned}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $164,48 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang $U_{F}$ der Figur besteht aus einem $orangefarbigen$ großen Halbkreis mit dem Radius $r_{1} = 5 cm$ und zwei kleinen $lilafarbigen$ Halbkreisen mit gleichem Radius $r_{2} = 2,5 cm$ . Die zwei $lilafarbigen$ Halbkreise kannst du zu einem ganzen Kreis zusammensetzen. Für den Umfang $U_{F}$ der Figur gilt demnach:
$U_{F}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot U + U$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot π \cdot r_{1}) + 2 \cdot π \cdot r_{2}$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot π \cdot 5 cm) + 2 \cdot π \cdot 2,5 cm$
$=$ $π \cdot 5 cm + π \cdot 5 cm$
$=$ $10 \cdot π cm$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $10 \cdot 3,14 cm$
$=$ $31,4 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $31,4 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Die Figur kannst du geschickt zerlegen und wieder zusammensetzen. Wie es geht zeigt das nächste Bild.
Denke dir den Durchmesser im großen Halbkreis eingezeichnet. Längs dieser Linie kannst du den $lilafarbigen$ Halbkreis abschneiden und in den unteren kleinen Halbkreis einfügen. Der Flächeninhalt $A_{F}$ der Figur ist nun genau der Flächeninhalt des großen Halbkreises.
Für diesen Flächeninhalt gilt:
$A_{F}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot A_{K}$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot π \cdot r_{1}^{2}$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot π \cdot (5 cm)^{2}$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot π \cdot 25 {cm}^{2}$
$=$ $12,5 \cdot π {cm}^{2}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $12,5 \cdot 3,14 {cm}^{2}$
$=$ $39,25 {cm}^{2}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $39,25 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes nutze die Strategie "Zerlegen" und "Ergänzen"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang $U_{F}$ der Figur besteht aus zwei $grünen Halbkreisen$ mit dem Radius $r = 2 cm$ und zwei $lilafarbigen Strecken$ der Länge $b = 10 cm$ . Die zwei $grünen Halbkreise$ kannst du zu einem ganzen Kreis zusammensetzen.
Für den Umfang $U_{F}$ der Figur gilt demnach:
$U_{F}$ $=$ $U_{K} + 2 \cdot b$
$=$ $2 \cdot π \cdot r + 2 \cdot b$
$=$ $2 \cdot π \cdot 2 cm + 2 \cdot 10 cm$
$=$ $4 \cdot π cm + 20 cm$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $4 \cdot 3,14 cm + 20 cm$
$=$ $12,56 cm + 20 cm$
$=$ $32,56 cm$
Berechnung des Flächeninhaltes
Bei der Berechnung des Flächeninhaltes kannst du die Strategie "Zerlegen" und "Ergänzen" anwenden. Denke dir den linken $lilafarbigen$ Halbkreis abgeschnitten und auf der rechten Seite wieder eingefügt. Der Flächeninhalt $A_{F}$ der Figur ist nun genau der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a = 12 cm - 2 cm = 10 cm$
und $b = 4 cm$ .
Für den Flächeninhalt $A_{F}$ der Figur gilt demnach:
$A_{F}$ $=$ $a \cdot b$
$=$ $10 cm \cdot 4 cm$
$=$ $40 {cm}^{2}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von $40 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Zur Verdeutlichung sind in der obigen Abbildung alle Strecken und Halbkreise farbig gekennzeichnet. Der Umfang der Figur $U_{F}$ setzt sich aus $5 roten$ waagrechten Teilstrecken und $6 roten$ senkrechten Strecken sowie $5 g r \ddot{u} n e n$ halben Kreisumfängen zusammen. Den Kreisumfang berechnest du mit: $U_{K} = 2 \cdot π \cdot r$
$5 rote$ waagrechte Teilstrecken: $b = (1 + 2 + 4 + 2 + 1) cm = 10 cm$
$6 rote$ senkrechte Strecken: $h = (1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1) cm = 8 cm$
$2 kleine grüne$ Halbkreise (Nr. 1 und 5) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r = 0,5 cm \Rightarrow$
$U_{1} = 2 \cdot π \cdot 0,5 cm = π cm$
$2 mittlere grüne$ Halbkreise (Nr. 2 und 4) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r = 1 cm \Rightarrow$
$U_{2} = 2 \cdot π \cdot 1 cm = 2 π cm$
$1 großer grüner$ Halbkreis (Nr. 3) mit dem Radius $r = 2 cm \Rightarrow$
$U_{3} = \frac{1}{2} (2 \cdot π \cdot 2 cm) = 2 π cm$
Damit erhältst du für den gesamten Umfang der Figur:
$U_{F}$ $=$ $b + h + U_{1} + U_{2} + U_{3}$
$=$ $10 cm + 8 cm + (π + 2 π + 2 π) cm$
$=$ $18 cm + 5 π cm$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $18 cm + 5 \cdot 3,14 cm$
$=$ $33,7 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $33,7 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Zur Verdeutlichung sind in der obigen Abbildung die 5 Quadrate nicht mehr farbig gekennzeichnet. Der Flächeninhalt der Figur setzt sich aus der Fläche der 5 weißen Quadrate und der Fläche von $5 grünen$ Halbkreisen zusammen. Bei den Quadraten sind jeweils 2 gleich groß. Je 2 Halbkreise lassen sich zu einem ganzen Kreis ergänzen.
Den Flächeninhalt eines Quadrates berechnest du mit $A_{Q} = a^{2}$ . Berechne nun den Flächeninhalt der 5 weißen Quadrate:
$A_{Q}$ $=$ $A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{4} + A_{5}$
↓
$A_{1} = A_{5}$ und $A_{2} = A_{4}$
$=$ $2 \cdot (1 cm)^{2} + 2 \cdot (2 cm)^{2} + (4 cm)^{2}$
$=$ $(2 + 8 + 16) {cm}^{2}$
$=$ $26 {cm}^{2}$
Den Flächeninhalt eines Kreises kannst du mit $A_{K} = π \cdot r^{2}$ berechnen. Berechne nun den Flächeninhalt der $5 grünen$ Halbkreise:
$2 kleine grüne$ Halbkreise (Nr. 1 und 5) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r = 0,5 cm \Rightarrow$
$A_{K 1} = π \cdot (0,5 cm)^{2} = 0,25 π {cm}^{2}$
$2 mittlere grüne$ Halbkreise (Nr. 2 und 4) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r = 1 cm \Rightarrow$
$A_{K 2} = π \cdot (1 cm)^{2} = π {cm}^{2}$
$1 großer grüner$ Halbkreis (Nr. 3) mit dem Radius $r = 2 cm \Rightarrow$
$A_{K 3} = \frac{1}{2} (π \cdot (2 cm)^{2}) = 2 π {cm}^{2}$
$A_{K}$ $=$ $A_{K 1} + A_{K 2} + A_{K 3}$
$=$ $(0,25 π + π + 2 π) {cm}^{2}$
$=$ $3,25 π {cm}^{2}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $3,25 \cdot 3,14 {cm}^{2}$
$=$ $10,205 {cm}^{2}$
$\approx$ $10,21 {cm}^{2}$
Damit erhältst du für den gesamten Flächeninhalt der Figur:
$A_{F}$ $=$ $A_{Q} + A_{K}$
$=$ $26 {cm}^{2} + 10,21 {cm}^{2}$
$=$ $36,21 {cm}^{2}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $36,21 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
6
Eine Firma produziert runde Tischdecken. Jede Tischdecke erhält um ihren Rand ein gemustertes Band (dieses Band wird auch Borte genannt). Berechne jeweils die Länge des gemusterten Bandes. Gib die Länge in Metern ( $m$ ) gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma an.
Der Durchmesser beträgt $150 cm$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
$U$ $=$ $d \cdot π$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $150 cm \cdot 3,14$
$=$ $471 cm$
↓
Umrechnung 100 cm sind 1 m
$=$ $4,71 m$
Antwort: Die Länge des gemusterten Bandes beträgt etwa $4,71 m$ .
Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Umfang des Kreises.

Der Durchmesser beträgt $1700 mm$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
$U$ $=$ $d \cdot π$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $1700 mm \cdot 3,14$
$=$ $5338 mm$
↓
Umrechnung 1000 mm sind 1 m
$=$ $5,338 m$
↓
auf zwei Nachkommastellen runden
$\approx$ $5,34 m$
Antwort: Die Länge des gemusterten Bandes beträgt etwa $5,34 m$ .
Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Umfang des Kreises.

Der Durchmesser beträgt $2,10 m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
$U$ $=$ $d \cdot π$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $2,10 m \cdot 3,14$
$=$ $6,594 m$
↓
auf zwei Nachkommastellen runden
$\approx$ $6,59 m$
Antwort: Die Länge des gemusterten Bandes beträgt etwa $6,59 m$ .
Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Umfang des Kreises.
7
Der abgebildete Rasensprenger schwenkt um 40° und besprüht so eine Rasenfläche von $20 m^{2}$ .
Wie groß ist seine Reichweite?
Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
Quelle: Sebastian & Kari, CC BY-SA 2.0, Wikimedia Commons
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Bei dieser Aufgabe musst du den Radius eines Kreissektors berechnen.
Die besprühte Rasenfläche bildet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $φ = 40^{\circ}$ und dem gesuchten Radius r.
$\frac{r^{2} \cdot π \cdot φ}{360^{\circ}} = 20 m^{2}$
Setze den Wert $φ = 40^{\circ}$ in die Formel ein.
$\frac{r^{2} \cdot π \cdot 40^{\circ}}{360^{\circ}} = 20 m^{2}$
Kürze die Winkel
$\frac{r^{2} \cdot π}{9} = 20 m^{2}$
Löse die Gleichung nach r auf.
$r = \sqrt{\frac{180 m^{2}}{π}} = \sqrt{\frac{180}{π}} m \approx 7,57 m$
Der Rasensprenger reicht also $7,57 m$ weit.
8
Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.
Beachte bei der Eingabe der Ergebnisse ins entsprechende Eingabefeld auf Folgendes:
Gib die Ergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma gerundet und ohne Einheit ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Umfang des Kreises: $U = 2 \cdot π \cdot r$
Bei der Figur handelt es sich um einen rechtwinkligen Kreisausschnitt, also einen Kreisausschnitt mit $90^{\circ}$ .
Du kannst demnach diese Gleichung durch 4 teilen bzw. mal ein Viertel nehmen, um den Umfang des Kreisbogens $U_{K r e i s b o g e n}$ zu bestimmen.
$U_{K r e i s b o g e n} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot r$
Alternativ
$U_{K r e i s b o g e n} = 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot r$
Alternativ kannst du aber auch gleich die Formel für die Kreisbogenlänge mit dem Winkel $φ = 90^{\circ}$ verwenden.
Jetzt fehlen noch die 2 geraden Stücke. Diese haben gerade jeweils die Länge des Radius $r$ des Kreises. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreises addieren, um den gesamten Umfang der Figur $U_{F i g u r}$ zu bekommen.
$U_{F i g u r} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot r + 2 \cdot r$
Jetzt muss nur noch für $r = 3 c m$ eingesetzt werden.
$U_{F i g u r} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot 3 + 2 \cdot 3$
$U_{F i g u r} \approx 10,7$
Das Ergebnis ist gerundet.
Der Umfang beträgt $10,7 c m$ ..

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Der Umfang der Figur $U_{F i g u r}$ besteht aus der Länge eines Kreisbogens mit dem Winkel $60^{\circ}$ und den 2 geraden Stücken.
Diese geraden Stücke haben gerade jeweils die Länge des Radius $r$ des Kreissektors. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreissektors addieren, um den gesamten Umfang der Figur zu erhalten.
$U_{F i g u r} = 2 \cdot 3,7 \cdot π \cdot \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} + 2 \cdot 3,7 \approx 11,3$
Der Umfang beträgt $11,3 c m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Der Umfang dieser Figur $U_{F i g u r}$ besteht aus zwei geraden Stücken jeweils der Länge $5,8 c m$ und aus dem Umfang der zwei Halbkreise mit jeweils dem Radius $1,2 c m$ .
Wenn du die zwei Halbkreise nebeneinander legst, erkennst du, dass ein Kreis mit dem Radius $1,2 c m$ entsteht.
Du kannst folglich gleich den Umfang des Kreises ( $U_{K r e i s} = 2 \cdot π \cdot r$ ) mit dem Radius $r = 1,2 c m$ statt die Umfänge der zwei Halbkreise hernehmen.
$U_{g e r a d e S t \ddot{u} c k e} = 2 \cdot 5,8$
$U_{H a l b k r e i s e} = U_{K r e i s} = 2 \cdot π \cdot 1,2$
Ingesamt erhält man
$U_{F i g u r} = 2 \cdot 5,8 + 2 \cdot π \cdot 1,2 \approx 19,1$
Der Umfang beträgt $19,1 c m$ .
9
In einem Kreis mit Radius $r = 5 cm$ ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel $φ = 45^{\circ}$ eingezeichnet.
Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Thema dieser Aufgabe ist der Kreissektor.
$r = 5 cm$
$φ = 45^{\circ}$
Formel für die Bogenlänge anwenden um die Länge des Bogens zu berechnen.
$b$ $=$ $2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
↓
Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
$=$ $2 \cdot π \cdot 5 cm \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{5}{4} π cm$
$\approx$ $3,93 cm$
Formel für den Kreissektorflächeninhalt anwenden.
$A_{S}$ $=$ $π \cdot r^{2} \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
↓
Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
$=$ $π \cdot {(5 cm)}^{2} \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{25}{8} π {cm}^{2}$
$\approx$ $9,82 {cm}^{2}$
Alternativ kann auch mit der Gleichung $A_{S} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot b$ gerechnet werden.
$A_{S} = \frac{1}{2} \cdot 5 cm \cdot \frac{5}{4} π cm = \frac{25}{8} π {cm}^{2} \approx 9,82 {cm}^{2}$

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$U$	$=$	$d \cdot π$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$500 mm \cdot 3,14$
	$=$	$1570 mm$
	$=$	$1,57 m$

$d$	$=$	$\frac{U}{π}$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$\frac{6,28 m}{3,14}$
	$=$	$2 m$

$U_{\frac{1}{4}}$	$=$	$0,5 \cdot π \cdot r$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$0,5 \cdot 3,14 \cdot 6 cm$
	$=$	$9,42 cm$

$U_{F}$	$=$	$2 \cdot Radius + U_{\frac{1}{4}}$
	$=$	$2 \cdot 6 cm + 9,42 cm$
	$=$	$21,42 cm$

$A_{F}$	$=$	$= \frac{1}{4} \cdot π \cdot r^{2}$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$\frac{1}{4} \cdot 3,14 \cdot (6 cm)^{2}$
	$=$	$28,26 {cm}^{2}$

$U_{F}$	$=$	$2 \cdot π \cdot r$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$2 \cdot 3,14 \cdot 6 cm$
	$=$	$37,68 cm$

$A_{F}$	$=$	$(12 cm)^{2} - π \cdot r^{2}$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$144 {cm}^{2} - 3,14 \cdot (6 cm)^{2}$
	$=$	$144 {cm}^{2} - 113,04 {cm}^{2}$
	$=$	$30,96 {cm}^{2}$

$U_{F}$	$=$	$2 \cdot 16 cm + 2 \cdot π \cdot 3 cm$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$2 \cdot 16 cm + 2 \cdot 3,14 \cdot 3 cm$
	$=$	$50,84 cm$

$U_{F}$	$=$	$U_{g r o ß e r K r e i s} + U_{k l e i n e r K r e i s}$
	$=$	$2 \cdot π \cdot 6 cm + 2 \cdot π \cdot 2 cm$
	↓	$π$ $\approx$ 3,14
	$\approx$	$2 \cdot 3,14 \cdot 6 cm + 2 \cdot 3,14 \cdot 2 cm$
	$=$	$37,68 cm + 12,56 cm$
	$=$	$50,24 cm$

$U_{F}$	$=$	$2 \cdot U_{K}$
	$=$	$2 \cdot (2 \cdot π \cdot 4 cm)$
	↓	$π$ $\approx$ 3,14
	$\approx$	$4 \cdot 3,14 \cdot 4 cm$
	$=$	$50,24 cm$

$A_{Q}$	$=$	$A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{4} + A_{5}$
	↓	$A_{1} = A_{5}$ und $A_{2} = A_{4}$
	$=$	$2 \cdot (1 cm)^{2} + 2 \cdot (2 cm)^{2} + (4 cm)^{2}$
	$=$	$(2 + 8 + 16) {cm}^{2}$
	$=$	$26 {cm}^{2}$

$U_{F}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot U + U$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot π \cdot r_{1}) + 2 \cdot π \cdot r_{2}$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot π \cdot 5 cm) + 2 \cdot π \cdot 2,5 cm$
	$=$	$π \cdot 5 cm + π \cdot 5 cm$
	$=$	$10 \cdot π cm$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$10 \cdot 3,14 cm$
	$=$	$31,4 cm$

$A_{F}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot A_{K}$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot π \cdot r_{1}^{2}$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot π \cdot (5 cm)^{2}$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot π \cdot 25 {cm}^{2}$
	$=$	$12,5 \cdot π {cm}^{2}$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$12,5 \cdot 3,14 {cm}^{2}$
	$=$	$39,25 {cm}^{2}$

$U_{F}$	$=$	$U_{K} + 2 \cdot b$
	$=$	$2 \cdot π \cdot r + 2 \cdot b$
	$=$	$2 \cdot π \cdot 2 cm + 2 \cdot 10 cm$
	$=$	$4 \cdot π cm + 20 cm$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$4 \cdot 3,14 cm + 20 cm$
	$=$	$12,56 cm + 20 cm$
	$=$	$32,56 cm$

$U_{F}$	$=$	$b + h + U_{1} + U_{2} + U_{3}$
	$=$	$10 cm + 8 cm + (π + 2 π + 2 π) cm$
	$=$	$18 cm + 5 π cm$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$18 cm + 5 \cdot 3,14 cm$
	$=$	$33,7 cm$

$A_{K}$	$=$	$A_{K 1} + A_{K 2} + A_{K 3}$
	$=$	$(0,25 π + π + 2 π) {cm}^{2}$
	$=$	$3,25 π {cm}^{2}$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$3,25 \cdot 3,14 {cm}^{2}$
	$=$	$10,205 {cm}^{2}$
	$\approx$	$10,21 {cm}^{2}$

$A_{F}$	$=$	$A_{Q} + A_{K}$
	$=$	$26 {cm}^{2} + 10,21 {cm}^{2}$
	$=$	$36,21 {cm}^{2}$

$b$	$=$	$2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
	$=$	$2 \cdot π \cdot 5 cm \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{5}{4} π cm$
	$\approx$	$3,93 cm$

$A_{S}$	$=$	$π \cdot r^{2} \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
	$=$	$π \cdot {(5 cm)}^{2} \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{25}{8} π {cm}^{2}$
	$\approx$	$9,82 {cm}^{2}$

Aufgaben zur Berechnung von Kreisringen und Kreissektoren

﻿

1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel

2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens

Berechnung des Umfangs

Berechnung des Flächeninhaltes

Berechnung des Umfangs

Berechnung des Flächeninhaltes

Berechnung des Umfangs

Berechnung des Flächeninhaltes

Berechnung des Umfangs

Berechnung des Flächeninhaltes

Berechnung des Umfangs

Berechnung des Flächeninhaltes

Berechnung des Umfangs

Berechnung des Flächeninhaltes

Berechnung des Umfangs

Berechnung des Flächeninhaltes

Berechnung des Umfangs

Berechnung des Flächeninhaltes

Alternativ