Prüfungsaufgaben Mathematik 2022

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Hier findest du die Formelsammlung, die der Prüfung beiliegt.

1
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Basisaufgaben (10 Punkte)
Markieren Sie $20 %$ der nebenstehenden Fläche. (1P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent
$20 %$ sind $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ der Fläche.
Dies ist genau eine Spalte der Fläche.
Ermittle den Anteil an der gesamten Fläche

Auf dem Markt kosten $3 k g$ Äpfel $4,80 € .$
Geben Sie den Preis für $5 k g$ Äpfel an. (1P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
Dreisatz anwenden
$3 k g$ $\hat{=}$ $4,80 €$
Preis für $1 k g$ Äpfel:
$1 k g$ $\hat{=}$ $\frac{4,80 €}{3}$
$1 k g$ $\hat{=}$ $1,60 €$
Preis für $5 k g$ Äpfel:
$5 k g \hat{=} 1,60 € \cdot 5$
$5 k g \hat{=} 8 €$
$5 k g$ Äpfel kosten $8 €$ .
Berechne den Preis für 1 kg Äpfel.
Multipliziere dann mit 5, um den Preis für 5 kg Äpfel zu erhalten.

Gegeben ist die Gleichung $5 - 2 x = 3 x - 25$ .
Kreuzen Sie an, welche Zahl die Lösung der Gleichung ist. (1P)
$x = 2$
$x = 4$
$x = 6$
$x = 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen
Gleichung lösen
Wir lösen die Gleichung $5 - 2 x = 3 x - 25$ indem wir nach x umformen.
$5 - 2 x$ $=$ $3 x - 25$ $- 3 x$
↓
Sortiere die Gleichung
$5 - 2 x - 3 x$ $=$ $- 25$ $- 5$
$- 5 x$ $=$ $- 25 - 5$
$- 5 x$ $=$ $- 30$ $: (- 5)$
$x$ $=$ $6$
$L = {6}$
Bringe alle x auf die eine und alle Zahlen auf die andere Seite.
Dividiere dann, um die Gleichung nach x aufzulösen.

In der dargestellten Woche waren es im Durchschnitt $20^{\circ} C$ .
Ergänzen Sie die fehlende Temperatur. (1P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Durchschnitt berechnen
Durchschnitt berechnen
$20$ $=$ $\frac{21 + 20 + 19 + 22 + 20 + x + 20}{7}$
$20$ $=$ $\frac{122 + x}{7}$ $\cdot 7$
$140$ $=$ $122 + x$ $- 122$
$18$ $=$ $x$
Die Temperatur am Samstag betrug $18^{\circ} C$
Verwende die Formel zur Berechnung des Durchschnitts.
Setze für die Temperatur am Samstag die Variable $x$ ein und löse die Gleichung nach $x$ auf.

Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks an. (1P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche berechnen
Die Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen:
$A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot A n k a t h e t e \cdot G e g e n k a t h e t e$
$A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot e \cdot d$
Verwende die Formel zur Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks.

Jeder fünfte Jugendliche bekommt kein Taschengeld.
Kreuzen Sie an, wie viel Prozent das sind. (1P)
$5 %$
$20 %$
$25 %$
$50 %$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Anteil als Bruch
Wenn jeder fünfte Jugendliche kein Taschengeld bekommt, bedeutet das, dass von 5 Jugendlichen einer kein Taschengeld bekommt.
Es bekommen also $\frac{1}{5}$ der Jugendlichen kein Taschengeld.
Umrechnung in Prozentwert
Dies sind $\frac{1}{5} \cdot 100 = 20 %$
Gib den Anteil der Jugendlichen ohne Taschengeld zunächst als Bruch an.
Rechne den Bruch in einen Prozentwert um.

Kreuzen Sie an, welche Aussage in einem rechtwinkligen Dreieck gilt. (1P)
Dem rechten Winkel liegt eine Kathete gegenüber.
$c = a + b$
Die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate ist gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtwinkliges Dreieck
Nach dem Satz des Pythagoras ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten.
Die dritte Aussage ist korrekt.
Prüfe, welche Aussage mit den Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke übereinstimmt.

Max trinkt am Tag 1,5 Liter Wasser. Er benutzt ein $300 ml$ Glas.
Geben Sie an, wie viele volle Gläser Wasser das sind. (1P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumeneinheiten
Volumenumrechnung
Ein Liter Wasser entspricht $1000 ml$ .
$1,5 L i t e r = 1,5 * 1000 ml = 1500 ml$
Berechnung der Anzahl der Gläser
$Anzahl der Gläser = \frac{1500}{300} = 5$
Max trinkt $5$ volle Gläser Wasser pro Tag
Rechne die Gesamtmenge an Wasser, die Max täglich trinkt, im $ml$ um
Dividiere diesen Wert durch die Menge, die ein Glas Wasser fasst

Diese Figur ist ein gleichschenkliges Trapez.
Kreuzen Sie an, wie viele Symmetrieachsen die Figur hat. (1P)
0
1
2
3
4
5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrisches Trapez
Ein gleichschenkeliges Trapez ist immer achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte der beiden parallelen Seiten.
Das gleichschenkelige Trapez hat genau $1$ Symmetrieachse.
Schau die Eigenschaften eines symmetrischen Trapezes an

Setzen Sie das richtige Zeichen $(<, =, >)$ ein. (1P)

Umwandlung von $2^{- 5}$
$2^{- 5}$ $=$ $\frac{1}{2^{5}}$
$=$ $\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$
$=$ $\frac{1}{32}$
$\approx$ $0,03$
Vergleich der Werte
$0,03 < 0,25$
Es muss das Zeichen $<$ eingesetzt werden.
Wandle die erste Zahl in eine Dezimalzahl um und vergleiche.

Becher (11 Punkte)

Gegeben ist ein zylinderförmiger Becher ohne Deckel. Die Höhe beträgt $h = 7 c m$ und der Radius $r = 3,2 c m$ .

Wählen Sie aus den vorgegebenen Skizzen das Netz aus, das zum Becher passt. Kreuzen Sie an.
Ermitteln Sie die Länge und die Breite der Mantelfläche.
(3P)
- oberes Gitternetz
- mittleres Gitternetz
- unteres Gitternetz
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Das richtige Gitternetz finden
Länge und Breite der Mantelfläche berechnen
Die Höhe des Bechers haben wir bereits gegeben:
$h = 7 c m$
Sie entspricht der Breite der Mantelfläche.
Die Länge ist also die unbekannte Seite die wir noch suchen. Sie soll im dreidimensionalen genau auf den Rand des Kreises passen. Man kann also den Umfang des Kreises berechnen um die Länge herauszufinden:
$U_{K}$ $=$ $2 π r$
↓
$r$ einsetzen, mit $r = 3,2$ cm
$=$ $2 π \cdot 3,2$
↓
ausrechnen
$=$ $\frac{32}{5} π$
$\approx$ $20,11$
Somit ist die Mantelfläche 7 Zentimeter breit und ungefähr 20,11 Zentimenter lang.
Überlege wie das Gitternetz eines normalen Zylinders aussieht. Wenn du jetzt einen Kreis wegnimmst, was bleibt dann noch übrig?
Beim Gitternetz sieht man die Mantelfläche des Zylinders: ein Rechteck. Die Höhe ist dir bereits bekannt. Wie könntest du nun mit Hilfe des Kreises die Länge des Rechtecks ausrechnen?
Zeigen Sie, dass in den Becher $200 ml$ Flüssigkeit passen.
Hinweis: $1 {c m}^{3}$ entspricht $1 ml$ (2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Milliliter in Kubikzentimeter
Laut Aufgabe entspricht $1 c m^{3} = 1 m l$ , wobei dann $200 m l = 200 c m^{3}$ sind.
Zylinder Volumen
Das Volumen eines Zylinders lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$V_{Z} = r^{2} π h$
Da uns Radius und Höhe des Bechers bekannt sind, können wir einfach einsetzen und ausrechnen
↓
$V_{Z}$ $=$ $r^{2} π h$
↓
einsetzen von $r$ und $h$ , mit $r = 3,2$ cm und $h = 7$ cm
$=$ $(3,2)^{2} π \cdot 7$
↓
ausrechnen
$=$ $\frac{1792}{25} π$
$\approx$ $225,19$
Da wir das Volumen in Kubikzentimeter ausgerechnet haben und wir von der Aufgabe das Verhältnis von Milliliter zu Kubikzentimer kennen, passen also ungefähr 225 ml in den Becher - und damit mehr als 200 ml.
Wie viel $c m^{3}$ entsprechen 200 ml?
Rechne nun das Volumen des Zylinders aus. Ist er zu groß oder zu klein für 200 ml Flüssigkeit?

$*$ Ein Stab wird zum Umrühren genutzt. Von dem Stab sind $2 c m$ außerhalb des Bechers, wenn er diagonal im Becher steht (siehe Skizze).

Bestimmen Sie die Länge des Stabes. (3P)

$*$ Ein größerer Becher soll ein Volumen von $425 ml$ haben.
Die Höhe von $7 c m$ wird beibehalten.
Berechnen Sie den Radius dieses Bechers. (3P)
$c m^{3} in m l$
Wir wissen von Aufgabe 2 b), dass $1 c m^{3} = 1 m l$ ist:
$425 m l = 425 c m^{3}$
Gleichung auf- und umstellen
$V_{Z}$ $=$ $r^{2} π h$ $\cdot \frac{1}{π h}$
↓
umstellen der Gleichung, sodass r alleine steht
$\frac{V_{Z}}{π h}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
$\sqrt{\frac{V_{Z}}{π h}}$ $=$ $r$
↓
Setze für das Volumen $V_{Z} = 425$ ein.
Setze für die Höhe $h = 7$ ein.
$\sqrt{\frac{425}{π \cdot 7}}$ $=$ $r$
↓
$r$ ausrechnen
$4,4$ $\approx$ $r$
Der Radius des neuen Bechers beträgt also ungefähr 4,4 Zentimeter.
Überlege wie viel Kubikzentimeter $425$ ml sind.
Stelle eine Gleichung für das Volumen des Bechers auf mit dem Radius $r$ als Unbekannte. Stelle die Gleichung so um, dass $r$ allein auf einer Seite steht.

Funktionen (8 Punkte)

Gegeben ist eine lineare Funktion mit der Gleichung $f (x) = - 2 x + 3$ .

Zeichnen Sie den Graphen $f$ der gegebenen linearen Funktion in das Koordinatensystem.
Geben Sie die Nullstelle der Funktion $f$ an. (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Berechnung der Nullstelle
$- 2 x + 3$ $=$ $0$ $- 3$
$- 2 x$ $=$ $- 3$ $: (- 2)$
$x$ $=$ $\frac{- 3}{- 2}$
$x$ $=$ $1,5$
Die Nullstelle der Funktion liegt bei $x = 1,5$
Berechne zum Zeichnen der linearen Funktion zwei Punkte, indem du zwei verschiedene Werte für $x$ einsetzt und die Werte für $y$ berechnest. Die beiden so gefunden Punkte verbindest du mit einer Geraden
Zur Berechnung der Nullstelle setze die Funktion gleich $0$ und löse dann nach $x$ auf
Gegeben ist die Funktionsgleichung $p (x) = (x - 2)^{2} - 4$ einer verschobenen Normalparabel $p$ .
Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes $S$ an. (1P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
Die Parabel liegt bereits in der Scheitelform
$p (x) = a (x - d)^{2} + e$
vor. Der Scheitelpunkt $S (- d | e)$ kann direkt abgelesen werden.
Aus der Funktion kann man ablesen $d = - 2$ und $e = - 4$
Der Scheitelpunkt der gegebenen Parabel ist damit $S (2 | - 4)$
Bestimme den Scheitelpunkt mithilfe der Scheitelpunktform für Parabeln. Wenn die Parabel bereits in der Scheitelform vorliegt, kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen.

$*$ Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden $f$ mit der Parabel $p$ . (4P)

4
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Bücher (10 Punkte)
In den Jahren 2017 bis 2021 wurden jeweils 1200 Jugendliche in Deutschland befragt, wie oft sie Bücher lesen.
Das Diagramm zeigt, wie viele der Befragten mehrmals pro Woche Bücher lesen.
Geben Sie das Minimum und das Maximum der Anzahl der Jugendlichen an, die mehrmals pro Woche Bücher lesen.
Bestimmen Sie die durchschnittliche Anzahl (das arithmetische Mittel) der Jugendlichen, die mehrmals pro Woche Bücher lesen. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme
Der kleinste Wert (Minimum): $400$
Der höchste Wert (Maximum): $485$
Wir berechnen den Durchschnitt:
$\frac{468 + 432 + 485 + 470 + 400}{5} = 451$
451 Jugendliche lesen durchschnittlich mehrmals pro Woche Bücher.
Lies den kleinsten Wert aus dem Diagramm ab (Minimum).
Lies den höchsten Wert aus dem Diagramm ab (Minimum).
Berechne die Summe aller Jugendlichen und teile durch die Anzahl der Jahre. (Durchschnitt)

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Anzahl der Jugendlichen im Diagramm von 2020 bis 2021 gesunken ist. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Werte aus dem Diagramm
Im Jahr 2020 sind es: 470 Jugendliche
Auf diesen Wert bezieht sich die Abnahme, weshalb es der Grundwert ist.
Im Jahr 2021 sind es: 400 Jugendliche
Dieser veränderte Wert ist der Prozentwert in der Formel.
Abnahme in Prozent
Wir bilden das Verhältnis: $Prozentsatz = \frac{Prozentwert}{Grundwert} = \frac{400}{470} \approx 0,851$
2021 wurden also nur noch $0,851$ mal so viele, also $85,1$ Bücher gelesen wie 2020.
Die Abnahme beträgt damit: $100 % - 85,1 % = 14,9 %$ .
Lies die Werte für die Jahre 2020 und 2021 aus dem Diagramm ab.
Bilde das Verhältnis: $\frac{Anzahl 2021}{Anzahl 2020}$ und bestimme die Abnahme in Prozent.

Paolo sieht auf das Diagramm und behauptet:
„Von Jahr zu Jahr lesen immer weniger Jugendliche Bücher. Von 2018 bis 2021 hat sich die Anzahl der bücherlesenden Jugendlichen um mehr als die Hälfte reduziert.“
Entscheiden Sie, ob Paolos Aussage wahr ist.
Begründen Sie Ihre Entscheidung. (2P)

Werte aus dem Diagramm
Im Jahr 2018 sind es: 432 Jugendliche
Im Jahr 2021 sind es: 400 Jugendliche
Überprüfen der Aussage
Von 2018 bis 2021 entwickeln sich die Anzahlen der Jugendliche:
$\frac{400}{432} \approx 0,926 = 92,6 %$
Die Anzahl der Jugendliche nimmt damit um etwa $100 % - 92,6 % = 7,4 %$ ab.
Paolo hat also nicht recht, da das nicht der Hälfte entspricht. Das Diagramm erweckt aufgrund der Höhe der Balken aber den Anschein.
Lies die Werte der Jahre 2018 und 2021 ab.
Überprüfe die Aussage mithilfe der Werte.

750 Jugendliche wurden befragt, wie häufig sie Comic-Hefte lesen.
Die folgende Tabelle zeigt die prozentuale Verteilung.
mehrmals pro Woche
$39 %$
einmal pro Woche
$18 %$
einmal im Monat
$27 %$
nie
$16 %$
Beschriften Sie das Kreisdiagramm entsprechend der Tabelle. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisbogen, Kreissektor und Kreisring
Richtige Zuordnung
Der Größe nach geordnet:
Mehrmals pro Woche (39 %) bekommt das größte Stück des Diagramms.
Einmal im Monat (27 %) bekommt das zweitgrößte Stück rechts im Diagramm.
Einmal pro Woche (18 %) bekommt das drittgrößte Stück.
Nie (16 %) bekommt das kleinste Stück, was vorgegeben war.
Kreisdiagramm
Eine mögliche Lösung: Ordne die Prozentwerte und die Kreissektoren der Größe nach und ordne sie einander zu.

mehrmals pro Woche	$39 %$
einmal pro Woche	$18 %$
einmal im Monat	$27 %$
nie	$16 %$

Dreiecke (11 Punkte)

Gegeben ist ein Dreieck $A B C$

Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Die Höhe $h_{c}$ beträgt ca. $7,4 m$ .

Weisen Sie nach, dass die Länge der Strecke $A D$ ca. $12,0 m$ beträgt. (2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtwinkliges Dreieck
Länge der Strecke $A D$
Bereits bekannte Werte:
$b = 14,1 m$
$h_{c} = 7,4 m$
Der Winkel $∠ A D C$ ist ein rechter Winkel, deshalb ist das Dreieck $A C D$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Von diesem Dreieck kennst du bereits die Länge der Hypotenuse $b = 14,1 m$ und die Länge einer Kathete $h_{c} = 7,4 m$ .
Mit diesen Werten kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die Länge der zweiten Kathete (Strecke $A D$ ) zu berechnen.
Satz des Pythagoras
↓
$c^{2}$ $=$ $a^{2} + b^{2}$
↓
Werte einsetzen
${14,1}^{2}$ $=$ ${| A D |}^{2} + {7,4}^{2}$ $- {7,4}^{2}$
${14,1}^{2} - {7,4}^{2}$ $=$ ${| A D |}^{2}$ $\sqrt{}$
$\sqrt{{14,1}^{2} - {7,4}^{2}}$ $=$ $| A D |$
$12$ $\approx$ $| A D |$
Damit ist gezeigt, dass die Länge der Strecke ca. 12 m beträgt.
Ermittle alle bereits bekannten Werte. Es ist hilfreich, wenn du sie dir zusätzlich in der Skizze markierst.
Bestimme die Länge der Strecke $A D$ mit dem Satz des Pythagoras.

Berechnen Sie die Größe des Winkels $α$ . (2P)

Ermitteln Sie die Größe des Winkels $γ_{1}$ . (2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Größe des Winkels $γ_{1}$
Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt $180^{\circ}$
Der Winkel $∠ C D B$ hat $90^{\circ}$ , da er Nebenwinkel des rechten Winkels $∠ A D C$ ist.
$γ_{1} + 90 ° + 52 °$ $=$ $180 °$ $- 90 ° - 52 °$
$γ_{1}$ $=$ $38 °$
Der Winkel $γ_{1}$ hat $38^{\circ}$ .
Bestimme die Größen aller bekannten Winkel.
Ziehe die Summe der bekannten Winkel von der Summe aller Winkel eines Dreiecks ab
Berechnen Sie die Länge der Seite $a$ . (2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Länge der Seite a
Aus dem rechtwinkligen Dreieck $C D B$ sind folgende Werte bekannt:
Gegenkathete $h_{c} = 7,4$
Winkel $∠ D B C = 52^{\circ}$
Zur Berechnung der Hypotenuse $a$ verwenden wir die Winkelfunktion:
$\sin (∠ D B C)$ $=$ $\frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
↓
Werte einsetzen
$\sin (52^{\circ})$ $=$ $\frac{7,4}{a}$ $\cdot \frac{a}{\sin (52 °)}$
$a$ $\approx$ $9,4$
Die Seite $a$ ist ungefähr $9,4 m$ lang.
Ermittle zunächst, welche Werte im rechtwinkligen Dreiecks $C D B$ bekannt sind
Benutze eine geeignete Winkelfunktion, um die Länge der Hypotenuse $a$ zu berechnen.
$*$ Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ . (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks aus Grundlinie und Höhe berechnen (Herleitung)
Strecke $| D B |$ berechnen
Aus dem rechtwinkligen Dreieck $C D B$ sind folgende Werte bekannt:
Gegenkathete $h_{c} = 7,4$
Winkel $∠ D B C = 52^{\circ}$
Mit diesen Werten kann die Strecke $| D B |$ berechnet werden:
$\tan (52^{\circ})$ $=$ $\frac{7,4}{| D B |}$ $\cdot | D B |$
$\tan (52^{\circ}) \cdot | D B |$ $=$ $7,4$ $: \tan (52^{\circ})$
$| D B |$ $=$ $\frac{7,4}{\tan (52^{\circ})}$
$| D B |$ $\approx$ $5,8$
Die Länge der Strecke $| D B |$ beträgt ungefähr $5,8 m$
Länge der Strecke $| A B |$ berechnen
$| A B |$ $=$ $| A D | + | D B |$
$| A B |$ $=$ $12 + 5,8$
$| A B |$ $=$ $17,8$
Die Länge der Strecke $| A B |$ beträgt $17,8 m$ .
Fläche des Dreiecks berechnen
$A$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot Grundlinie \cdot H \ddot{o} h e$
↓
Werte einstzen
$A$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot 17,8 \cdot 7,4$
$A$ $=$ $65,9$
Die Fläche des Dreiecks beträgt ungefähr $65,9 m^{2}$
Aus Teilaufgabe (a) weißt du, dass die Strecke $| A D |$ $12 m$ lang ist.
Deshalb berechne zuerst die Länge der Strecke $| D B |$ , um die Länge der Strecke $| A B |$ bestimmen zu können.
Verwende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.

6
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Führerschein (5 Punkte)
Zu ihrem 16. Geburtstag haben Maxi und Paula Geld geschenkt bekommen. Sie sparen monatlich weiter, damit sie die Fahrschule für ihren Führerschein bezahlen können.
Paula hat nach einem Jahr $1650 €$ in der Spardose.
Berechnen Sie, wie viel Euro Maxi nach einem Jahr in der Spardose hat. (1P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Berechnung des Guthabens von Maxi nach einem Jahr
$G_{M a x i} = Anfangsguthaben + 12 \cdot m o n a t l i c h e E i n z a h l u n g$
$G_{M a x i}$ $=$ $1472 + 12 \cdot 22$
$=$ $1736$
Maxi hat nach einem Jahr 1736 € in der Spardose.
Addiere das Anfangsguthaben und alle monatlichen Zahlungen.

$*$ Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der Paulas Gesamtguthaben berechnet werden kann.
y: Gesamtguthaben in $€$
$x$ : Anzahl der Monate
Für die Fahrschule und die Führerscheinprüfung benötigt Paula $2000 €$ .
Ermitteln Sie, wie viele Monate Paula mindestens sparen muss, um ihr Ziel zu erreichen.
(4P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Die Gleichung zur Berechnung des Gesamtguthabens
$G_{g e s a m t} = Anfangsguthaben + A n z a h l M o n a t e \cdot monatlicheEinzahlung$
Paulas Guthaben berechnet sich dann nach der Formel:
$y = 990 + x \cdot 55$
Anzahl der Monate, die Paula sparen muss
Mit dieser Formel kannst du berechnen, wie viele Monate Paula sparen muss, um auf ein Endguthaben von 2000 € zu kommen. Setze dazu $y = 2000$ .
$2000$ $=$ $990 + x \cdot 55$ $- 990$
$1010$ $=$ $55 \cdot x$ $: 55$
$18,4$ $\approx$ $x$
Paula muss 19 Monate sparen.
Stelle die lineare Gleichung auf. Sie hat die Form: $y = m x + b$
Verwende diese Gleichung und setze $y = 2000$ .
Bestimme die Lösung für x, also die Anzahl der Monate.
7
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Bäume (5 Punkte)
Frau Bauer kauft für ihren Garten Apfelbäume und Pflaumenbäume.
Ein Apfelbaum und ein Pflaumenbaum kosten zusammen 63,00 $€$
Für 9 Apfelbäume und 3 Pflaumenbäume zahlt sie $352,20 €$ .
Frau Bauer stellt folgende zwei Gleichungen zum Sachverhalt auf:
I $x + y = 63 €$
II $9 x + 3 y = 352,20 €$
Geben Sie die Bedeutung der Variablen $x$ und $y$ an. (2P)

Bedeutung der Variablen im Sachzusammenhang
Aus der zweiten Gleichung kannst du ablesen, dass Frau Bauer für einen der beiden Bäume 9 Mal $x$ € bezahlt.
Da sie 9 Apfelbäume aber nur 3 Pflaumenbäume kauft, muss $x$ der Preis eines Apfelbaums sein.
$y$ ist dann folglich der Preis eines Pflaumenbaums.
x: Preis eines Apfelbaums
Untersuche, welche Kosten mit $x$ und $y$ beschrieben werden.

$*$ Berechnen Sie den Preis für einen Apfelbaum und den Preis für einen Pflaumenbaum. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einsetzungsverfahren
Lösung des Gleichungssystems
Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und 2 Variablen.
Zur Lösung des Gleichungssystems verwenden wir das Einsetzungsverfahren.
Auflösen der ersten Gleichung nach $y$ :
$x + y$ $=$ $63$ $- x$
$y$ $=$ $63 - x$
Einsetzen in die zweite Gleichung:
$9 x + 3 y$ $=$ $352,20$
↓
Einsetzen von $63 - x$ für $y$
$9 x + 3 \cdot \underset{für y}{\underset{⏟}{(63 - x)}}$ $=$ $352,20$
↓
Klammer ausmultiplizieren
$9 x + 189 - 3 x$ $=$ $352,20$ $- 189$
$6 x$ $=$ $163,20$ $: 6$
$x$ $=$ $27,20$
Einsetzen des Wertes von $x$ in die erste Gleichung und Auflösen nach $y$ :
$x + y$ $=$ $63$
↓
Einsetzen von $27,20$ für $x$
$27,20 + y$ $=$ $63$ $- 27,20$
$y$ $=$ $35,80$
Ein Apfelbaum kostet $27,20$ €.
Ein Pflaumenbaum kostet $35,80$ €.
Verwende das Einsetzungsverfahren zur Lösung des Gleichungssystems

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$p (x)$	$=$	$f (x)$
$(x - 2)^{2} - 4$	$=$	$- 2 x + 3$
	↓	Klammer auflösen
$x^{2} - 4 x + 4 - 4$	$=$	$- 2 x + 3$	$- (- 2 x + 3)$
$x^{2} - 2 x - 3$	$=$	$0$
	↓	Wir haben jetzt eine quadratische Gleichung, die mit der pq-Formel gelöst werden kann.
$x$	$=$	$- (\frac{- 2}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} - (- 3)}$
$x_{1}$	$=$	$1 + \sqrt{4}$
$x_{1}$	$=$	$3$
$x_{2}$	$=$	$1 - \sqrt{4}$
$x_{2}$	$=$	$- 1$

Prüfungsaufgaben Mathematik 2022

Basisaufgaben (10 Punkte)

Dreisatz anwenden

Gleichung lösen

Anteil als Bruch

Umrechnung in Prozentwert

Becher (11 Punkte)

Das richtige Gitternetz finden

Länge und Breite der Mantelfläche berechnen

Milliliter in Kubikzentimeter

Zylinder Volumen

Zweidimensionale geometrische Form

Länge des Stabs ausrechnen

$c m^{3} in m l$

Gleichung auf- und umstellen

Funktionen (8 Punkte)

Berechnung der Nullstelle

Funktion und Parabel gleichsetzen

Funktionswerte an den Schnittpunkten

Bücher (10 Punkte)

Werte aus dem Diagramm

Abnahme in Prozent

Werte aus dem Diagramm

Überprüfen der Aussage

Richtige Zuordnung

Dreiecke (11 Punkte)

Länge der Strecke $A D$

Wert des Winkels $α$

Größe des Winkels $γ_{1}$

Länge der Seite a

Strecke $| D B |$ berechnen

Länge der Strecke $| A B |$ berechnen

Fläche des Dreiecks berechnen

Führerschein (5 Punkte)

Berechnung des Guthabens von Maxi nach einem Jahr

Die Gleichung zur Berechnung des Gesamtguthabens

Anzahl der Monate, die Paula sparen muss

Bäume (5 Punkte)

Bedeutung der Variablen im Sachzusammenhang

Lösung des Gleichungssystems

$5 - 2 x$	$=$	$3 x - 25$	$- 3 x$
	↓	Sortiere die Gleichung
$5 - 2 x - 3 x$	$=$	$- 25$	$- 5$
$- 5 x$	$=$	$- 25 - 5$
$- 5 x$	$=$	$- 30$	$: (- 5)$
$x$	$=$	$6$

$20$	$=$	$\frac{21 + 20 + 19 + 22 + 20 + x + 20}{7}$
$20$	$=$	$\frac{122 + x}{7}$	$\cdot 7$
$140$	$=$	$122 + x$	$- 122$
$18$	$=$	$x$

$A_{Δ}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot A n k a t h e t e \cdot G e g e n k a t h e t e$
$A_{Δ}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot e \cdot d$

$2^{- 5}$	$=$	$\frac{1}{2^{5}}$
	$=$	$\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{1}{32}$
	$\approx$	$0,03$

$U_{K}$	$=$	$2 π r$
	↓	$r$ einsetzen, mit $r = 3,2$ cm
	$=$	$2 π \cdot 3,2$
	↓	ausrechnen
	$=$	$\frac{32}{5} π$
	$\approx$	$20,11$

Da uns Radius und Höhe des Bechers bekannt sind, können wir einfach einsetzen und ausrechnen
	↓
$V_{Z}$	$=$	$r^{2} π h$
	↓	einsetzen von $r$ und $h$ , mit $r = 3,2$ cm und $h = 7$ cm
	$=$	$(3,2)^{2} π \cdot 7$
	↓	ausrechnen
	$=$	$\frac{1792}{25} π$
	$\approx$	$225,19$

Alle wichtigen Seiten sind bereits gegeben
	↓
$c^{2}$	$=$	$a^{2} + b^{2}$
	↓	für $a$ den Durchmesser des Bechers einsetzen: $a = d = 2 r = 6,4$
$c^{2}$	$=$	$(6,4)^{2} + b^{2}$
	↓	für $b$ die Höhe des Bechers einsetzen: $b = h = 7$
$c^{2}$	$=$	$(6,4)^{2} + 7^{2}$	$\sqrt{}$
	↓	Wurzel ziehen
$c$	$=$	$\sqrt{(6,4)^{2} + 7^{2}}$
	↓	ausrechnen
$c$	$\approx$	$9,49$

$V_{Z}$	$=$	$r^{2} π h$	$\cdot \frac{1}{π h}$
	↓	umstellen der Gleichung, sodass r alleine steht
$\frac{V_{Z}}{π h}$	$=$	$r^{2}$	$\sqrt{}$
$\sqrt{\frac{V_{Z}}{π h}}$	$=$	$r$
	↓	Setze für das Volumen $V_{Z} = 425$ ein. Setze für die Höhe $h = 7$ ein.
$\sqrt{\frac{425}{π \cdot 7}}$	$=$	$r$
	↓	$r$ ausrechnen
$4,4$	$\approx$	$r$

$- 2 x + 3$	$=$	$0$	$- 3$
$- 2 x$	$=$	$- 3$	$: (- 2)$
$x$	$=$	$\frac{- 3}{- 2}$
$x$	$=$	$1,5$

Satz des Pythagoras
	↓
$c^{2}$	$=$	$a^{2} + b^{2}$
	↓	Werte einsetzen
${14,1}^{2}$	$=$	${\| A D \|}^{2} + {7,4}^{2}$	$- {7,4}^{2}$
${14,1}^{2} - {7,4}^{2}$	$=$	${\| A D \|}^{2}$	$\sqrt{}$
$\sqrt{{14,1}^{2} - {7,4}^{2}}$	$=$	$\| A D \|$
$12$	$\approx$	$\| A D \|$

$y_{2}$	$=$	$- 2 \cdot (- 1) + 3$
$y_{2}$	$=$	$5$

$\sin (α)$	$=$	$\frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
	↓	Einsetzen der Längenangaben
$\sin (α)$	$=$	$\frac{7,4}{14,1}$	$\sin^{- 1} ()$
	↓	Anwenden der Umkehrfunktion $\sin^{- 1} ()$ ergibt den Winkel
$α$	$\approx$	$\sin^{- 1} (\frac{7,4}{14,1})$
	↓	Taschenrechner
$α$	$\approx$	${31,7}^{\circ}$

$γ_{1} + 90 ° + 52 °$	$=$	$180 °$	$- 90 ° - 52 °$
$γ_{1}$	$=$	$38 °$

$\sin (∠ D B C)$	$=$	$\frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
	↓	Werte einsetzen
$\sin (52^{\circ})$	$=$	$\frac{7,4}{a}$	$\cdot \frac{a}{\sin (52 °)}$
$a$	$\approx$	$9,4$

$\tan (52^{\circ})$	$=$	$\frac{7,4}{\| D B \|}$	$\cdot \| D B \|$
$\tan (52^{\circ}) \cdot \| D B \|$	$=$	$7,4$	$: \tan (52^{\circ})$
$\| D B \|$	$=$	$\frac{7,4}{\tan (52^{\circ})}$
$\| D B \|$	$\approx$	$5,8$

$\| A B \|$	$=$	$\| A D \| + \| D B \|$
$\| A B \|$	$=$	$12 + 5,8$
$\| A B \|$	$=$	$17,8$

$A$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot Grundlinie \cdot H \ddot{o} h e$
	↓	Werte einstzen
$A$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 17,8 \cdot 7,4$
$A$	$=$	$65,9$

$2000$	$=$	$990 + x \cdot 55$	$- 990$
$1010$	$=$	$55 \cdot x$	$: 55$
$18,4$	$\approx$	$x$

$9 x + 3 y$	$=$	$352,20$
	↓	Einsetzen von $63 - x$ für $y$
$9 x + 3 \cdot \underset{für y}{\underset{⏟}{(63 - x)}}$	$=$	$352,20$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
$9 x + 189 - 3 x$	$=$	$352,20$	$- 189$
$6 x$	$=$	$163,20$	$: 6$
$x$	$=$	$27,20$

$x + y$	$=$	$63$
	↓	Einsetzen von $27,20$ für $x$
$27,20 + y$	$=$	$63$	$- 27,20$
$y$	$=$	$35,80$

Prüfungsaufgaben Mathematik 2022

Basisaufgaben (10 Punkte)

Dreisatz anwenden

Gleichung lösen

Anteil als Bruch

Umrechnung in Prozentwert

Becher (11 Punkte)

Das richtige Gitternetz finden

Länge und Breite der Mantelfläche berechnen

Milliliter in Kubikzentimeter

Zylinder Volumen

Zweidimensionale geometrische Form

Länge des Stabs ausrechnen

cm3 in ml

Gleichung auf- und umstellen

Funktionen (8 Punkte)

Berechnung der Nullstelle

Funktion ﻿und Parabel gleichsetzen

Funktionswerte an den Schnittpunkten

Bücher (10 Punkte)

Werte aus dem Diagramm

Abnahme in Prozent

Werte aus dem Diagramm

Überprüfen der Aussage

Richtige Zuordnung

Dreiecke (11 Punkte)

Länge der Strecke AD

Wert des Winkels α

Größe des Winkels γ1

Länge der Seite a

Strecke |DB| berechnen

Länge der Strecke |AB| berechnen

Fläche des Dreiecks berechnen

Führerschein (5 Punkte)

Berechnung des Guthabens von Maxi nach einem Jahr

Die Gleichung zur Berechnung des Gesamtguthabens

Anzahl der Monate, die Paula sparen muss

Bäume (5 Punkte)

Bedeutung der Variablen im Sachzusammenhang

Lösung des Gleichungssystems

$c m^{3} in m l$

Funktion und Parabel gleichsetzen

Länge der Strecke $A D$

Wert des Winkels $α$

Größe des Winkels $γ_{1}$

Strecke $| D B |$ berechnen

Länge der Strecke $| A B |$ berechnen