Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

Mit diesen Übungsaufgaben lernst du, die Lösung von Exponential- und Logarithmusgleichungen zu berechnen. Schaffst du sie alle?

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichungen.

$2^{x} = 16$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
$2^{x}$ $=$ $16$
↓
Logarithmiere.
$\log_{2} (16)$ $=$ $x$
↓
Berechne mithilfe des Taschenrechners die Lösung.
$x$ $=$ $4$
Die Lösungsmenge lautet: $𝕃 = {4}$
Falls dein Taschenrechner den Logarithmus zu einer beliebigen Basis (in dieser Aufgabe zur Basis 2) berechnen kann, kannst du folgende Umformungen durchführen:
Umwandlung in den natürlichen Logarithmus mit Basis $e$ : $\begin{array}{rcl} \log_{2} (16) & = & x \\ \frac{\ln (16)}{\ln (2)} & = & x \\ x & = & 4 \end{array}$
Umwandlung in den Zehner Logarithmus mit Basis $10$ : $\begin{array}{rcl} \log_{2} (16) & = & x \\ \frac{\lg (16)}{\lg (2)} & = & x \\ x & = & 4 \end{array}$
Alternative ohne Logarithmus:
Du kannst auch ausnutzen, dass $16 = 2^{4}$ ist:
$2^{x}$ $=$ $16$
↓
Ersetze $16$ durch $2^{4}$
$2^{x}$ $=$ $2^{4}$
↓
Vergleiche die Exponenten
$x$ $=$ $4$
${(\frac{1}{4})}^{x} = 64$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
${(\frac{1}{4})}^{x}$ $=$ $64$
↓
Wende die Potenzrechengesetze an.
$4^{- x}$ $=$ $64$ $\log ()$
↓
Logarithmiere.
$\log_{4} (64)$ $=$ $- x$
↓
Berechne mithilfe des Taschenrechners.
$3$ $=$ $- x$ $\cdot (- 1)$
$- 3$ $=$ $x$
Die Lösungsmenge lautet: $𝕃 = {- 3}$
$2^{x} \cdot 8^{x - 1} = 32$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
$2^{x} \cdot 8^{x - 1}$ $=$ $32$
$2^{x} \cdot \frac{8^{x}}{8^{1}}$ $=$ $32$
↓
Wende das passende Potenzgesetz an.
$\frac{2^{x} \cdot 8^{x}}{8}$ $=$ $32$ $\cdot 8$
$(2 \cdot 8)^{x}$ $=$ $256$
$16^{x}$ $=$ $256$ $\log_{16}$
↓
Logarithmiere.
$x$ $=$ $\log_{16} (256)$
$x$ $=$ $\frac{\log (256)}{\log (16)}$
$\Rightarrow x = 2$
Die Lösungsmenge lautet: $𝕃 = {2}$
Alternative Lösung ohne Logarithmus
Da $8$ und $32$ Zweierpotenzen sind, kannst du alles auf Potenzen mit der Basis $2$ umschreiben:
Mit $8 = 2^{3}$ und $32 = 2^{5}$ bekommst du
$2^{x} \cdot (2^{3})^{x - 1} = 2^{5}$
Wende jetzt die Potenzgesetze $(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$ und $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ an:
$2^{x} \cdot (2^{3})^{x - 1}$ $=$ $2^{5}$
↓
$(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$
$2^{x} \cdot 2^{3 (x - 1)}$ $=$ $2^{5}$
↓
Multipliziere aus
$2^{x} \cdot 2^{3 x - 3}$ $=$ $2^{5}$
↓
$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$2^{x + 3 x - 3}$ $=$ $2^{5}$
↓
Fasse zusammen
$2^{4 x - 3}$ $=$ $2^{5}$
↓
Vergleiche die Exponenten
$4 x - 3$ $=$ $5$
↓
Löse auf
$4 x$ $=$ $8$
$x$ $=$ $2$

${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{3}{27})}^{x} = 3$

$\frac{6^{x - 2}}{36^{x + 1}} = 216$

Gib die Definitionsmenge an und bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung.

$\log_{5} (x) = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
$D = ℝ^{+}$
Lösen der Gleichung
$\log_{5} (x) = 2$
Löse nach x auf.
$x = 5^{2} = 25$
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {25}$
$\log_{3} (x^{3}) = 243$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
$D = ℝ^{+}$
$\log_{3} (x^{3})$ $=$ $243$
↓
Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$3 \cdot \log_{3} (x)$ $=$ $243$ $: 3$
$\log_{3} (x)$ $=$ $81$
↓
Löse nach x auf .
$x$ $=$ $3^{81}$
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {3^{81}}$
$\log_{10} (x - 2) + \log_{10} (x + 2) = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine null oder negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge von $\log_{10} (x - 2)$ : $𝔻_{𝟙} =] + 2; \infty [$ . Bei $\log_{10} (x + 2)$ wiederum ist die Definitionsmenge: $𝔻_{𝟚} =] - 2; \infty [$ .
Da eine Lösung nur gültig ist, wenn sie in beiden Definitionsmengen liegt, nimmst du die kleinere Definitionsmenge $𝔻_{𝟙}$ . Somit ist die Definitionsmenge der Gleichung : $𝔻 =] + 2; \infty [$
Lösungsmenge
$\log_{10} (x - 2) + \log_{10} (x + 2) = 1$
Kehre die passende Rechenregel für den Logarithmus eines Produkts um.
$\log_{10} [(x - 2) (x + 2)] = 1$
Klammern ausmultiplizieren .
$\log_{10} (x^{2} - 4) = 1$
Es gilt: $\log_{a} (a) = 1$ , also genau dann wenn der Termi im Logarithmus und die Basis des Logarithmus gleich sind. Deshalb muss $x^{2} - 4 = 10$ gelten.
$x^{2} - 4$ $=$ $10$ $+ 4$
$x^{2}$ $=$ $14$ $\cdot \sqrt{}$
$x$ $=$ $\sqrt{14}$
( $x = - \sqrt{14}$ liegt nicht im Definitionsbereich)
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {\sqrt{14}}$

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2 \cdot x) = 4$

3
Bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung:
$\ln (x) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
$\log_{e} (x)$ $=$ $0$
↓
Löse nach x auf.
$e^{o}$ $=$ $x$
$1$ $=$ $x$
$𝕃 = {1}$

$\ln (x^{2}) = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
$\log_{e} (x^{2})$ $=$ $1$
↓
Löse nach x auf.
$e^{1}$ $=$ $x^{2}$ $\sqrt{}$
$x_{1,2}$ $=$ $\pm \sqrt{e}$
$𝕃 = {\pm \sqrt{e}}$

$\ln (x - \sqrt{e}) = \frac{1}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
$\ln (x - \sqrt{e})$ $=$ $\frac{1}{2}$
↓
Kehre die Logarithmusschreibweis in die Exponentialschreibweise um.
$e^{\frac{1}{2}}$ $=$ $x - \sqrt{e}$
↓
Schreibe die Potenz um und löse nach $x$ auf.
$\sqrt{e} + \sqrt{e}$ $=$ $x$
↓
Fasse zusammen.
$2 \sqrt{e}$ $=$ $x$
$𝕃 = {2 \sqrt{e}}$

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.

$e^{2 \cdot x} = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$e^{2 x}$ $=$ $1$ $\cdot \log ()$
↓
Logarithmiere
$\log_{e} (1)$ $=$ $2 x$
↓
Der Logarithmus von $1$ zu einer Basis $e$ ist immer $0$ .
$0$ $=$ $2 x$
$x$ $=$ $0$
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {0}$

$2 \cdot e^{x} = \frac{2}{e}$

$\sqrt{e^{x}} = e^{6} \cdot e^{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
$\sqrt{e^{x}}$ $=$ $e^{6} \cdot e^{x}$
↓
Schreibe die Wurzel als Potenz.
$(e^{x})^{\frac{1}{2}}$ $=$ $e^{6} \cdot e^{x}$
↓
Wende Potenzgesetze an.
$e^{\frac{x}{2}}$ $=$ $e^{(6 + x)}$ $\ln ()$
↓
Logarithmiere.
$\ln (e^{\frac{x}{2}})$ $=$ $\ln (e^{x + 6})$
$\frac{x}{2}$ $=$ $x + 6$ $- x$
$- \frac{x}{2}$ $=$ $6$ $\cdot (- 2)$
$x$ $=$ $- 12$
Die Lösungsmenge ist somit $𝕃 = {- 12}$

Löse die Gleichungen, indem du zunächst auf die Form $b^{f (x)} = a$ bringst und anschließend logarithmierst.

$25 \cdot 3^{x} = 1000$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$25 \cdot 3^{x}$ $=$ $1000$ $: 25$
$3^{x}$ $=$ $40$
↓
Logarithmieren
$x$ $=$ $\log_{3} 40$
$x$ $\approx$ $3,36$
Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f (x)} = a$ erhältst.
${(\frac{1}{2})}^{2 x} + 1 = 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
${(\frac{1}{2})}^{2 x} + 1$ $=$ $5$ $- 1$
${(\frac{1}{2})}^{2 x}$ $=$ $4$
↓
Logarithmieren
$2 x$ $=$ $\log_{0,5} 4$
$2 x$ $=$ $- 2$ $: 2$
$x$ $=$ $- 1$
Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f (x)} = a$ erhältst.
$5^{x + 1} = 1000$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$5^{x + 1}$ $=$ $1000$
↓
Logarithmieren
$x + 1$ $=$ $\log_{5} 1000$
$x + 1$ $\approx$ $4,29$ $- 1$
$x$ $\approx$ $3,29$
Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f (x)} = a$ erhältst.

$8 \cdot 4^{1,5 x} = 120000$

$4 \cdot 2^{15 - 3 x} = 64$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$4 \cdot 2^{15 - 3 x}$ $=$ $64$ $: 4$
$2^{15 - 3 x}$ $=$ $16$
↓
Logarithmieren
$15 - 3 x$ $=$ $\log_{2} 16$
$15 - 3 x$ $=$ $4$ $- 15$
$- 3 x$ $=$ $- 11$ $: (- 3)$
$x$ $=$ $\frac{11}{3}$
Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f (x)} = a$ erhältst.
$\frac{1}{2} \cdot 4^{2 x + 1} - 4 = 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$\frac{1}{2} \cdot 4^{2 x + 1} - 4$ $=$ $12$ $+ 4$
$\frac{1}{2} \cdot 4^{2 x + 1}$ $=$ $16$ $\cdot 2$
$4^{2 x + 1}$ $=$ $32$
↓
Logarithmieren
$2 x + 1$ $=$ $\log_{4} 32$
$2 x + 1$ $=$ $2,5$ $- 1$
$2 x$ $=$ $1,5$ $: 2$
$x$ $=$ $0,75$
Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f (x)} = a$ erhältst.

6
Löse mithilfe des natürlichen Logarithmus
$e^{x} = 1000$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürlicher Logarithmus
$e^{x}$ $=$ $1000_{}$
↓
Logarithmieren
$x$ $=$ $\ln (1000)$
$x$ $\approx$ $6,91$

$e^{2 x} = 400000$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürlicher Logarithmus
$e^{2 x}$ $=$ $400000$
↓
Logarithmieren.
$2 x$ $=$ $\ln 400000$ $: 2$
$x$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \ln 400000$
$x$ $\approx$ $6,45$

$4 e^{x} - 64 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürlicher Logarithmus
$4 e^{x} - 64$ $=$ $0$ $+ 64$
$4 e^{x}$ $=$ $64$ $: 4$
$e^{x}$ $=$ $16$
↓
logarithmieren
$x$ $=$ $\ln 16$
$x$ $\approx$ $2,77$

$5 e^{- 0,5 x} = 125$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürlicher Logarithmus
$5 e^{- 0,5 x}$ $=$ $125$ $: 5$
$e^{- 0,5 x}$ $=$ $25$
↓
Logarithmieren
$- 0,5 x$ $=$ $\ln 25$ $: (- 0,5)$
$x$ $=$ $- 2 \cdot \ln 25$
$x$ $\approx$ $- 6,44$
7
Löse durch Exponentenvergleich oder zeige die Unlösbarkeit
$2^{x - 4} = 2^{4 - x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
$2^{x - 4}$ $=$ $2^{4 - x}$
↓
Exponentenvergleich
$x - 4$ $=$ $4 - x$ $+ x$
$2 x - 4$ $=$ $4$ $+ 4$
$2 x$ $=$ $8$ $: 2$
$x$ $=$ $4$
Da die Basis übereinstimmt, kannst du die Gleichung über Exponentenvergleich lösen

${0,5}^{- x} = {0,5}^{x^{2} - 2}$
={x1;x2}=L

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
${0,5}^{- x}$ $=$ ${0,5}^{x^{2} - 2}$
↓
Exponentenvergleich
$- x$ $=$ $x^{2} - 2$ $+ x$
↓
Es handelt sich um eine Quadratische Gleichung
$0$ $=$ $x^{2} + x - 2$
Verwende die Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
$x_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm 3}{2}$ und somit $x_{1} = 1$ und $x_{2} = - 2$
Da die Basis auf beiden Seiten übereinstimmt, kannst du einen Exponentenvergleich durchführen.

$e^{3 x} - e^{- 3 x} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
$e^{3 x} - e^{- 3 x}$ $=$ $0$ $+ e^{- 3 x}$
$e^{3 x}$ $=$ $e^{- 3 x}$
↓
Exponentenvergleich
$3 x$ $=$ $- 3 x$ $+ 3 x$
$6 x$ $=$ $0$ $: 6$
$x$ $=$ $0$
Nachdem du den Subtrahend auf die rechte Seite gebracht hast, kannst du einen Exponentenvergleich durchführen

$e^{2 x + 5} - e^{2 x - 5} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
$e^{2 x + 5} - e^{2 x - 5}$ $=$ $0$ $+ e^{2 x - 5}$
$e^{2 x + 5}$ $=$ $e^{2 x - 5}$
↓
Exponentenvergleich
$2 x + 5$ $=$ $2 x - 5$ $- 2 x$
$5$ $=$ $- 5$
Die Gleichung ist nie erfüllt, somit ist die zugehörige Exponentialgleichung unlösbar.
Bringe den Subtrahenden auf die andere Seite und vergleiche anschließend die Exponenten

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{6^{x - 2}}{36^{x + 1}}$	$=$	$216$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\frac{\frac{6^{x}}{6^{2}}}{36^{x} \cdot 36}$	$=$	$216$
	↓	Fasse zusammen: $216 = 6 \cdot 6 \cdot 6$
$\frac{6^{x}}{36^{x}} \cdot \frac{1}{6^{2} \cdot 36}$	$=$
${(\frac{1}{6})}^{x} \cdot \frac{1}{6^{4}}$	$=$	$6^{3}$	$\cdot 6^{4}$
${(\frac{1}{6})}^{x}$	$=$	$6^{7}$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$6^{- x}$	$=$	$6^{7}$	$\log_{6}$
$- x$	$=$	$7$

$8 \cdot 4^{1,5 x}$	$=$	$120000$	$: 8$
$4^{1,5 x}$	$=$	$15000$
	↓	Logarithmieren
$1,5 x$	$=$	$\log_{4} 15000$
$1,5 x$	$\approx$	$6,94$	$: 1,5$
$x$	$\approx$	$4,62$

$8 \cdot 4^{1,5 x}$	$=$	$120000$	$: 8$
$4^{1,5 x}$	$=$	$15000$
	↓	verwende den natürlichen Logarithmus
$\ln 4^{1,5 x}$	$=$	$\ln 15000$
	↓	Rechenregel für Logarithmen: $\log a^{b} = b \log a$
$1,5 x \cdot \ln 4$	$=$	$\ln 15000$
	↓	Zeit für den Tascherechner:
$1,5 x \cdot 1,386$	$\approx$	$9,62$
	↓	Teile durch $1,5$ und durch $1,386$
$x$	$\approx$	$4,62$

$2^{x}$	$=$	$16$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{2} (16)$	$=$	$x$
	↓	Berechne mithilfe des Taschenrechners die Lösung.
$x$	$=$	$4$

$2^{x}$	$=$	$16$
	↓	Ersetze $16$ durch $2^{4}$
$2^{x}$	$=$	$2^{4}$
	↓	Vergleiche die Exponenten
$x$	$=$	$4$

${(\frac{1}{4})}^{x}$	$=$	$64$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze an.
$4^{- x}$	$=$	$64$	$\log ()$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{4} (64)$	$=$	$- x$
	↓	Berechne mithilfe des Taschenrechners.
$3$	$=$	$- x$	$\cdot (- 1)$
$- 3$	$=$	$x$

$2^{x} \cdot 8^{x - 1}$	$=$	$32$
$2^{x} \cdot \frac{8^{x}}{8^{1}}$	$=$	$32$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\frac{2^{x} \cdot 8^{x}}{8}$	$=$	$32$	$\cdot 8$
$(2 \cdot 8)^{x}$	$=$	$256$
$16^{x}$	$=$	$256$	$\log_{16}$
	↓	Logarithmiere.
$x$	$=$	$\log_{16} (256)$
$x$	$=$	$\frac{\log (256)}{\log (16)}$

$2^{x} \cdot (2^{3})^{x - 1}$	$=$	$2^{5}$
	↓	$(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$
$2^{x} \cdot 2^{3 (x - 1)}$	$=$	$2^{5}$
	↓	Multipliziere aus
$2^{x} \cdot 2^{3 x - 3}$	$=$	$2^{5}$
	↓	$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$2^{x + 3 x - 3}$	$=$	$2^{5}$
	↓	Fasse zusammen
$2^{4 x - 3}$	$=$	$2^{5}$
	↓	Vergleiche die Exponenten
$4 x - 3$	$=$	$5$
	↓	Löse auf
$4 x$	$=$	$8$
$x$	$=$	$2$

${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{3}{27})}^{x}$	$=$	$3$
${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{1}{9})}^{x}$	$=$	$3$
${(\frac{1}{27})}^{x}$	$=$	$3$	$\log_{\frac{1}{27}}$
	↓	Logarithmiere.
$x$	$=$	$\log_{\frac{1}{27}} (3)$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus an.
$x$	$=$	$\frac{\log (3)}{\log (\frac{1}{27})}$
$x$	$=$	$\frac{\log (3)}{\log (1) - \log (27)}$
	↓	Fasse den Nenner zusammen, indem du $\log (1)$ = 0 einsetzt.
$x$	$=$	$\frac{\log (3)}{- \log (27)}$

${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{3}{27})}^{x}$	$=$	$3$
	↓	Kürze
${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{1}{9})}^{x}$	$=$	$3$
	↓	Potenzgesetz $\frac{1}{a^{x}} = a^{- x}$
$3^{- x} \cdot 9^{- x}$	$=$	$3$
	↓	Ersetze $9 = 3^{2}$
$3^{- x} \cdot (3^{2})^{- x}$	$=$	$3$
	↓	Potenzgesetz $(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$
$3^{- x} \cdot 3^{- 2 x}$	$=$	$3$
	↓	Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$3^{- 3 x}$	$=$	$3^{1}$
	↓	Exponentenvergleich
$- 3 x$	$=$	$1$
	↓	Teile durch $- 3$
$x$	$=$	$- \frac{1}{3}$

$\log_{3} (x^{3})$	$=$	$243$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$3 \cdot \log_{3} (x)$	$=$	$243$	$: 3$
$\log_{3} (x)$	$=$	$81$
	↓	Löse nach x auf .
$x$	$=$	$3^{81}$

$x^{2} - 4$	$=$	$10$	$+ 4$
$x^{2}$	$=$	$14$	$\cdot \sqrt{}$
$x$	$=$	$\sqrt{14}$

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2 x_{})$	$=$	$4$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$2 \cdot \log_{2} (x) - [\log_{2} (2) + \log_{2} (x)]$	$=$	$4$
	↓	Achte auf das negative Vorzeichen bei Klammern .
$2 \cdot \log_{2} (x) - \log_{2} (2) - \log_{2} (x)$	$=$	$4$
	↓	Fasse zusammen.
$\log_{2} (x) - 1$	$=$	$4$	$+ 1$
$\log_{2} (x)$	$=$	$5$
	↓	Löse nach x auf.
$x$	$=$	$2^{5}$
	↓	Potenziere.
$x$	$=$	$32$

$\sqrt{e^{x}}$	$=$	$e^{6} \cdot e^{x}$
	↓	Schreibe die Wurzel als Potenz.
$(e^{x})^{\frac{1}{2}}$	$=$	$e^{6} \cdot e^{x}$
	↓	Wende Potenzgesetze an.
$e^{\frac{x}{2}}$	$=$	$e^{(6 + x)}$	$\ln ()$
	↓	Logarithmiere.
$\ln (e^{\frac{x}{2}})$	$=$	$\ln (e^{x + 6})$
$\frac{x}{2}$	$=$	$x + 6$	$- x$
$- \frac{x}{2}$	$=$	$6$	$\cdot (- 2)$
$x$	$=$	$- 12$

${0,5}^{- x}$	$=$	${0,5}^{x^{2} - 2}$
	↓	Exponentenvergleich
$- x$	$=$	$x^{2} - 2$	$+ x$
	↓	Es handelt sich um eine Quadratische Gleichung
$0$	$=$	$x^{2} + x - 2$

$e^{2 x + 5} - e^{2 x - 5}$	$=$	$0$	$+ e^{2 x - 5}$
$e^{2 x + 5}$	$=$	$e^{2 x - 5}$
	↓	Exponentenvergleich
$2 x + 5$	$=$	$2 x - 5$	$- 2 x$
$5$	$=$	$- 5$

$\log_{e} (x)$	$=$	$0$
	↓	Löse nach x auf.
$e^{o}$	$=$	$x$
$1$	$=$	$x$

$\log_{e} (x^{2})$	$=$	$1$
	↓	Löse nach x auf.
$e^{1}$	$=$	$x^{2}$	$\sqrt{}$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{e}$

$\ln (x - \sqrt{e})$	$=$	$\frac{1}{2}$
	↓	Kehre die Logarithmusschreibweis in die Exponentialschreibweise um.
$e^{\frac{1}{2}}$	$=$	$x - \sqrt{e}$
	↓	Schreibe die Potenz um und löse nach $x$ auf.
$\sqrt{e} + \sqrt{e}$	$=$	$x$
	↓	Fasse zusammen.
$2 \sqrt{e}$	$=$	$x$

$e^{2 x}$	$=$	$1$	$\cdot \log ()$
	↓	Logarithmiere
$\log_{e} (1)$	$=$	$2 x$
	↓	Der Logarithmus von $1$ zu einer Basis $e$ ist immer $0$ .
$0$	$=$	$2 x$
$x$	$=$	$0$

$ 2 \cdot e^{x}$	$=$	$\frac{2}{e}$	$\cdot e$
$2 \cdot e^{x} \cdot e^{1}$	$=$	$2$	$: 2$
$e^{x} \cdot e^{1}$	$=$	$1$
	↓	Verwende das passende Potenzgesetz .
$e^{x + 1}$	$=$	$1$	$\cdot \log ()$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{e} (1)$	$=$	$x + 1$
	↓	$ e^{x} = 1 e$ Es gilt: Der Logarithmus von $ 1$ zu einer Basis $ n$ ist immer Null. Da: $e^{0} = 1 e$ $ e \in ℝ$
$0$	$=$	$x + 1$	$- 1$
$x$	$=$	$- 1$

$25 \cdot 3^{x}$	$=$	$1000$	$: 25$
$3^{x}$	$=$	$40$
	↓	Logarithmieren
$x$	$=$	$\log_{3} 40$
$x$	$\approx$	$3,36$

${(\frac{1}{2})}^{2 x} + 1$	$=$	$5$	$- 1$
${(\frac{1}{2})}^{2 x}$	$=$	$4$
	↓	Logarithmieren
$2 x$	$=$	$\log_{0,5} 4$
$2 x$	$=$	$- 2$	$: 2$
$x$	$=$	$- 1$

$5^{x + 1}$	$=$	$1000$
	↓	Logarithmieren
$x + 1$	$=$	$\log_{5} 1000$
$x + 1$	$\approx$	$4,29$	$- 1$
$x$	$\approx$	$3,29$

$4 \cdot 2^{15 - 3 x}$	$=$	$64$	$: 4$
$2^{15 - 3 x}$	$=$	$16$
	↓	Logarithmieren
$15 - 3 x$	$=$	$\log_{2} 16$
$15 - 3 x$	$=$	$4$	$- 15$
$- 3 x$	$=$	$- 11$	$: (- 3)$
$x$	$=$	$\frac{11}{3}$

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2 x + 1} - 4$	$=$	$12$	$+ 4$
$\frac{1}{2} \cdot 4^{2 x + 1}$	$=$	$16$	$\cdot 2$
$4^{2 x + 1}$	$=$	$32$
	↓	Logarithmieren
$2 x + 1$	$=$	$\log_{4} 32$
$2 x + 1$	$=$	$2,5$	$- 1$
$2 x$	$=$	$1,5$	$: 2$
$x$	$=$	$0,75$

Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

Definitionsmenge

Lösen der Gleichung

Definitionsmenge

Definitionsmenge

Lösungsmenge

Definitionsmenge

$e^{x}$	$=$	$1000_{}$
	↓	Logarithmieren
$x$	$=$	$\ln (1000)$
$x$	$\approx$	$6,91$

$e^{2 x}$	$=$	$400000$
	↓	Logarithmieren.
$2 x$	$=$	$\ln 400000$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \ln 400000$
$x$	$\approx$	$6,45$

$4 e^{x} - 64$	$=$	$0$	$+ 64$
$4 e^{x}$	$=$	$64$	$: 4$
$e^{x}$	$=$	$16$
	↓	logarithmieren
$x$	$=$	$\ln 16$
$x$	$\approx$	$2,77$

$5 e^{- 0,5 x}$	$=$	$125$	$: 5$
$e^{- 0,5 x}$	$=$	$25$
	↓	Logarithmieren
$- 0,5 x$	$=$	$\ln 25$	$: (- 0,5)$
$x$	$=$	$- 2 \cdot \ln 25$
$x$	$\approx$	$- 6,44$

$2^{x - 4}$	$=$	$2^{4 - x}$
	↓	Exponentenvergleich
$x - 4$	$=$	$4 - x$	$+ x$
$2 x - 4$	$=$	$4$	$+ 4$
$2 x$	$=$	$8$	$: 2$
$x$	$=$	$4$

$e^{3 x} - e^{- 3 x}$	$=$	$0$	$+ e^{- 3 x}$
$e^{3 x}$	$=$	$e^{- 3 x}$
	↓	Exponentenvergleich
$3 x$	$=$	$- 3 x$	$+ 3 x$
$6 x$	$=$	$0$	$: 6$
$x$	$=$	$0$