Aufgaben zu den binomischen Formeln

1
Was ist hier falsch?
${(- a - 2,5)}^{2}$
↓
Faktor -1 ausklammern.
$=$ $- 1 \cdot {(a + 2,5)}^{2}$
↓
1. binomische Formel anwenden
$=$ $- 1 \cdot (a^{2} + 5 a + 6,25)$
↓
Klammer ausmultiplizieren
$=$ $- a^{2} - 5 a - 6,25$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Termumformungen
${(- a - 2,5)}^{2}$
Faktor -1 ausklammern.
$= {[(- 1) \cdot (a + 2,5)]}^{2}$
Potenzgesetz anwenden: Es gilt
${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$ , hier ist
$a = - 1$ , $b = a + 2,5$ und $x = 2$
$= {(- 1)}^{2} \cdot {(a + 2,5)}^{2}$
Die erste Klammer wird zu 1. Für die zweite Klammer die 1. binomische Formel anwenden.
$= 1 \cdot (a^{2} + 5 a + 6,25)$
Klammer ausmultiplizieren.
$= a^{2} + 5 a + 6,25$

Was ergibt $1 000 000 000 000 001^{2} - 999 999 999 999 999^{2}$ ?

Löse auf (Binome)

${(a c + b d)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(a c + b d)}^{2}$ $=$ $(a c)^{2} + 2 \cdot a c \cdot b d + (b d)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $a^{2} c^{2} + 2 a b c d + b^{2} d^{2}$
$(a + b)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(a + b)}^{2}$ $=$ $a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a + b c)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(a + b c)}^{2}$ $=$ $a^{2} + 2 \cdot a \cdot b c + {(b c)}^{2}$
↓
Berechne das Quadrat und das Produkt.
$=$ $a^{2} + 2 a b c + b^{2} c^{2}$
${(a d + c b)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(a d + c b)}^{2}$ $=$ $(a d)^{2} + 2 \cdot a d \cdot c b + (c b)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $a^{2} d^{2} + 2 a b c d + b^{2} c^{2}$

$5 (6 x + 4 y)^{2}$

$(3 - 8 n)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 2. Binomische Formel an
↓
${(3 - 8 n)}^{2}$ $=$ $3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 8 n + (8 n)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $9 - 48 n + 64 n^{2}$
$(u + 5 v)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(u + 5 v)}^{2}$ $=$ $u^{2} + 2 \cdot u \cdot 5 v + (5 v)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $u^{2} + 10 u v + 25 v^{2}$
$(z - 1)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 2. Binomische Formel an
↓
${(z - 1)}^{2}$ $=$ $z^{2} - 2 \cdot z \cdot 1 + 1^{2}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $z^{2} - 2 z + 1$
$(2 s + r)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(2 s + r)}^{2}$ $=$ $(2 s)^{2} + 2 \cdot 2 s \cdot r + (r)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $4 s^{2} + 4 r s + r^{2}$
$(4 a - 5 b)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 2. Binomische Formel an
↓
${(4 a - 5 b)}^{2}$ $=$ $(4 a)^{2} - 2 \cdot 4 a \cdot 5 b + (5 b)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $16 a^{2} - 40 a b + 25 b^{2}$
$(a + b) (u + v)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende auf die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an
↓
$(a + b) \cdot {(u + v)}^{2}$ $=$ $(a + b) \cdot (u^{2} + 2 \cdot u \cdot v + v^{2})$
↓
Multipliziere die beiden Klammern.
$=$ $a u^{2} + 2 a u v + a v^{2} + b u^{2} + 2 b u v + b v^{2}$

$(3 b - 5 c) (2 x + 5 y)^{2}$

Schreibe ohne Klammern

$(a + 7) (a - 7)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$(a + 7) (a - 7)$
3. Binomische Formel anwenden, um die Klammern aufzulösen. Falls du die Formel nicht parat hast, kannst du die Klammern ausmultiplizieren:
$[a * (a - 7)] + [7 * (a - 7)]$
Dafür multiplizierst du jeden Term der ersten Klammer ( $a$ und $7)$ mit der gesamten zweiten Klammer $(a - 7)$ . Weil das Additionsverhältnis der ersten Klammer weiter abgebildet werden muss, addierst du die beiden Multiplikationen $a * (a - 7)$ und $7 * (a - 7)$ wieder. Wegen Punkt vor Strich musst du hierfür jeweils eine große Klammer setzen: $[a * (a - 7)] + [7 * (a - 7)]$
$a^{2} - 7 a + 7 a - 49$
Löse die Klammern von innen () nach außen [ ] auf. Beachte dabei die Vorzeichenregeln: aus $a * (- 7$ ) wird $- 7 a$ und aus $7 * (- 7)$ wird $- 49$ ! Darum ist der letzte Term im Setting $(a + b) (a - b)$ immer negativ.
$a^{2} (+ 0) - 49$
Die Terme $- 7 a$ und $+ 7 a$ heben sich auf. Die mittleren Terme heben sich im Setting $(a + b) (a - b)$ immer auf. Darum kannst du dir den ganzen Prozess sparen, wenn du die 3. binomische Formel kennst! :D
$= a^{2} - 49$
Denn übrig bleibt das Ergebnis der 3. binomischen Formel $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
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${(a + 4 b)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Anwendung der ersten binomischen Formel
${(a + 4 b)}^{2}$
1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= a^{2} + 8 a b + 16 b^{2}$
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${(2 r - 12)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
${(2 r - 12)}^{2}$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= 4 r^{2} - 48 r + 144$
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${(r^{2} + 5)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Klammer auflösen mit binomischer Formel
${(r^{2} + 5)}^{2}$
1. Binomische Formel anwenden, um die Klammer aufzulösen.
$= r^{4} + 10 r^{2} + 25$
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${(r - \frac{1}{3})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
${(r - \frac{1}{3})}^{2}$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer auflösen.
$= r^{2} - \frac{2}{3} r + \frac{1}{9}$
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$(r + 8) (r - 8)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$(r + 8) (r - 8)$
3. Binomische Formel anwenden um die Klammern aufzulösen.
$= r^{2} - 64$
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$(2 r + 9) (2 r - 9)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$(2 r + 9) (2 r - 9)$
Die 3. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= 4 r^{2} - 81$
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${(- z + 9)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
${(- z + 9)}^{2}$
Kommutativgesetz anwenden.
$= {(9 - z)}^{2}$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= 81 - 18 z + z^{2}$
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${(- a - 2,5)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
${(- a - 2,5)}^{2}$ $=$
↓
Faktor $- 1$ ausklammern.
$=$ ${[- 1 \cdot (a + 2,5)]}^{2}$
↓
Potenzgesetz anwenden.
$=$ $(- 1)^{2} \cdot {(a + 2,5)}^{2}$
↓
1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$=$ $1 \cdot (a^{2} + 5 a + 6,25)$
$=$ $a^{2} + 5 a + 6,25$

${(r + 4)}^{3}$

${(2 r - \frac{1}{2})}^{3}$

Vereinfache

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${(2 + r)}^{2} - {(2 - r)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
1. und 2. Binomische Formel anwenden.
${(2 + r)}^{2} - {(2 - r)}^{2}$ $=$ $4 + 4 r + r^{2} - (4 - 4 r + r^{2})$
↓
Klammer auflösen.
$=$ $4 + 4 r + r^{2} - 4 + 4 r - r^{2}$
↓
Terme zusammenfassen.
$=$ $8 r$
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$16 r^{2} - {(3 a - 4 r)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Für die Klammer die 2. Binomische Formel anwenden.
$16 r^{2} - {(3 a - 4 r)}^{2}$ $=$ $16 r^{2} - (9 a^{2} - 24 a r + 16 r^{2})$
↓
Klammer auflösen.
$=$ $16 r^{2} - 9 a^{2} + 24 a r - 16 r^{2}$
↓
Terme zusammenfassen.
$=$ $- 9 a^{2} + 24 a r$

${(5 r - 19)}^{2} - (r - 3) (3 + r) - (3 r + 4) (4 r - 5) + {(2 r + 3)}^{2} + 179 r + 1$

Kann man die binomische Formel anwenden? Wenn ja, wende sie an.

$(4 x + 5 y) (5 y + 4 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$(4 x + 5 y) (5 y + 4 x)$ $=$ $(4 x + 5 y) (4 x + 5 y)$
↓
Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen.
$=$ ${(4 x + 5 y)}^{2}$
↓
Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
$=$ $16 x^{2} + 40 x y + 25 y^{2}$
$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} - 3 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} - 3 x)$ $=$ ${(8 x^{2} - 3 x)}^{2}$
↓
Man kann die 2. binomische Formel anwenden.
$=$ ${(8 x^{2})}^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} \cdot 3 x + {(3 x)}^{2}$
↓
Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze
$=$ $64 x^{4} - 48 x^{3} + 9 x^{2}$
$(4 p + 5 q) (4 q + 5 p)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $(4 p + 5 q) (4 q + 5 p)$ kann man die binomischen Formeln nicht anwenden, weil es in den beiden Klammern nicht dieselben Terme sind und auch die 3. binomische Formel nicht angwendet werden kann.
$(8 x^{2} - 3 x) (3 x + 8 x^{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$(8 x^{2} - 3 x) (3 x + 8 x^{2})$ $=$ $(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} + 3 x)$
↓
Man kann die 3. binomische Formel anwenden.
$=$ $64 x^{4} - 9 x^{2}$

$(- x - 3 y) (- 3 y - x)$

$(\frac{3}{4} m - 2 n) (\frac{4}{3} m - 2 n)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $(\frac{3}{4} m - 2 n) (\frac{4}{3} m - 2 n)$ kann man keine binomische Formel anwenden, da die Terme in den Klammern gleich sein müssen. Aber $\frac{3}{4} m$ und $\frac{4}{3} m$ sind nicht gleich.
$16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$ $=$ ${(4 a - 2 b)}^{2}$
↓
Erkennen und Auflösen der 2. binomische Formel.
$\frac{1}{4} a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $\frac{1}{4} a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}$ kann man keine binomische Formel anwenden, da bei diesen Quadrattermen der Mischterm $2 \cdot \frac{1}{2} a \cdot 2 b = 2 a b$ sein müsste.
$25 a^{2} + 50 a b - 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$25 a^{2} + 50 a b - 4 b^{2}$
Man kann keine binomische Formel anwenden. Die Quadratterme $25 a^{2}$ und $- 4 b^{2}$ haben unterschiedliche Vorzeichen. Für die erste und zweite binomische Formel müssen nämlich die Koeffizienten von $a^{2}$ und $b^{2}$ dieselben Vorzeichen haben. Außerdem müsste dann der Mischterm $2 \cdot 5 a \cdot 2 b = 20 a b$ sein und nicht wie hier $50 a b$ . Bei der dritten binomischen Formel haben zwar $a^{2}$ und $b^{2}$ unterschiedliche Vorzeichen, jedoch kann es dabei keinen Mischterm geben.

Multipliziere aus und fasse neu zusammen:

${(3 x - 5 y)}^{2} - {(3 x + 5 y)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
Wende in der ersten Klammer die zweite binomische Formel und in der zweiten Klammer die erste binomische Formel an.
${(3 x - 5 y)}^{2} - {(3 x + 5 y)}^{2}$ $=$ $(9 x^{2} - 30 x y + 25 y^{2}) - (9 x^{2} + 30 x y + 25 y^{2})$
↓
Löse die Klammern auf.
$=$ $- 60 x y$
$\frac{2}{3} {(6 a - 1,5 b)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Wende die zweite binomische Formel an.
$\frac{2}{3} {(6 a - 1,5 b)}^{2}$ $=$ $\frac{2}{3} (36 a^{2} - 18 a b + 2,25 b^{2})$
↓
Wende das Distributivgesetz an.
$=$ $24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$
Alternative:
Klammere $1,5$ aus. Beachte dabei, dass du wegen des Quadrats diesen Faktor zweimal erhältst und dass $\frac{2}{3}$ gerade der Kehrwert von $1,5$ ist.
$\frac{2}{3} (6 a - 1,5 b)^{2}$ $=$ $\frac{2}{3} \cdot 1,5 \cdot 1,5 \cdot (4 a - b)^{2}$
↓
Fasse zusammen und wende die 2. Binomische Formel an
$=$ $1,5 \cdot (16 a^{2} - 8 a b + b^{2})$
↓
Multipliziere aus
$=$ $24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$
${(0,5 x - y)}^{2} - (0,5 x - y) \cdot (0,5 x + y)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Wende in der ersten Klammer die zweite binomische Formel und im hinteren Teil die dritte binomische Formel an.
${(0,5 x - y)}^{2} - (0,5 x - y) \cdot (0,5 x + y)$
$=$ $(0,25 x^{2} - x y + y^{2}) - (0,25 x^{2} - y^{2})$
↓
Löse die Klammern auf.
$=$ $0,25 x^{2} - x y + y^{2} - 0,25 x^{2} + y^{2}$
↓
$0,25 x^{2}$ und $- 0,25 x^{2}$ heben sich aus und fasse die $y^{2}$ zusammen.
$=$ $- x y + 2 y^{2}$
${(\frac{1}{3} x - 2)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(x + 2)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Klammern mit Hilfe der binomischen Formeln ausrechnen (Erste Klammer mit zweiter binomischer Formel, zweite Klammer mit erster binomischer Formel).
${(\frac{1}{3} x - 2)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(x + 2)}^{2}$ $=$ $(\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4) + \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 4 x + 4)$
↓
Klammern ausmultiplizieren
$=$ $\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4 + \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$
↓
Terme zusammenfassen.
$=$ $\frac{4}{9} x^{2} + \frac{16}{3}$
${(2 x - 3)}^{2} - 2 \cdot {(x + 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(6 - 2 x)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Erste Klammer mit zweiter binomischer Formel, zweite Klammer mit erster binomischer Formel und dritte Klammer mit zweiter binomischer Formel ausrechnen.
${(2 x - 3)}^{2} - 2 \cdot {(x + 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(6 - 2 x)}^{2}$
$=$ $(4 x^{2} - 12 x + 9) - 2 \cdot (x^{2} + 6 x + 9) - \frac{1}{2} \cdot (36 - 24 x + 4 x^{2})$
↓
Klammern ausmultiplizieren
$=$ $4 x^{2} - 12 x + 9 - 2 x^{2} - 12 x - 18 - 18 + 12 x - 2 x^{2}$
↓
Terme zusammenfassen.
$=$ $- 12 x - 27$

$\frac{1}{3} \cdot {(1,5 a - b)}^{2} - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$

${(a - 0,4 b)}^{2} - 2 \cdot {(0,3 b - 0,5 a)}^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$

8
Ergänze
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
$\dots + 14 r + 49 = {(\dots \dots .)}^{2}$
Am $+$ vor dem Mischterm $14 r$ erkennt man, dass man die 1. Binomische Formel ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ anwenden muss.
Aus dem Quadratterm kann man $b$ bestimmen.
$49 = b^{2}$ $\Rightarrow$ $b = 7$
$\dots + 14 r + 49 = {(\dots + 7)}^{2}$
Aus dem Mischterm kann man $a$ bestimmen.
$2 \cdot a \cdot b = 14 r$
$2 \cdot 7 \cdot a = 14 r \Rightarrow a = r$
$\Rightarrow {(r + 7)}^{2}$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
$r^{2} - \frac{1}{3} r \dots . = {(\dots \dots)}^{2}$
Am $-$ vor dem Mischterm $\frac{1}{3} r$ erkennt man, dass man die 2. Binomische Formel ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ anwenden muss.
Aus Quadratterm kann man $a$ bestimmen.
$a^{2} = r^{2} \Rightarrow a = r$
$r^{2} - \frac{1}{3} r \dots \dots = {(r - \dots)}^{2}$
Aus dem Mischterm kann man $b$ bestimmen.
$2 \cdot a \cdot b = \frac{1}{3} r$
$2 \cdot r \cdot b = \frac{1}{3} r \Rightarrow b = \frac{1}{6}$
$\Rightarrow {(r - \frac{1}{6})}^{2}$
9
Verwandle in ein Produkt.
$225 + 30 a + a^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
$225 + 30 a + a^{2}$ $=$ $15^{2} + 2 \cdot 15 \cdot a + a^{2}$
↓
Wende die 1. binomische Formel an.
$=$ ${(15 + a)}^{2}$

$4 m^{2} + 28 m + 49$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
$4 m^{2} + 28 m + 49$ $=$ ${(2 m)}^{2} + 2 \cdot 2 m \cdot 7 + 7^{2}$
↓
Wende die 1. binomische Formel an.
$=$ ${(2 m + 7)}^{2}$

$9 a^{2} - 16 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
$9 a^{2} - 16 b^{2}$ $=$ ${(3 a)}^{2} - {(4 b)}^{2}$
↓
Wende 3. binomische Formel an.
$=$ $(3 a + 4 b) \cdot (3 a - 4 b)$

$81 u^{2} - 36 u + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
$81 u^{2} - 36 u + 4$ $=$ ${(9 u)}^{2} - 2 \cdot 9 u \cdot 2 + 2^{2}$
↓
Wende 2. binomische Formel an.
$=$ ${(9 u - 2)}^{2}$

$36 u^{2} - 289 w^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
$36 u^{2} - 289 w^{2}$ $=$ ${(6 u)}^{2} - {(17 w)}^{2}$
↓
Wende die 3. binomische Formel an.
$=$ $(6 u + 17 w) (6 u - 17 w)$

$324 + 36 x + x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
$324 + 36 x + x^{2}$ $=$ $18^{2} + 2 \cdot 18 \cdot x + x^{2}$
↓
Wende die 1. binomische Formel an.
$=$ ${(18 + x)}^{2}$

$49 k^{2} - 70 k u + 25 u^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
$49 k^{2} - 70 k u + 25 u^{2}$ $=$ ${(7 k)}^{2} - 2 \cdot 7 k \cdot 5 u + {(5 u)}^{2}$
↓
Wende 2. binomische Formel an.
$=$ ${(7 k - 5 u)}^{2}$

$64 y^{2} - 160 y z + 100 z^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
$64 y^{2} - 160 y z + 100 z^{2}$ $=$ ${(8 y)}^{2} - 2 \cdot 8 y \cdot 10 z + {(10 z)}^{2}$
↓
Wende die 2. binomische Formel an.
$=$ ${(8 y - 10 z)}^{2}$

$361 m^{2} - 256 n^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
$361 m^{2} - 256 n^{2}$ $=$ ${(19 m)}^{2} - {(16 n)}^{2}$
↓
Wende 3. binomische Formel an.
$=$ $(19 m - 16 n) \cdot (19 m + 16 n)$

$121 x^{2} + 44 x y + 4 y^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
$121 x^{2} + 44 x y + 4 y^{2}$ $=$ ${(11 x)}^{2} + 2 \cdot 11 x \cdot 2 y + {(2 y)}^{2}$
↓
Wende 1. binomische Formel an.
$=$ ${(11 x + 2 y)}^{2}$
10
Faktorisiere
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$100 r^{2} - 225$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$100 r^{2} - 225$
Da es nur zwei Quadratterme ohne Mischterm gibt, muss man die 3. Binomische Formel anwenden.
$100 r^{2} = {(10 r)}^{2}$ und $225 = 15^{2}$
$100 r^{2} - 225 = (10 r - 15) (10 r + 15)$

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$4 r^{2} + 4 r + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$4 r^{2} + 4 r + 1$
Am $+$ vor dem Mischterm $4 r$ erkennt man, dass man die 1. Binomische Formel anwenden muss.
$4 r^{2} = {(2 r)}^{2}$ und $1 = 1^{2}$
$4 r^{2} + 4 r + 1 = {(2 r + 1)}^{2}$

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$r^{2} - 7 r + 12 \frac{1}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$r^{2} - 7 r + 12 \frac{1}{4}$
Am $-$ vor dem Mischterm $7 r$ erkennt man, dass man die 2.Binomische Formel anwenden muss.
$12 \frac{1}{4} = {3,5}^{2}$
$r^{2} - 7 r + 12 \frac{1}{4} = {(r - 3,5)}^{2}$

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$48 r^{3} - 147 r y^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$48 r^{3} - 147 r y^{2}$
Man kann aus beiden Termen $3 r$ ausklammern .
$= 3 r (16 r^{2} - 49 y^{2})$
Nun kann man die 3.Binomische Formel anwenden.
$= 3 r (4 r - 7 y) (4 r + 7 y)$

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$49 p^{2} - 112 p q + 64 q^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$49 p^{2} - 112 p q + 64 q^{2}$
An den beiden Quadrattermen und dem $-$ vor dem Mischterm $112 p q$ erkennt man, dass man die 2. Binomische Formel anwenden kann.
$49 p^{2} = {(7 p)}^{2}$ , $64 q^{2} = {(8 q)}^{2}$
$49 p^{2} - 112 p q + 64 q^{2} = {(7 p - 8 q)}^{2}$

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$24 a^{2} r^{2} + 120 a r + 150$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$24 a^{2} r^{2} + 120 a r + 150$
Den Faktor 6 aus allen Termen ausklammern.
$= 6 (4 a^{2} r^{2} + 20 a r + 25)$
1.Binomische Formel anwenden.
$= 6 {(2 a r + 5)}^{2}$
11
Fasse folgende Binome zusammen.
$\frac{1}{4} a^{2} - 3 ab + 9 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Wende die 2. binomische Formel an.
$\frac{1}{4} a^{2} - 3 a b + 9 b^{2}$
$= (\frac{1}{2} a - 3 b)^{2}$

$4 b^{2} - c^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Wende die 3. binomische Formel an.
$4 b^{2} - c^{2}$
$= (2 b + c) (2 b - c)$

$4 x^{2} - 12 xy + 9 y^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Wende die 2. binomische Formel an .
$4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}$
$= (2 x - 3 y)^{2}$

$\frac{1}{4} a^{2} - ab + b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Wende die 2. binomischen Formel an.
$\frac{1}{4} a^{2} - a b + b^{2}$
$= (\frac{1}{2} a - b)^{2}$

$a^{2} - b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Wende die 3. binomischen Formel an.
$a^{2} - b^{2}$
$= (a + b) (a - b)$

$49 p^{2} - 81 q^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$49 p^{2} - 81 q^{2}$
Wende die 3. binomischen Formel an .
$= (7 p + 9 q) (7 p - 9 q)$

$a^{2} + 16 - 8 a$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Nutze das Kommutativgesetz, um die Terme umzustellen.
$a^{2} + 16 - 8 a$
$= a^{2} - 8 a + 16$
Wende nun die 2. binomische Formel an.
$\begin{array}{l} a^{2} + 16 - 8 a \\ = a^{2} - 8 a + 16 \\ = (a - 4)^{2} \end{array}$

$a^{2} + 10 a + 25$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Wende die 1. binomische Formel an.
$a^{2} + 10 a + 25$
$= (a + 5)^{2}$

$5 x^{2} + 3 x y + y^{2} + x y - x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Fasse zuerst die Terme zusammen.
$5 x^{2} + 3 x y + y^{2} + x y - x^{2}$
$= 4 x^{2} + 4 xy + y^{2}$
Wende nun die 1. binomische Formel an.
$\begin{array}{l} 4 x^{2} + 4 xy + y^{2} \\ = (2 x + y)^{2} \end{array}$

$\frac{36}{49} m^{2} - \frac{3}{14} m n + \frac{1}{64} n^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Wende die 2. binomische Formel an.
$\frac{36}{49} m^{2} - \frac{3}{14} m n + \frac{1}{64} n^{2}$
$= (\frac{6}{7} m - \frac{1}{8} n)^{2}$

$\frac{1}{9} u^{2} - \frac{4}{15} u v + \frac{4}{25} v^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Wende die 2. binomische Formel an.
$\frac{1}{9} u^{2} - \frac{4}{15} u v + \frac{4}{25} v^{2}$
$= (\frac{1}{3} u - \frac{2}{5} v)^{2}$

Benutze binomische Formeln um die Brüche zu kürzen

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$ $=$
↓
Benutze die 1. binomische Formel im Zähler.
$=$ $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x + 1}$
↓
Kürze mit (x+1).
$=$ $(x + 1)$
$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ $=$
↓
Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
$=$ $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$
↓
Kürze $(x + 1)$ .
$=$ $x - 1$
$\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}}$ $=$
↓
Wende im Nenner die 1. binomische Formel an.
$=$ $\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{{(x + 3 y)}^{2}}$
↓
Kürze ${(x + 3 y)}^{2}$ .
$=$ $x + 3 y$
$\frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 4}$ $=$
↓
Wende die 2. binomische Formel an.
$=$ $\frac{(x + 1) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$
↓
Kürze $(x - 2)$ .
$=$ $\frac{x + 1}{x - 2}$

\frac{x^{4} + 18 x^{2} + 89}{{(x^{2} + 9)}^{2}}

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Beim Betrachten der Quadratzahlen $1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$ fällt auf, dass die Differenz von jeweils zwei benachbarten Quadratzahlen immer um $2$ wächst:
$4 - 1 = 3$ ,
dann $9 - 4 = 5$ ,
dann $16 - 9 = 7$ ,
dann $25 - 16 = 9$ ,
dann $36 - 25 = 11$
usw.
Erkläre diesen Zusammenhang mit Hilfe einer binomischen Formel!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
2 aufeinander folgende Zahlen kann man als $n$ und $n + 1$ schreiben.
Quadriere nun die beiden Zahlen.
Du erhältst: $n^{2}$ und $(n + 1)^{2}$ .
Bilde die Differenz der beiden Zahlen und berechne den Wert des Terms durch Nutzen der 1. binomischen Formel.
$\begin{array}{l} {(n + 1)}^{2} - n^{2} \\ = (n^{2} + 2 n + 1^{2}) - n^{2} \\ = n^{2} + 2 n + 1 - n^{2} \\ = 2 n + 1 \end{array}$
Setzt man für $n$ jeweils die nächstgrößere natürliche Zahl ein, so wird diese Differenz wegen $2 n$ immer um $2$ größer.
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Interpretiere die Skizze als verallgemeinerte binomische Formel ${(a + b + c)}^{2}$ . Berechne entsprechend ${(2 x + a + 12)}^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Lies aus der Skizze die Flächen der einzelnen Rechtecke ab und addiere sie:
$\begin{array}{rcl} {(a + b + c)}^{2} & = & a^{2} + a b + a c + b a + b^{2} + b c + c a + c b + c^{2} \\ = & a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c \end{array}$
Verwende diese Formel nun für die Aufgabe ${(2 x + a + 12)}^{2}$ :
$\begin{array}{rcl} {(2 x + a + 12)}^{2} & = & {(2 x)}^{2} + a^{2} + 144 + 2 \cdot 2 x \cdot a + 2 \cdot 2 x \cdot 12 + 2 \cdot a \cdot 12 \\ = & 4 x^{2} + a^{2} + 144 + 4 a x + 48 x + 24 a \end{array}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$x$	$=$	$a^{2} - b^{2}$
	↓	Verwende die 3. binomische Formel.
$x$	$=$	$(a - b) \cdot (a + b)$
	↓	Die beiden Zahlen sind jeweils um $1$ größer bzw. kleiner als $10^{15}$ .
$x$	$=$	$((10^{15} + 1) - (10^{15} - 1)) ((10^{15} + 1) + (10^{15} - 1))$
$x$	$=$	$(10^{15} + 1 - 10^{15} + 1) \cdot (10^{15} + 1 + 10^{15} - 1)$
$x$	$=$	$2 \cdot 2 \cdot 10^{15}$
$x$	$=$	$4 \cdot 10^{15} = 4 000 000 000 000 000$

Wende auf die Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$5 \cdot {(6 x + 4 y)}^{2}$	$=$	$5 \cdot ((6 x)^{2} + 2 \cdot 6 x \cdot 4 y + (4 y)^{2})$
	↓	Berechne in der Klammer die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$5 \cdot (36^{x 2} + 48 x y + 16^{y 2})$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$180 x^{2} + 240 x y + 80 y^{2}$

	${(- a - 2,5)}^{2}$
	↓ Faktor -1 ausklammern.
$=$	$- 1 \cdot {(a + 2,5)}^{2}$
	↓ 1. binomische Formel anwenden
$=$	$- 1 \cdot (a^{2} + 5 a + 6,25)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren
$=$	$- a^{2} - 5 a - 6,25$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(a c + b d)}^{2}$	$=$	$(a c)^{2} + 2 \cdot a c \cdot b d + (b d)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$a^{2} c^{2} + 2 a b c d + b^{2} d^{2}$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(a + b)}^{2}$	$=$	$a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(a + b c)}^{2}$	$=$	$a^{2} + 2 \cdot a \cdot b c + {(b c)}^{2}$
	↓	Berechne das Quadrat und das Produkt.
	$=$	$a^{2} + 2 a b c + b^{2} c^{2}$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(a d + c b)}^{2}$	$=$	$(a d)^{2} + 2 \cdot a d \cdot c b + (c b)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$a^{2} d^{2} + 2 a b c d + b^{2} c^{2}$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
${(3 - 8 n)}^{2}$	$=$	$3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 8 n + (8 n)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$9 - 48 n + 64 n^{2}$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(u + 5 v)}^{2}$	$=$	$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 5 v + (5 v)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$u^{2} + 10 u v + 25 v^{2}$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
${(z - 1)}^{2}$	$=$	$z^{2} - 2 \cdot z \cdot 1 + 1^{2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$z^{2} - 2 z + 1$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(2 s + r)}^{2}$	$=$	$(2 s)^{2} + 2 \cdot 2 s \cdot r + (r)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$4 s^{2} + 4 r s + r^{2}$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
${(4 a - 5 b)}^{2}$	$=$	$(4 a)^{2} - 2 \cdot 4 a \cdot 5 b + (5 b)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$16 a^{2} - 40 a b + 25 b^{2}$

${(r + 4)}^{3}$	$=$
	↓	Faktorisiere so, dass man einen Term hoch zwei erhält, so dass man dann eine der binomischen Formeln anwenden kann.
	$=$	${(r + 4)}^{2} (r + 4)$
	↓	1. Binomische Formel anwenden, um die erste Klammer aufzulösen.
	$=$	$(r^{2} + 8 r + 16) (r + 4)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$r^{3} + 8 r^{2} + 16 r + 4 r^{2} + 32 r + 64$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$r^{3} + 12 r^{2} + 48 r + 64$

${(2 r - \frac{1}{2})}^{3}$	$=$
	↓	Faktorisiere so, dass man einen Term hoch zwei erhält, sodass man dann eine der binomischen Formeln verwenden kann.
	$=$	$(2 r - \frac{1}{2}) {(2 r - \frac{1}{2})}^{2}$
	↓	Die 2. Binomische Formel auf die zweite Klammer anwenden.
	$=$	$(2 r - \frac{1}{2}) (4 r^{2} - 2 r + \frac{1}{4})$
	↓	Klammern ausmultiplizieren .
	$=$	$8 r^{3} - 4 r^{2} + \frac{1}{2} r - 2 r^{2} + r - \frac{1}{8}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$8 r^{3} - 6 r^{2} + \frac{3}{2} r - \frac{1}{8}$

${(\frac{1}{3} x - 2)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(x + 2)}^{2}$	$=$	$(\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4) + \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 4 x + 4)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4 + \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\frac{4}{9} x^{2} + \frac{16}{3}$

$36 u^{2} - 289 w^{2}$	$=$	${(6 u)}^{2} - {(17 w)}^{2}$
	↓	Wende die 3. binomische Formel an.
	$=$	$(6 u + 17 w) (6 u - 17 w)$

Wende auf die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$(a + b) \cdot {(u + v)}^{2}$	$=$	$(a + b) \cdot (u^{2} + 2 \cdot u \cdot v + v^{2})$
	↓	Multipliziere die beiden Klammern.
	$=$	$a u^{2} + 2 a u v + a v^{2} + b u^{2} + 2 b u v + b v^{2}$

Wende auf die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$(3 b - 5 c) \cdot {(2 x + 5 y)}^{2}$	$=$	$(3 b - 5 c) \cdot ((2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 5 y + (5 y)^{2})$
	↓	Berechne in der 2. Klammer die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$(3 b - 5 c) \cdot (4^{x 2} + 20 x y + 25^{y 2})$
	↓	Multipliziere die beiden Klammern.
	$=$	$12 b x^{2} + 60 b x y + 75 b y^{2} - 20 c x^{2} - 100 c x y - 125 c y^{2}$

${(- a - 2,5)}^{2}$	$=$
	↓	Faktor $- 1$ ausklammern.
	$=$	${[- 1 \cdot (a + 2,5)]}^{2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$(- 1)^{2} \cdot {(a + 2,5)}^{2}$
	↓	1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
	$=$	$1 \cdot (a^{2} + 5 a + 6,25)$
	$=$	$a^{2} + 5 a + 6,25$

${(2 + r)}^{2} - {(2 - r)}^{2}$	$=$	$4 + 4 r + r^{2} - (4 - 4 r + r^{2})$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$4 + 4 r + r^{2} - 4 + 4 r - r^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$8 r$

$16 r^{2} - {(3 a - 4 r)}^{2}$	$=$	$16 r^{2} - (9 a^{2} - 24 a r + 16 r^{2})$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$16 r^{2} - 9 a^{2} + 24 a r - 16 r^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$- 9 a^{2} + 24 a r$

	${(5 r - 19)}^{2} - (r - 3) (3 + r) - (3 r + 4) (4 r - 5) + {(2 r + 3)}^{2} + 179 r + 1$
	↓ Die 1. und 2. binomische Formel auf ${(5 r - 19)}^{2}$ und ${(2 r + 3)}^{2}$ anwenden und 3. binomische Formel auf $(r - 3) (r + 3)$ anwenden.
$=$	$25 r^{2} - 190 r + 361 - (r - 3) (3 + r) - (3 r + 4) (4 r - 5) + 4 r^{2} + 12 r + 9 + 179 r + 1$
	↓ Klammern auflösen.
$=$	$25 r^{2} - 190 r + 361 - r^{2} + 9 - 12 r^{2} + 15 r - 16 r + 20 + 4 r^{2} + 12 r + 9 + 179 r + 1$
	↓ Terme zusammenfassen.
$=$	$16 r^{2} + 400$

$(4 x + 5 y) (5 y + 4 x)$	$=$	$(4 x + 5 y) (4 x + 5 y)$
	↓	Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen.
	$=$	${(4 x + 5 y)}^{2}$
	↓	Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$16 x^{2} + 40 x y + 25 y^{2}$

$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} - 3 x)$	$=$	${(8 x^{2} - 3 x)}^{2}$
	↓	Man kann die 2. binomische Formel anwenden.
	$=$	${(8 x^{2})}^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} \cdot 3 x + {(3 x)}^{2}$
	↓	Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze
	$=$	$64 x^{4} - 48 x^{3} + 9 x^{2}$

$(8 x^{2} - 3 x) (3 x + 8 x^{2})$	$=$	$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} + 3 x)$
	↓	Man kann die 3. binomische Formel anwenden.
	$=$	$64 x^{4} - 9 x^{2}$

$(- x - 3 y) (- 3 y - x)$	$=$	$(- x - 3 y) (- x - 3 y)$
	↓	Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen. Forme bzw. schreibe den Term dafür um.
	$=$	$[(- 1) \cdot (x + 3 y)] \cdot [(- 1) \cdot (x + 3 y)]$
	↓	Den Faktor $- 1$ ausklammern.
	$=$	${(- 1)}^{2} \cdot {(x + 3 y)}^{2}$
	$=$	${(x + 3 y)}^{2}$
	↓	Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}$

Aufgaben zu den binomischen Formeln

Anwendung der ersten binomischen Formel

Klammer auflösen mit binomischer Formel

$16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$	$=$	${(4 a - 2 b)}^{2}$
	↓	Erkennen und Auflösen der 2. binomische Formel.

${(3 x - 5 y)}^{2} - {(3 x + 5 y)}^{2}$	$=$	$(9 x^{2} - 30 x y + 25 y^{2}) - (9 x^{2} + 30 x y + 25 y^{2})$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$- 60 x y$

$\frac{2}{3} {(6 a - 1,5 b)}^{2}$	$=$	$\frac{2}{3} (36 a^{2} - 18 a b + 2,25 b^{2})$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$

$\frac{2}{3} (6 a - 1,5 b)^{2}$	$=$	$\frac{2}{3} \cdot 1,5 \cdot 1,5 \cdot (4 a - b)^{2}$
	↓	Fasse zusammen und wende die 2. Binomische Formel an
	$=$	$1,5 \cdot (16 a^{2} - 8 a b + b^{2})$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$

	$=$	$(0,25 x^{2} - x y + y^{2}) - (0,25 x^{2} - y^{2})$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$0,25 x^{2} - x y + y^{2} - 0,25 x^{2} + y^{2}$
	↓	$0,25 x^{2}$ und $- 0,25 x^{2}$ heben sich aus und fasse die $y^{2}$ zusammen.
	$=$	$- x y + 2 y^{2}$

	$=$	$(4 x^{2} - 12 x + 9) - 2 \cdot (x^{2} + 6 x + 9) - \frac{1}{2} \cdot (36 - 24 x + 4 x^{2})$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$4 x^{2} - 12 x + 9 - 2 x^{2} - 12 x - 18 - 18 + 12 x - 2 x^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$- 12 x - 27$

	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} a - b)}^{2} - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$
	↓	Erste Klammer mit der 2. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (\frac{9}{4} a^{2} - 3 a b + b^{2}) - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$
	$=$	$\frac{3}{4} a^{2} - a b + \frac{1}{3} b^{2} - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{3}{4} a^{2} - a b + \frac{1}{3} b^{2} - \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{9} b^{2} + \frac{2}{3} a b + a^{2})$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{3}{4} a^{2} - a b + \frac{1}{3} b^{2} - \frac{1}{12} b^{2} - \frac{1}{2} a b - \frac{3}{4} a^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$- \frac{3}{2} a b + \frac{1}{4} b^{2}$

	$=$	$(a^{2} - 0,8 a b + 0,16 b^{2}) - 2 \cdot {(0,3 b - 0,5 a)}^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Zweite Klammer mit der 2. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$a^{2} - 0,8 a b + 0,16 b^{2} - 2 \cdot (0,09 b^{2} - 0,3 a b + 0,25 a^{2}) + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$a^{2} - 0,8 a b + 0,16 b^{2} - 0,18 b^{2} + 0,6 a b - 0,5 a^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$0,5 a^{2} - 0,2 a b - 0,02 b^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$0,5 a^{2} - 0,2 a b - 0,02 b^{2} + 0,2 \cdot (a^{2} + 0,2 a b + 0,01 b^{2})$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$0,5 a^{2} - 0,2 a b - 0,02 b^{2} + 0,2 a^{2} + 0,04 a b + 0,002 b^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$0,7 a^{2} - 0,16 a b - 0,018 b^{2}$

$225 + 30 a + a^{2}$	$=$	$15^{2} + 2 \cdot 15 \cdot a + a^{2}$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	${(15 + a)}^{2}$

$4 m^{2} + 28 m + 49$	$=$	${(2 m)}^{2} + 2 \cdot 2 m \cdot 7 + 7^{2}$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	${(2 m + 7)}^{2}$