Prüfungsaufgaben Mathematik 2022

Becher (11 Punkte)

Gegeben ist ein zylinderförmiger Becher ohne Deckel. Die Höhe beträgt $h = 7 c m$ und der Radius $r = 3,2 c m$ .

Wählen Sie aus den vorgegebenen Skizzen das Netz aus, das zum Becher passt. Kreuzen Sie an.
Ermitteln Sie die Länge und die Breite der Mantelfläche.
(3P)
- oberes Gitternetz
- mittleres Gitternetz
- unteres Gitternetz
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Das richtige Gitternetz finden
Länge und Breite der Mantelfläche berechnen
Die Höhe des Bechers haben wir bereits gegeben:
$h = 7 c m$
Sie entspricht der Breite der Mantelfläche.
Die Länge ist also die unbekannte Seite die wir noch suchen. Sie soll im dreidimensionalen genau auf den Rand des Kreises passen. Man kann also den Umfang des Kreises berechnen um die Länge herauszufinden:
$U_{K}$ $=$ $2 π r$
↓
$r$ einsetzen, mit $r = 3,2$ cm
$=$ $2 π \cdot 3,2$
↓
ausrechnen
$=$ $\frac{32}{5} π$
$\approx$ $20,11$
Somit ist die Mantelfläche 7 Zentimeter breit und ungefähr 20,11 Zentimenter lang.
Überlege wie das Gitternetz eines normalen Zylinders aussieht. Wenn du jetzt einen Kreis wegnimmst, was bleibt dann noch übrig?
Beim Gitternetz sieht man die Mantelfläche des Zylinders: ein Rechteck. Die Höhe ist dir bereits bekannt. Wie könntest du nun mit Hilfe des Kreises die Länge des Rechtecks ausrechnen?
Zeigen Sie, dass in den Becher $200 ml$ Flüssigkeit passen.
Hinweis: $1 {c m}^{3}$ entspricht $1 ml$ (2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Milliliter in Kubikzentimeter
Laut Aufgabe entspricht $1 c m^{3} = 1 m l$ , wobei dann $200 m l = 200 c m^{3}$ sind.
Zylinder Volumen
Das Volumen eines Zylinders lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$V_{Z} = r^{2} π h$
Da uns Radius und Höhe des Bechers bekannt sind, können wir einfach einsetzen und ausrechnen
↓
$V_{Z}$ $=$ $r^{2} π h$
↓
einsetzen von $r$ und $h$ , mit $r = 3,2$ cm und $h = 7$ cm
$=$ $(3,2)^{2} π \cdot 7$
↓
ausrechnen
$=$ $\frac{1792}{25} π$
$\approx$ $225,19$
Da wir das Volumen in Kubikzentimeter ausgerechnet haben und wir von der Aufgabe das Verhältnis von Milliliter zu Kubikzentimer kennen, passen also ungefähr 225 ml in den Becher - und damit mehr als 200 ml.
Wie viel $c m^{3}$ entsprechen 200 ml?
Rechne nun das Volumen des Zylinders aus. Ist er zu groß oder zu klein für 200 ml Flüssigkeit?

$*$ Ein Stab wird zum Umrühren genutzt. Von dem Stab sind $2 c m$ außerhalb des Bechers, wenn er diagonal im Becher steht (siehe Skizze).

Bestimmen Sie die Länge des Stabes. (3P)

$*$ Ein größerer Becher soll ein Volumen von $425 ml$ haben.
Die Höhe von $7 c m$ wird beibehalten.
Berechnen Sie den Radius dieses Bechers. (3P)
$c m^{3} in m l$
Wir wissen von Aufgabe 2 b), dass $1 c m^{3} = 1 m l$ ist:
$425 m l = 425 c m^{3}$
Gleichung auf- und umstellen
$V_{Z}$ $=$ $r^{2} π h$ $\cdot \frac{1}{π h}$
↓
umstellen der Gleichung, sodass r alleine steht
$\frac{V_{Z}}{π h}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
$\sqrt{\frac{V_{Z}}{π h}}$ $=$ $r$
↓
Setze für das Volumen $V_{Z} = 425$ ein.
Setze für die Höhe $h = 7$ ein.
$\sqrt{\frac{425}{π \cdot 7}}$ $=$ $r$
↓
$r$ ausrechnen
$4,4$ $\approx$ $r$
Der Radius des neuen Bechers beträgt also ungefähr 4,4 Zentimeter.
Überlege wie viel Kubikzentimeter $425$ ml sind.
Stelle eine Gleichung für das Volumen des Bechers auf mit dem Radius $r$ als Unbekannte. Stelle die Gleichung so um, dass $r$ allein auf einer Seite steht.

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Alle wichtigen Seiten sind bereits gegeben
	↓
$c^{2}$	$=$	$a^{2} + b^{2}$
	↓	für $a$ den Durchmesser des Bechers einsetzen: $a = d = 2 r = 6,4$
$c^{2}$	$=$	$(6,4)^{2} + b^{2}$
	↓	für $b$ die Höhe des Bechers einsetzen: $b = h = 7$
$c^{2}$	$=$	$(6,4)^{2} + 7^{2}$	$\sqrt{}$
	↓	Wurzel ziehen
$c$	$=$	$\sqrt{(6,4)^{2} + 7^{2}}$
	↓	ausrechnen
$c$	$\approx$	$9,49$

Prüfungsaufgaben Mathematik 2022

Becher (11 Punkte)

Das richtige Gitternetz finden

Länge und Breite der Mantelfläche berechnen

Milliliter in Kubikzentimeter

Zylinder Volumen

Zweidimensionale geometrische Form

Länge des Stabs ausrechnen

$c m^{3} in m l$

Gleichung auf- und umstellen

$U_{K}$	$=$	$2 π r$
	↓	$r$ einsetzen, mit $r = 3,2$ cm
	$=$	$2 π \cdot 3,2$
	↓	ausrechnen
	$=$	$\frac{32}{5} π$
	$\approx$	$20,11$

Da uns Radius und Höhe des Bechers bekannt sind, können wir einfach einsetzen und ausrechnen
	↓
$V_{Z}$	$=$	$r^{2} π h$
	↓	einsetzen von $r$ und $h$ , mit $r = 3,2$ cm und $h = 7$ cm
	$=$	$(3,2)^{2} π \cdot 7$
	↓	ausrechnen
	$=$	$\frac{1792}{25} π$
	$\approx$	$225,19$

$V_{Z}$	$=$	$r^{2} π h$	$\cdot \frac{1}{π h}$
	↓	umstellen der Gleichung, sodass r alleine steht
$\frac{V_{Z}}{π h}$	$=$	$r^{2}$	$\sqrt{}$
$\sqrt{\frac{V_{Z}}{π h}}$	$=$	$r$
	↓	Setze für das Volumen $V_{Z} = 425$ ein. Setze für die Höhe $h = 7$ ein.
$\sqrt{\frac{425}{π \cdot 7}}$	$=$	$r$
	↓	$r$ ausrechnen
$4,4$	$\approx$	$r$

Prüfungsaufgaben Mathematik 2022

Becher (11 Punkte)

Das richtige Gitternetz finden

Länge und Breite der Mantelfläche berechnen

Milliliter in Kubikzentimeter

Zylinder Volumen

Zweidimensionale geometrische Form

Länge des Stabs ausrechnen

cm3 in ml

Gleichung auf- und umstellen

$c m^{3} in m l$