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Aufgaben zur Berechnung von Kreisringen und Kreissektoren

Berechne bei den einzelnen Figuren jeweils den Umfang und den Flächeninhalt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur $U_{F}$ setzt sich aus zwei geraden $6 cm$ langen Strecken und einem Viertel Kreisumfang zusammen.
Die Formel für den Kreisumfang lautet: $U = 2 π r$
Ein Viertel des Kreisumfangs kann dann mit $U_{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \cdot (2 π r) = 0,5 π r$ berechnet werden. Der Kreisradius $r$ beträgt bei dieser Figur $6 cm$ , so
dass du für $U_{\frac{1}{4}}$ folgenden Wert erhältst:
$U_{\frac{1}{4}}$ $=$ $0,5 \cdot π \cdot r$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $0,5 \cdot 3,14 \cdot 6 cm$
$=$ $9,42 cm$
Damit kannst du den gesamten Umfang der Figur berechnen:
$U_{F}$ $=$ $2 \cdot Radius + U_{\frac{1}{4}}$
$=$ $2 \cdot 6 cm + 9,42 cm$
$=$ $21,42 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $21,42 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Die Kreisfläche berechnest du mit der Formel $A = π r^{2}$ .
Die abgebildete Figur ist ein Viertel eines Kreises mit dem Radius $r = 6 cm$ . Den Flächeninhalt $A_{F}$ dieser Figur kannst du demnach mit $A_{F} = \frac{1}{4} \cdot π \cdot r^{2}$ berechnen:
$A_{F}$ $=$ $= \frac{1}{4} \cdot π \cdot r^{2}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{1}{4} \cdot 3,14 \cdot (6 cm)^{2}$
$=$ $28,26 {cm}^{2}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $28,26 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur $U_{F}$ setzt sich aus vier Vierteln eines Kreisumfangs zusammen. Somit ist der Umfang $U_{F}$ genau der Umfang eines Kreises mit dem Radius $r = 6 cm$ .
Die Formel für den Kreisumfang lautet: $U = 2 π r$
Für den Umfang der Figur $U_{F}$ gilt:
$U_{F}$ $=$ $2 \cdot π \cdot r$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $2 \cdot 3,14 \cdot 6 cm$
$=$ $37,68 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $37,68 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Für die Berechnung des Flächeninhaltes $A_{F}$ denke dir ein Quadrat mit der Seitenlänge $12 cm$ um die Figur gezeichnet. So wie in der folgenden Abbildung.
Die Quadratfläche $A_{Q}$ besteht aus vier $V i e r t e l k r e i s f l ä c h e n$ und der Fläche der Figur $A_{F}$ . Die vier $V i e r t e l k r e i s f l ä c h e n$ lassen sich zu einer ganzen Kreisfläche $A_{K}$ zusammensetzen, die du mit der Formel $A_{K} = π r^{2}$ berechnen kannst. Dabei beträgt der Radius $r = 6 cm$ . Somit erhältst du den Flächeninhalt $A_{F}$ der Figur als Differenz der Quadratfläche $A_{Q}$ und der Kreisfläche $A_{K}$ : $A_{F} = A_{Q} - A_{K}$
$A_{F}$ $=$ $(12 cm)^{2} - π \cdot r^{2}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $144 {cm}^{2} - 3,14 \cdot (6 cm)^{2}$
$=$ $144 {cm}^{2} - 113,04 {cm}^{2}$
$=$ $30,96 {cm}^{2}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $30,96 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur $U_{F}$ setzt sich aus zwei geraden $16 cm$ langen Strecken und zwei Hälften eines Kreisumfangs zusammen. Das ist genau der Umfang eines Kreises mit dem Radius $r = 3 cm$ . Die Formel für den Kreisumfang lautet:
$U = 2 π r$
Für den Umfang der Figur $U_{F}$ gilt:
$U_{F}$ $=$ $2 \cdot 16 cm + 2 \cdot π \cdot 3 cm$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $2 \cdot 16 cm + 2 \cdot 3,14 \cdot 3 cm$
$=$ $50,84 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $50,84 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Die Figur setzt sich aus zwei Teilen zusammen, einem Kreis mit dem Radius $r = 3 cm$ (zwei Halbkreise ergeben einen ganzen Kreis) und einem Rechteck mit den Seitenlängen $a = 16 cm$ und $b = 6 cm$ . Den Flächeninhalt $A_{F}$ dieser Figur berechnest du als Summe einer Kreisfläche und einer Rechteckfläche mit:
$\begin{aligned} A_{F} = & π \cdot r^{2} + a \cdot b \\ = & π \cdot (3 cm)^{2} + 16 cm \cdot 6 cm \\ \approx & 3,14 \cdot 9 {cm}^{2} + 96 {cm}^{2} \\ = & 124,26 {cm}^{2} \end{aligned}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $124,26 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur $U_{F}$ ist die Summe aus zwei Kreisumfängen. Der eine Kreis hat einen Radius von $r_{1} = 6 cm$ und der andere Kreis hat einen Radius von $r_{2} = 2 cm$ . Die Formel für den Kreisumfang lautet:
$U = 2 π r$
Für den Umfang der Figur $U_{F}$ ergibt sich somit:
$U_{F}$ $=$ $U_{g r o ß e r K r e i s} + U_{k l e i n e r K r e i s}$
$=$ $2 \cdot π \cdot 6 cm + 2 \cdot π \cdot 2 cm$
↓
$π$ $\approx$ 3,14
$\approx$ $2 \cdot 3,14 \cdot 6 cm + 2 \cdot 3,14 \cdot 2 cm$
$=$ $37,68 cm + 12,56 cm$
$=$ $50,24 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $50,24 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Den Flächeninhalt $A_{F}$ dieser Figur berechnest du als Differenz von zwei Kreisflächen. $A_{F} = A_{g r o ß e r K r e i s} - A_{k l e i n e r K r e i s}$
$\begin{aligned} A_{F} = & π \cdot {r_{1}}^{2} - π \cdot {r_{2}}^{2} \\ = & π \cdot (6 cm)^{2} - π \cdot (2 cm)^{2} \\ \approx & 3,14 \cdot 36 {cm}^{2} - 3,14 \cdot 4 {cm}^{2} \\ = & 100,48 {cm}^{2} \end{aligned}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $100,48 {cm}^{2}$ .
Beachte: Bei dieser Figur geht es nur um den gefärbten Bereich.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur $U_{F}$ ist die Summe aus vier halben Kreisumfängen, das heißt aus insgesamt zwei Kreisumfängen. Der Kreis hat einen Radius von $r = 4 cm$ . Die Formel für den Kreisumfang lautet:
$U_{K} = 2 π r$
Für den Umfang der Figur $U_{F}$ ergibt sich somit:
$U_{F}$ $=$ $2 \cdot U_{K}$
$=$ $2 \cdot (2 \cdot π \cdot 4 cm)$
↓
$π$ $\approx$ 3,14
$\approx$ $4 \cdot 3,14 \cdot 4 cm$
$=$ $50,24 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $50,24 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Damit es deutlich wird, kannst du dir die Mitte der Figur ohne Farbe vorstellen. Du siehst hier nun ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 8 cm$ . Die vier Halbkreise ergeben zwei ganze Kreise. Den Flächeninhalt $A_{F}$ dieser Figur berechnest du als Summe zweier $K r e i s f l ä c h e n$ und einer Quadratfläche mit: $A_{F} = 2 \cdot A_{F} + A_{Q}$
$\begin{aligned} A_{F} = & 2 \cdot (π \cdot r^{2}) + a^{2} \\ = & 2 \cdot π \cdot (4 cm)^{2} + (8 cm)^{2} \\ \approx & 2 \cdot 3,14 \cdot 16 {cm}^{2} + 64 {cm}^{2} \\ = & 164,48 {cm}^{2} \end{aligned}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $164,48 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang $U_{F}$ der Figur besteht aus einem $orangefarbigen$ großen Halbkreis mit dem Radius $r_{1} = 5 cm$ und zwei kleinen $lilafarbigen$ Halbkreisen mit gleichem Radius $r_{2} = 2,5 cm$ . Die zwei $lilafarbigen$ Halbkreise kannst du zu einem ganzen Kreis zusammensetzen. Für den Umfang $U_{F}$ der Figur gilt demnach:
$U_{F}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot U + U$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot π \cdot r_{1}) + 2 \cdot π \cdot r_{2}$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot π \cdot 5 cm) + 2 \cdot π \cdot 2,5 cm$
$=$ $π \cdot 5 cm + π \cdot 5 cm$
$=$ $10 \cdot π cm$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $10 \cdot 3,14 cm$
$=$ $31,4 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $31,4 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Die Figur kannst du geschickt zerlegen und wieder zusammensetzen. Wie es geht zeigt das nächste Bild.
Denke dir den Durchmesser im großen Halbkreis eingezeichnet. Längs dieser Linie kannst du den $lilafarbigen$ Halbkreis abschneiden und in den unteren kleinen Halbkreis einfügen. Der Flächeninhalt $A_{F}$ der Figur ist nun genau der Flächeninhalt des großen Halbkreises.
Für diesen Flächeninhalt gilt:
$A_{F}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot A_{K}$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot π \cdot r_{1}^{2}$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot π \cdot (5 cm)^{2}$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot π \cdot 25 {cm}^{2}$
$=$ $12,5 \cdot π {cm}^{2}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $12,5 \cdot 3,14 {cm}^{2}$
$=$ $39,25 {cm}^{2}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $39,25 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes nutze die Strategie "Zerlegen" und "Ergänzen"
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang $U_{F}$ der Figur besteht aus zwei $grünen Halbkreisen$ mit dem Radius $r = 2 cm$ und zwei $lilafarbigen Strecken$ der Länge $b = 10 cm$ . Die zwei $grünen Halbkreise$ kannst du zu einem ganzen Kreis zusammensetzen.
Für den Umfang $U_{F}$ der Figur gilt demnach:
$U_{F}$ $=$ $U_{K} + 2 \cdot b$
$=$ $2 \cdot π \cdot r + 2 \cdot b$
$=$ $2 \cdot π \cdot 2 cm + 2 \cdot 10 cm$
$=$ $4 \cdot π cm + 20 cm$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $4 \cdot 3,14 cm + 20 cm$
$=$ $12,56 cm + 20 cm$
$=$ $32,56 cm$
Berechnung des Flächeninhaltes
Bei der Berechnung des Flächeninhaltes kannst du die Strategie "Zerlegen" und "Ergänzen" anwenden. Denke dir den linken $lilafarbigen$ Halbkreis abgeschnitten und auf der rechten Seite wieder eingefügt. Der Flächeninhalt $A_{F}$ der Figur ist nun genau der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a = 12 cm - 2 cm = 10 cm$
und $b = 4 cm$ .
Für den Flächeninhalt $A_{F}$ der Figur gilt demnach:
$A_{F}$ $=$ $a \cdot b$
$=$ $10 cm \cdot 4 cm$
$=$ $40 {cm}^{2}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von $40 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Zur Verdeutlichung sind in der obigen Abbildung alle Strecken und Halbkreise farbig gekennzeichnet. Der Umfang der Figur $U_{F}$ setzt sich aus $5 roten$ waagrechten Teilstrecken und $6 roten$ senkrechten Strecken sowie $5 g r \ddot{u} n e n$ halben Kreisumfängen zusammen. Den Kreisumfang berechnest du mit: $U_{K} = 2 \cdot π \cdot r$
$5 rote$ waagrechte Teilstrecken: $b = (1 + 2 + 4 + 2 + 1) cm = 10 cm$
$6 rote$ senkrechte Strecken: $h = (1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1) cm = 8 cm$
$2 kleine grüne$ Halbkreise (Nr. 1 und 5) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r = 0,5 cm \Rightarrow$
$U_{1} = 2 \cdot π \cdot 0,5 cm = π cm$
$2 mittlere grüne$ Halbkreise (Nr. 2 und 4) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r = 1 cm \Rightarrow$
$U_{2} = 2 \cdot π \cdot 1 cm = 2 π cm$
$1 großer grüner$ Halbkreis (Nr. 3) mit dem Radius $r = 2 cm \Rightarrow$
$U_{3} = \frac{1}{2} (2 \cdot π \cdot 2 cm) = 2 π cm$
Damit erhältst du für den gesamten Umfang der Figur:
$U_{F}$ $=$ $b + h + U_{1} + U_{2} + U_{3}$
$=$ $10 cm + 8 cm + (π + 2 π + 2 π) cm$
$=$ $18 cm + 5 π cm$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $18 cm + 5 \cdot 3,14 cm$
$=$ $33,7 cm$
Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $33,7 cm$ .
Berechnung des Flächeninhaltes
Zur Verdeutlichung sind in der obigen Abbildung die 5 Quadrate nicht mehr farbig gekennzeichnet. Der Flächeninhalt der Figur setzt sich aus der Fläche der 5 weißen Quadrate und der Fläche von $5 grünen$ Halbkreisen zusammen. Bei den Quadraten sind jeweils 2 gleich groß. Je 2 Halbkreise lassen sich zu einem ganzen Kreis ergänzen.
Den Flächeninhalt eines Quadrates berechnest du mit $A_{Q} = a^{2}$ . Berechne nun den Flächeninhalt der 5 weißen Quadrate:
$A_{Q}$ $=$ $A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{4} + A_{5}$
↓
$A_{1} = A_{5}$ und $A_{2} = A_{4}$
$=$ $2 \cdot (1 cm)^{2} + 2 \cdot (2 cm)^{2} + (4 cm)^{2}$
$=$ $(2 + 8 + 16) {cm}^{2}$
$=$ $26 {cm}^{2}$
Den Flächeninhalt eines Kreises kannst du mit $A_{K} = π \cdot r^{2}$ berechnen. Berechne nun den Flächeninhalt der $5 grünen$ Halbkreise:
$2 kleine grüne$ Halbkreise (Nr. 1 und 5) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r = 0,5 cm \Rightarrow$
$A_{K 1} = π \cdot (0,5 cm)^{2} = 0,25 π {cm}^{2}$
$2 mittlere grüne$ Halbkreise (Nr. 2 und 4) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r = 1 cm \Rightarrow$
$A_{K 2} = π \cdot (1 cm)^{2} = π {cm}^{2}$
$1 großer grüner$ Halbkreis (Nr. 3) mit dem Radius $r = 2 cm \Rightarrow$
$A_{K 3} = \frac{1}{2} (π \cdot (2 cm)^{2}) = 2 π {cm}^{2}$
$A_{K}$ $=$ $A_{K 1} + A_{K 2} + A_{K 3}$
$=$ $(0,25 π + π + 2 π) {cm}^{2}$
$=$ $3,25 π {cm}^{2}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $3,25 \cdot 3,14 {cm}^{2}$
$=$ $10,205 {cm}^{2}$
$\approx$ $10,21 {cm}^{2}$
Damit erhältst du für den gesamten Flächeninhalt der Figur:
$A_{F}$ $=$ $A_{Q} + A_{K}$
$=$ $26 {cm}^{2} + 10,21 {cm}^{2}$
$=$ $36,21 {cm}^{2}$
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $36,21 {cm}^{2}$ .
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.

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