Aufgaben zur Länge eines Vektors

Vektor $\overrightarrow{AB}$

Da die Koordinaten von P gefragt sind, musst du den Vektor $\overrightarrow{AB}$ bilden:

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}-2-1\\ 0-0\\ 4-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$

Koordinaten von P

Als nächstes musst du das Verhältnis 2:3 deuten. Die Strecke wird insgesamt in 5 Teile geteilt (2+3) und somit liegt P von A aus gesehen bei $\frac{2}{5}$ des Vektors $\overrightarrow{AB}$.

Verwende die Ortsvektoren $\overrightarrow{P}$ und $\overrightarrow{A}$ sowie die skalare Multiplikation für die Vektorkette:

$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{A}+\frac{2}{5}\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\frac{2}{5}\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,2}\\ 0\\ \mathrm{1,6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{0,2}\\ 0\\ \mathrm{1,6}\end{array}\right)$

Der Punkt ist also P(-0,2|0|1,6).

Streckenlängen

Berechne die Länge des Vektors $\overrightarrow{AB}$:

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3{)}^2+0^2+4^2}=5$ (LE)

Wird der Vektor in einem bestimmten Verhältnis geteilt, so gilt das auch die Strecke:

$|\overrightarrow{AP}|=\frac{2}{5}\cdot 5=2$ (LE)

$|\overrightarrow{PB}|=\frac{3}{5}\cdot 5=3$ (LE)