Aufgaben zur Länge eines Vektors

Wie gut kennst du dich mit Vektoren aus? Lerne mit diesen Aufgaben, die Länge von Vektoren zu berechnen!

1
Berechne die Länge des Vektors:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array})$
Bestimme die Länge mittels Satz des Pythagoras.
Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
$\begin{array}{rcl} | \vec{v} | = | (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}) | & = & \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ = & \sqrt{9 + 16} \\ = & \sqrt{25} \\ = & 5 \end{array}$

$\vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array})$
Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.
Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
$\begin{array}{rcl} | \vec{v} | = | (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}) | & = & \sqrt{3^{2} + (- 2)^{2}} \\ = & \sqrt{9 + 4} \\ = & \sqrt{13} \\ \approx & 3,6 \end{array}$

$\vec{v} = (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array})$
Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras
Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
$\begin{array}{rcl} | \vec{v} | = | (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array}) | & = & \sqrt{8^{2} + (0)^{2}} \\ = & \sqrt{64 + 0} \\ = & \sqrt{64} \\ = & 8 \end{array}$

$\vec{v} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{v} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 5 \end{array})$
Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.
Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
$\begin{array}{rcl} | \vec{v} | = | (\begin{array}{c} - 5 \\ 5 \end{array}) | & = & \sqrt{(- 5)^{2} + (5)^{2}} \\ = & \sqrt{25 + 25} \\ = & \sqrt{25 \cdot 2} \\ = & 5 \sqrt{2} \end{array}$
2
Berechne die Länge bzw. den Betrag des Vektors. Runde, falls nötig, auf zwei Nachkommastellen.
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
$| \vec{u} | = \sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 5^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30} \approx 5,48$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array})$
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
$| \vec{u} | = \sqrt{12^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{144 + 9 + 16} = 13$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
$| \vec{u} | = \sqrt{(- 2)^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \approx 3,74$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array})$
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
$| \vec{u} | = \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + (- 4)^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21} \approx 4,58$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
$| \vec{u} | = \sqrt{3^{2} + (- 4)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
$| \vec{u} | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array})$
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
$| \vec{u} | = \sqrt{5^{2} + 1^{2} + 9^{2}} = \sqrt{25 + 1 + 81} = \sqrt{107} \approx 10,34$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 9 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 9 \end{array})$
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
$| \vec{u} | = \sqrt{(- 5)^{2} + 3^{2} + 9^{2}} = \sqrt{25 + 9 + 81} = \sqrt{115} \approx 10,72$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{2}{3} \\ 0,2 \end{array})$
(mit 2 Nachkommastellen)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{2}{3} \\ 0,2 \end{array})$
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
$| \vec{u} | = \sqrt{4^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + {0,2}^{2}} = \sqrt{16 + \frac{4}{9} + 0,04} \approx 4,06$
3
Lässt sich der Vektor $\vec{w}$ durch eine Streckung des Vektors $\vec{v}$ erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor $k$ , um den $\vec{v}$ gestreckt wurde.
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} - 6 \\ - 15 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
Prüfe, ob die Formel $w ⃗ = k \cdot v ⃗$ für ein k erfüllt werden kann.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} - 6 \\ - 15 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array}) \end{array}$
Prüfe nun für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.
Für die x-Kompenente soll gelten:
$\begin{array}{l} - 6 = k \cdot 2 \\ k = - 6 : 2 = - 3 \end{array}$
Für die y-Komponente soll gelten:
$\begin{array}{l} - 15 = k \cdot 5 \\ k = - 15 : 5 = - 3 \end{array}$
$\Rightarrow k = - 3$
Für beide Gleichungen kommt dasselbe Ergebnis heraus. Das heißt, dass der Vektor $\vec{w}$ aus $\vec{v}$ durch Streckung um $- 3$ entsteht.

$\vec{v} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 31 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
Prüfe, ob die Formel $\begin{array}{l} \vec{w} = k \cdot \vec{v} \end{array}$ für ein $k$ erfüllt werden kann.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 31 \end{array}) \end{array}$
Prüfe für jede Komponente des Vektors, ob diese Gleichung erfüllt werden kann:
Für die x-Komponente soll gelten:
$\begin{array}{l} 1 = k \cdot (- 5) \\ k = - \frac{1}{5} \end{array}$
Für die y-Komponente soll gelten:
$\begin{array}{l} - 7 = k \cdot 31 \\ k = - \frac{7}{31} \end{array}$
$\Rightarrow - \frac{1}{5} \neq - \frac{7}{31}$
Du erhältst für $k$ zwei verschiedene Werte.
Der Vektor $\vec{w}$ kann also nicht durch eine Streckung der Vektors $\vec{v}$ um eine reelle Zahl $k$ erzeugt werden.
Die Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ zeigen somit weder in die gleiche noch in die entgegengesetzte Richtung.

$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6,75 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 576 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
Prüfe, ob die Formel $\vec{w} = k \cdot \vec{v}$ für ein k erfüllt werden kann.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 0 \\ - 576 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 6,75 \end{array}) \end{array}$
Prüfe für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.
Für die x-Kompenente soll gelten:
$0 = k \cdot 0$
Diese Gleichung ist für alle reellen Zahlen erfüllt.
Für die y-Komponente soll gelten:
$- 576 = k \cdot 6,75$
$k = - \frac{256}{3}$
Da die erste Gleichung für beliebige reelle Zahlen erfüllt ist, gilt sie insbesondere auch für $k = - \frac{256}{3}$ . Dies ist also der gesuchte Streckungsfaktor.
$\Rightarrow$ Das heißt, dass der Vektor $\vec{w}$ aus $\vec{v}$ durch Streckung um $k = - \frac{256}{3}$ entsteht.
4
Normiere den Vektor zu seinem zugehörigen Einheitsvektor.
$\vec{a} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen
Länge des Vektors berechnen
Berechne die Länge des Vektors.
$| \vec{a} | = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + 4^{2}} L E = \sqrt{25} L E = 5 L E$
Vektor normieren
Teile den Vektor durch seine Länge
${\vec{a}}^{0} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} = \frac{1}{5} \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,6 \\ 0 \\ 0,8 \end{array})$
Probe
Falls du deine Lösung überprüfen möchtest, bestimme die Länge des normierten Vektors.
$| {\vec{a}}^{0} | = \sqrt{{0,6}^{2} + 0^{2} + {0,8}^{2}} L E = \sqrt{1} L E = 1 L E$
Der normierte Vektor hat die Länge 1. Du erhältst ihn, wenn du jede Koordinate durch die Länge des Vektors teilst.

$\vec{a} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen
Länge des Vektors berechnen
Berechne die Länge des Vektors.
$| \vec{a} | = \sqrt{(- 2)^{2} + 1^{2} + 2^{2}} L E = \sqrt{9} L E = 3 L E$
Vektor normieren
Teile den Vektor durch seine Länge
${\vec{a}}^{0} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array})$
Probe
Falls du deine Lösung überprüfen möchtest, bestimme die Länge des normierten Vektors.
$| {\vec{a}}^{0} | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} L E = \sqrt{1} L E = 1 L E$
Der normierte Vektor hat die Länge 1. Du erhältst ihn, wenn du jede Koordinate durch die Länge des Vektors teilst.
5
Verändere den Vektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$ so, dass er die geforderte Länge hat
Länge 10

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen
Länge des Vektors bestimmen
Bestimme die Länge des Vektors $\vec{a}$ :
$| \vec{a} | = \sqrt{0^{2} + 4^{2} + 3^{2}} L E = 5 L E$
Skalare Multiplikation
Der Vektor wird auf die gewünschte Länge gebracht, in dem man ihn erst von der Länge $| \vec{a} | = 5$ auf die Länge 1 verkürzt und dann wieder auf die Länge $k = 10$ streckt:
$\frac{k}{| \vec{a} |} \cdot \vec{a}$ $=$ $\frac{10}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
↓
Berechne den Wert des Bruchs.
$=$ $2 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
↓
Führe die skalare Multiplikation durch.
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 6 \end{array})$
Zunächst muss man die aktuelle Länge des Vektors bestimmen.
Anschließend teilt man die gewünschte Länge durch die aktuelle Länge.
Abschließend kann man durch eine skalare Multiplikation mit diesem Bruch den Vektor auf die gewünschte Länge bringen.
(Im oben verlinkten Artikel ist dieses Vorgehen ausführlich erklärt)

Länge 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen
Länge des Vektors bestimmen
Bestimme die Länge des Vektors $\vec{a}$ :
$| \vec{a} | = \sqrt{0^{2} + 4^{2} + 3^{2}} L E = 5 L E$
Skalare Multiplikation
Der Vektor wird auf die gewünschte Länge gebracht, in dem man ihn erst von der Länge $| \vec{a} | = 5$ auf die Länge 1 verkürzt und dann wieder auf die Länge $k = 2$ streckt:
$\frac{k}{| \vec{a} |} \cdot \vec{a}$ $=$ $\frac{2}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
↓
Führe die skalare Multiplikation durch.
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ 1,6 \\ 1,2 \end{array})$
Zunächst muss man die aktuelle Länge des Vektors bestimmen.
Anschließend teilt man die gewünschte Länge durch die aktuelle Länge.
Abschließend kann man durch eine skalare Multiplikation mit diesem Bruch den Vektor auf die gewünschte Länge bringen.
(Im oben verlinkten Artikel ist dieses Vorgehen ausführlich erklärt)

Länge a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen
Länge des Vektors bestimmen
Bestimme die Länge des Vektors $\vec{a}$ :
$| \vec{a} | = \sqrt{0^{2} + 4^{2} + 3^{2}} L E = 5 L E$
Skalare Multiplikation
Der Vektor wird auf die gewünschte Länge gebracht, in dem man ihn erst von der Länge $| \vec{a} | = 5$ auf die Länge 1 verkürzt und dann wieder auf die Länge $k = a$ streckt:
$\frac{k}{| \vec{a} |} \cdot \vec{a}$ $=$ $\frac{a}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
↓
Führe die skalare Multiplikation durch.
$=$ $(\begin{array}{c} \frac{a}{5} \cdot 0 \\ \frac{a}{5} \cdot 4 \\ \frac{a}{5} \cdot 3 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ \frac{4}{5} a \\ \frac{3}{5} a \end{array})$
Für $a$ kann man jetzt eine beliebige Zahl einsetzen und so den Vektor auf jede beliebige Länge verlängern oder verkürzen.
Auch im allgemeinen Fall gilt:
Zunächst muss man die aktuelle Länge des Vektors bestimmen.
Anschließend teilt man die gewünschte Länge (hier $a$ ) durch die aktuelle Länge.
Abschließend kann man durch eine skalare Multiplikation mit diesem Bruch den Vektor auf die gewünschte Länge bringen.
(Im oben verlinkten Artikel ist dieses Vorgehen ausführlich erklärt)
6
Der Punkt P teilt die Strecke $A B$ im Verhältnis 2:3. Bestimme die Koordinaten von P und die Streckenlängen $A P$ und $B P$ . Dabei ist $A (1 | 0 | 0)$ und $B (- 2 | 0 | 4)$ gegeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Vektor $\vec{A B}$
Da die Koordinaten von P gefragt sind, musst du den Vektor $\vec{A B}$ bilden:
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} - 2 - 1 \\ 0 - 0 \\ 4 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{array})$
Koordinaten von P
Als nächstes musst du das Verhältnis 2:3 deuten. Die Strecke wird insgesamt in 5 Teile geteilt (2+3) und somit liegt P von A aus gesehen bei $\frac{2}{5}$ des Vektors $\vec{A B}$ .
Verwende die Ortsvektoren $\vec{P}$ und $\vec{A}$ sowie die skalare Multiplikation für die Vektorkette:
$\vec{P} = \vec{A} + \frac{2}{5} \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + \frac{2}{5} \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 1,2 \\ 0 \\ 1,6 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 0,2 \\ 0 \\ 1,6 \end{array})$
Der Punkt ist also P(-0,2|0|1,6).
Streckenlängen
Berechne die Länge des Vektors $\vec{A B}$ :
$| \vec{A B} | = \sqrt{(- 3)^{2} + 0^{2} + 4^{2}} = 5$ (LE)
Wird der Vektor in einem bestimmten Verhältnis geteilt, so gilt das auch die Strecke:
$| \vec{A P} | = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2$ (LE)
$| \vec{P B} | = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3$ (LE)

Stelle den Vektor $\vec{A B}$ auf.
Bestimme mithilfe einer Vektorkette den Ortsvektor von P, dabei musst du $\vec{A B}$ passend verkürzen.
Wenn du P hast, kannst du entweder die neuen Vektoren $\vec{A P}$ und $\vec{B P}$ aufstellen und ihre Länge berechnen oder du arbeitest mit der Länge von $\vec{A B}$ und dem Verhältnis.

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$\frac{k}{\| \vec{a} \|} \cdot \vec{a}$	$=$	$\frac{10}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
	↓	Berechne den Wert des Bruchs.
	$=$	$2 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
	↓	Führe die skalare Multiplikation durch.
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 6 \end{array})$

$\frac{k}{\| \vec{a} \|} \cdot \vec{a}$	$=$	$\frac{2}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
	↓	Führe die skalare Multiplikation durch.
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ 1,6 \\ 1,2 \end{array})$

$\frac{k}{\| \vec{a} \|} \cdot \vec{a}$	$=$	$\frac{a}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
	↓	Führe die skalare Multiplikation durch.
	$=$	$(\begin{array}{c} \frac{a}{5} \cdot 0 \\ \frac{a}{5} \cdot 4 \\ \frac{a}{5} \cdot 3 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ \frac{4}{5} a \\ \frac{3}{5} a \end{array})$

Aufgaben zur Länge eines Vektors

Länge des Vektors berechnen

Vektor normieren

Probe

Länge des Vektors berechnen

Vektor normieren

Probe

Länge des Vektors bestimmen

Skalare Multiplikation

Länge des Vektors bestimmen

Skalare Multiplikation

Länge des Vektors bestimmen

Skalare Multiplikation

Vektor AB→

Koordinaten von P

Streckenlängen

Vektor $\vec{A B}$