Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichungen.

$2^{x} = 16$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
$2^{x}$ $=$ $16$
↓
Logarithmiere.
$\log_{2} (16)$ $=$ $x$
↓
Berechne mithilfe des Taschenrechners die Lösung.
$x$ $=$ $4$
Die Lösungsmenge lautet: $𝕃 = {4}$
Falls dein Taschenrechner den Logarithmus zu einer beliebigen Basis (in dieser Aufgabe zur Basis 2) berechnen kann, kannst du folgende Umformungen durchführen:
Umwandlung in den natürlichen Logarithmus mit Basis $e$ : $\begin{array}{rcl} \log_{2} (16) & = & x \\ \frac{\ln (16)}{\ln (2)} & = & x \\ x & = & 4 \end{array}$
Umwandlung in den Zehner Logarithmus mit Basis $10$ : $\begin{array}{rcl} \log_{2} (16) & = & x \\ \frac{\lg (16)}{\lg (2)} & = & x \\ x & = & 4 \end{array}$
Alternative ohne Logarithmus:
Du kannst auch ausnutzen, dass $16 = 2^{4}$ ist:
$2^{x}$ $=$ $16$
↓
Ersetze $16$ durch $2^{4}$
$2^{x}$ $=$ $2^{4}$
↓
Vergleiche die Exponenten
$x$ $=$ $4$
${(\frac{1}{4})}^{x} = 64$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
${(\frac{1}{4})}^{x}$ $=$ $64$
↓
Wende die Potenzrechengesetze an.
$4^{- x}$ $=$ $64$ $\log ()$
↓
Logarithmiere.
$\log_{4} (64)$ $=$ $- x$
↓
Berechne mithilfe des Taschenrechners.
$3$ $=$ $- x$ $\cdot (- 1)$
$- 3$ $=$ $x$
Die Lösungsmenge lautet: $𝕃 = {- 3}$
$2^{x} \cdot 8^{x - 1} = 32$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
$2^{x} \cdot 8^{x - 1}$ $=$ $32$
$2^{x} \cdot \frac{8^{x}}{8^{1}}$ $=$ $32$
↓
Wende das passende Potenzgesetz an.
$\frac{2^{x} \cdot 8^{x}}{8}$ $=$ $32$ $\cdot 8$
$(2 \cdot 8)^{x}$ $=$ $256$
$16^{x}$ $=$ $256$ $\log_{16}$
↓
Logarithmiere.
$x$ $=$ $\log_{16} (256)$
$x$ $=$ $\frac{\log (256)}{\log (16)}$
$\Rightarrow x = 2$
Die Lösungsmenge lautet: $𝕃 = {2}$
Alternative Lösung ohne Logarithmus
Da $8$ und $32$ Zweierpotenzen sind, kannst du alles auf Potenzen mit der Basis $2$ umschreiben:
Mit $8 = 2^{3}$ und $32 = 2^{5}$ bekommst du
$2^{x} \cdot (2^{3})^{x - 1} = 2^{5}$
Wende jetzt die Potenzgesetze $(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$ und $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ an:
$2^{x} \cdot (2^{3})^{x - 1}$ $=$ $2^{5}$
↓
$(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$
$2^{x} \cdot 2^{3 (x - 1)}$ $=$ $2^{5}$
↓
Multipliziere aus
$2^{x} \cdot 2^{3 x - 3}$ $=$ $2^{5}$
↓
$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$2^{x + 3 x - 3}$ $=$ $2^{5}$
↓
Fasse zusammen
$2^{4 x - 3}$ $=$ $2^{5}$
↓
Vergleiche die Exponenten
$4 x - 3$ $=$ $5$
↓
Löse auf
$4 x$ $=$ $8$
$x$ $=$ $2$

${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{3}{27})}^{x} = 3$

$\frac{6^{x - 2}}{36^{x + 1}} = 216$

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$\frac{6^{x - 2}}{36^{x + 1}}$	$=$	$216$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\frac{\frac{6^{x}}{6^{2}}}{36^{x} \cdot 36}$	$=$	$216$
	↓	Fasse zusammen: $216 = 6 \cdot 6 \cdot 6$
$\frac{6^{x}}{36^{x}} \cdot \frac{1}{6^{2} \cdot 36}$	$=$
${(\frac{1}{6})}^{x} \cdot \frac{1}{6^{4}}$	$=$	$6^{3}$	$\cdot 6^{4}$
${(\frac{1}{6})}^{x}$	$=$	$6^{7}$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$6^{- x}$	$=$	$6^{7}$	$\log_{6}$
$- x$	$=$	$7$

$2^{x}$	$=$	$16$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{2} (16)$	$=$	$x$
	↓	Berechne mithilfe des Taschenrechners die Lösung.
$x$	$=$	$4$

$2^{x}$	$=$	$16$
	↓	Ersetze $16$ durch $2^{4}$
$2^{x}$	$=$	$2^{4}$
	↓	Vergleiche die Exponenten
$x$	$=$	$4$

${(\frac{1}{4})}^{x}$	$=$	$64$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze an.
$4^{- x}$	$=$	$64$	$\log ()$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{4} (64)$	$=$	$- x$
	↓	Berechne mithilfe des Taschenrechners.
$3$	$=$	$- x$	$\cdot (- 1)$
$- 3$	$=$	$x$

$2^{x} \cdot 8^{x - 1}$	$=$	$32$
$2^{x} \cdot \frac{8^{x}}{8^{1}}$	$=$	$32$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\frac{2^{x} \cdot 8^{x}}{8}$	$=$	$32$	$\cdot 8$
$(2 \cdot 8)^{x}$	$=$	$256$
$16^{x}$	$=$	$256$	$\log_{16}$
	↓	Logarithmiere.
$x$	$=$	$\log_{16} (256)$
$x$	$=$	$\frac{\log (256)}{\log (16)}$

$2^{x} \cdot (2^{3})^{x - 1}$	$=$	$2^{5}$
	↓	$(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$
$2^{x} \cdot 2^{3 (x - 1)}$	$=$	$2^{5}$
	↓	Multipliziere aus
$2^{x} \cdot 2^{3 x - 3}$	$=$	$2^{5}$
	↓	$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$2^{x + 3 x - 3}$	$=$	$2^{5}$
	↓	Fasse zusammen
$2^{4 x - 3}$	$=$	$2^{5}$
	↓	Vergleiche die Exponenten
$4 x - 3$	$=$	$5$
	↓	Löse auf
$4 x$	$=$	$8$
$x$	$=$	$2$

${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{3}{27})}^{x}$	$=$	$3$
${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{1}{9})}^{x}$	$=$	$3$
${(\frac{1}{27})}^{x}$	$=$	$3$	$\log_{\frac{1}{27}}$
	↓	Logarithmiere.
$x$	$=$	$\log_{\frac{1}{27}} (3)$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus an.
$x$	$=$	$\frac{\log (3)}{\log (\frac{1}{27})}$
$x$	$=$	$\frac{\log (3)}{\log (1) - \log (27)}$
	↓	Fasse den Nenner zusammen, indem du $\log (1)$ = 0 einsetzt.
$x$	$=$	$\frac{\log (3)}{- \log (27)}$

${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{3}{27})}^{x}$	$=$	$3$
	↓	Kürze
${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{1}{9})}^{x}$	$=$	$3$
	↓	Potenzgesetz $\frac{1}{a^{x}} = a^{- x}$
$3^{- x} \cdot 9^{- x}$	$=$	$3$
	↓	Ersetze $9 = 3^{2}$
$3^{- x} \cdot (3^{2})^{- x}$	$=$	$3$
	↓	Potenzgesetz $(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$
$3^{- x} \cdot 3^{- 2 x}$	$=$	$3$
	↓	Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$3^{- 3 x}$	$=$	$3^{1}$
	↓	Exponentenvergleich
$- 3 x$	$=$	$1$
	↓	Teile durch $- 3$
$x$	$=$	$- \frac{1}{3}$