Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

Löse durch Exponentenvergleich oder zeige die Unlösbarkeit

$2^{x - 4} = 2^{4 - x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
$2^{x - 4}$ $=$ $2^{4 - x}$
↓
Exponentenvergleich
$x - 4$ $=$ $4 - x$ $+ x$
$2 x - 4$ $=$ $4$ $+ 4$
$2 x$ $=$ $8$ $: 2$
$x$ $=$ $4$
Da die Basis übereinstimmt, kannst du die Gleichung über Exponentenvergleich lösen
${0,5}^{- x} = {0,5}^{x^{2} - 2}$
={x1;x2}=L

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
${0,5}^{- x}$ $=$ ${0,5}^{x^{2} - 2}$
↓
Exponentenvergleich
$- x$ $=$ $x^{2} - 2$ $+ x$
↓
Es handelt sich um eine Quadratische Gleichung
$0$ $=$ $x^{2} + x - 2$
Verwende die Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
$x_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm 3}{2}$ und somit $x_{1} = 1$ und $x_{2} = - 2$
Da die Basis auf beiden Seiten übereinstimmt, kannst du einen Exponentenvergleich durchführen.
$e^{3 x} - e^{- 3 x} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
$e^{3 x} - e^{- 3 x}$ $=$ $0$ $+ e^{- 3 x}$
$e^{3 x}$ $=$ $e^{- 3 x}$
↓
Exponentenvergleich
$3 x$ $=$ $- 3 x$ $+ 3 x$
$6 x$ $=$ $0$ $: 6$
$x$ $=$ $0$
Nachdem du den Subtrahend auf die rechte Seite gebracht hast, kannst du einen Exponentenvergleich durchführen
$e^{2 x + 5} - e^{2 x - 5} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
$e^{2 x + 5} - e^{2 x - 5}$ $=$ $0$ $+ e^{2 x - 5}$
$e^{2 x + 5}$ $=$ $e^{2 x - 5}$
↓
Exponentenvergleich
$2 x + 5$ $=$ $2 x - 5$ $- 2 x$
$5$ $=$ $- 5$
Die Gleichung ist nie erfüllt, somit ist die zugehörige Exponentialgleichung unlösbar.
Bringe den Subtrahenden auf die andere Seite und vergleiche anschließend die Exponenten

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$2^{x - 4}$	$=$	$2^{4 - x}$
	↓	Exponentenvergleich
$x - 4$	$=$	$4 - x$	$+ x$
$2 x - 4$	$=$	$4$	$+ 4$
$2 x$	$=$	$8$	$: 2$
$x$	$=$	$4$

${0,5}^{- x}$	$=$	${0,5}^{x^{2} - 2}$
	↓	Exponentenvergleich
$- x$	$=$	$x^{2} - 2$	$+ x$
	↓	Es handelt sich um eine Quadratische Gleichung
$0$	$=$	$x^{2} + x - 2$

$e^{3 x} - e^{- 3 x}$	$=$	$0$	$+ e^{- 3 x}$
$e^{3 x}$	$=$	$e^{- 3 x}$
	↓	Exponentenvergleich
$3 x$	$=$	$- 3 x$	$+ 3 x$
$6 x$	$=$	$0$	$: 6$
$x$	$=$	$0$

$e^{2 x + 5} - e^{2 x - 5}$	$=$	$0$	$+ e^{2 x - 5}$
$e^{2 x + 5}$	$=$	$e^{2 x - 5}$
	↓	Exponentenvergleich
$2 x + 5$	$=$	$2 x - 5$	$- 2 x$
$5$	$=$	$- 5$