Aufgaben zu den binomischen Formeln

Multipliziere aus und fasse neu zusammen:

${(3 x - 5 y)}^{2} - {(3 x + 5 y)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
Wende in der ersten Klammer die zweite binomische Formel und in der zweiten Klammer die erste binomische Formel an.
${(3 x - 5 y)}^{2} - {(3 x + 5 y)}^{2}$ $=$ $(9 x^{2} - 30 x y + 25 y^{2}) - (9 x^{2} + 30 x y + 25 y^{2})$
↓
Löse die Klammern auf.
$=$ $- 60 x y$
$\frac{2}{3} {(6 a - 1,5 b)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Wende die zweite binomische Formel an.
$\frac{2}{3} {(6 a - 1,5 b)}^{2}$ $=$ $\frac{2}{3} (36 a^{2} - 18 a b + 2,25 b^{2})$
↓
Wende das Distributivgesetz an.
$=$ $24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$
Alternative:
Klammere $1,5$ aus. Beachte dabei, dass du wegen des Quadrats diesen Faktor zweimal erhältst und dass $\frac{2}{3}$ gerade der Kehrwert von $1,5$ ist.
$\frac{2}{3} (6 a - 1,5 b)^{2}$ $=$ $\frac{2}{3} \cdot 1,5 \cdot 1,5 \cdot (4 a - b)^{2}$
↓
Fasse zusammen und wende die 2. Binomische Formel an
$=$ $1,5 \cdot (16 a^{2} - 8 a b + b^{2})$
↓
Multipliziere aus
$=$ $24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$
${(0,5 x - y)}^{2} - (0,5 x - y) \cdot (0,5 x + y)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Wende in der ersten Klammer die zweite binomische Formel und im hinteren Teil die dritte binomische Formel an.
${(0,5 x - y)}^{2} - (0,5 x - y) \cdot (0,5 x + y)$
$=$ $(0,25 x^{2} - x y + y^{2}) - (0,25 x^{2} - y^{2})$
↓
Löse die Klammern auf.
$=$ $0,25 x^{2} - x y + y^{2} - 0,25 x^{2} + y^{2}$
↓
$0,25 x^{2}$ und $- 0,25 x^{2}$ heben sich aus und fasse die $y^{2}$ zusammen.
$=$ $- x y + 2 y^{2}$
${(\frac{1}{3} x - 2)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(x + 2)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Klammern mit Hilfe der binomischen Formeln ausrechnen (Erste Klammer mit zweiter binomischer Formel, zweite Klammer mit erster binomischer Formel).
${(\frac{1}{3} x - 2)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(x + 2)}^{2}$ $=$ $(\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4) + \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 4 x + 4)$
↓
Klammern ausmultiplizieren
$=$ $\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4 + \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$
↓
Terme zusammenfassen.
$=$ $\frac{4}{9} x^{2} + \frac{16}{3}$
${(2 x - 3)}^{2} - 2 \cdot {(x + 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(6 - 2 x)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Erste Klammer mit zweiter binomischer Formel, zweite Klammer mit erster binomischer Formel und dritte Klammer mit zweiter binomischer Formel ausrechnen.
${(2 x - 3)}^{2} - 2 \cdot {(x + 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(6 - 2 x)}^{2}$
$=$ $(4 x^{2} - 12 x + 9) - 2 \cdot (x^{2} + 6 x + 9) - \frac{1}{2} \cdot (36 - 24 x + 4 x^{2})$
↓
Klammern ausmultiplizieren
$=$ $4 x^{2} - 12 x + 9 - 2 x^{2} - 12 x - 18 - 18 + 12 x - 2 x^{2}$
↓
Terme zusammenfassen.
$=$ $- 12 x - 27$

$\frac{1}{3} \cdot {(1,5 a - b)}^{2} - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$

${(a - 0,4 b)}^{2} - 2 \cdot {(0,3 b - 0,5 a)}^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$

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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch → Was bedeutet das? serlo.org

${(3 x - 5 y)}^{2} - {(3 x + 5 y)}^{2}$	$=$	$(9 x^{2} - 30 x y + 25 y^{2}) - (9 x^{2} + 30 x y + 25 y^{2})$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$- 60 x y$

$\frac{2}{3} {(6 a - 1,5 b)}^{2}$	$=$	$\frac{2}{3} (36 a^{2} - 18 a b + 2,25 b^{2})$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$

$\frac{2}{3} (6 a - 1,5 b)^{2}$	$=$	$\frac{2}{3} \cdot 1,5 \cdot 1,5 \cdot (4 a - b)^{2}$
	↓	Fasse zusammen und wende die 2. Binomische Formel an
	$=$	$1,5 \cdot (16 a^{2} - 8 a b + b^{2})$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$

	$=$	$(0,25 x^{2} - x y + y^{2}) - (0,25 x^{2} - y^{2})$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$0,25 x^{2} - x y + y^{2} - 0,25 x^{2} + y^{2}$
	↓	$0,25 x^{2}$ und $- 0,25 x^{2}$ heben sich aus und fasse die $y^{2}$ zusammen.
	$=$	$- x y + 2 y^{2}$

${(\frac{1}{3} x - 2)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(x + 2)}^{2}$	$=$	$(\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4) + \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 4 x + 4)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4 + \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\frac{4}{9} x^{2} + \frac{16}{3}$

	$=$	$(4 x^{2} - 12 x + 9) - 2 \cdot (x^{2} + 6 x + 9) - \frac{1}{2} \cdot (36 - 24 x + 4 x^{2})$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$4 x^{2} - 12 x + 9 - 2 x^{2} - 12 x - 18 - 18 + 12 x - 2 x^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$- 12 x - 27$

	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} a - b)}^{2} - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$
	↓	Erste Klammer mit der 2. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (\frac{9}{4} a^{2} - 3 a b + b^{2}) - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$
	$=$	$\frac{3}{4} a^{2} - a b + \frac{1}{3} b^{2} - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{3}{4} a^{2} - a b + \frac{1}{3} b^{2} - \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{9} b^{2} + \frac{2}{3} a b + a^{2})$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{3}{4} a^{2} - a b + \frac{1}{3} b^{2} - \frac{1}{12} b^{2} - \frac{1}{2} a b - \frac{3}{4} a^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$- \frac{3}{2} a b + \frac{1}{4} b^{2}$

	$=$	$(a^{2} - 0,8 a b + 0,16 b^{2}) - 2 \cdot {(0,3 b - 0,5 a)}^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Zweite Klammer mit der 2. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$a^{2} - 0,8 a b + 0,16 b^{2} - 2 \cdot (0,09 b^{2} - 0,3 a b + 0,25 a^{2}) + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$a^{2} - 0,8 a b + 0,16 b^{2} - 0,18 b^{2} + 0,6 a b - 0,5 a^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$0,5 a^{2} - 0,2 a b - 0,02 b^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$0,5 a^{2} - 0,2 a b - 0,02 b^{2} + 0,2 \cdot (a^{2} + 0,2 a b + 0,01 b^{2})$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$0,5 a^{2} - 0,2 a b - 0,02 b^{2} + 0,2 a^{2} + 0,04 a b + 0,002 b^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$0,7 a^{2} - 0,16 a b - 0,018 b^{2}$