Aufgaben zu Integralen

Hier findest du Übungsaufgaben zu den Integralen. Wiederhole wichtige Grundlagen und entdecke interessante Eigenschaften der Integrale!

1
Begründe, warum es kein $k \in ℝ^{+}$ gibt, das folgende Gleichung erfüllt:
$\int_{0}^{k} (x^{2} + 1) d x = - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral
Wir haben hier ein Integral, bei dem die obere Grenze größer als die untere ist. Damit dieses Integral in einem beliebigen Abschnitt negativ wird, muss die Funktion in diesem Bereich einen größeren Flächeninhalt unterhalb der $x$ -Achse haben als oberhalb. Das kann nur geschehen, wenn es negative Funktionswerte gibt.
Da $f (x) = x^{2} + 1$ eine nach oben geöffnete Parabel ist, die sich vollständig oberhalb der $x$ -Achse befindet, sind aber alle Funktionswerte positiv.
2
Berechne die Fläche zwischen der x-Achse und $G_{f}$ im Bereich von $x = a$ bis $x = b$ .
$f (x) = x^{3}$                       $a = 0$                    $b = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich $x = 0$ bis $x = 1$ hat die Funktion $f (x) = x^{3}$ keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.
$f (x) = x^{3}$ , $a = 0$ , $b = 1$
Integral aufstellen.
$\int_{0}^{1} x^{3} d x = {[\frac{x^{4}}{4}]}_{0}^{1}$
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
$= (\frac{1^{4}}{4}) - (\frac{0^{4}}{4})$
Zähler berechnen.
$= \frac{1}{4}$
Die Fläche zwischen der $x$ -Achse und $G_{f}$ beträgt $A = \frac{1}{4} FE$ .

$f (x) = x^{3}$                       $a = 1$               $b = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich $x = 1$ bis $x = 2$ ist die Funktion $f (x) = x^{3}$ positiv und hat keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.
$f (x) = x^{3}$ , $a = 1$ , $b = 2$
Integral aufstellen.
$\int_{1}^{2} x^{3} d x = {[\frac{1}{4} x^{4}]}_{1}^{2}$
Integrieren.
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
$= \frac{1}{4} 2^{4} - \frac{1}{4} 1^{4}$
Potenzen berechen.
$= \frac{16}{4} - \frac{1}{4}$
$= \frac{15}{4} = 3,75$
Die Fläche zwischen der x-Achse und $G_{f} $ beträgt $A = 3,75 FE$ .

$f (x) = - x^{2} + x$            $a = - 1$          $b = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich $x = - 1$ bis $x = 0$ hat die Funktion $f (x) = - x^{2} + x$ nur die Nullstelle $x = 0$ .
Für die linke Integralgrenze gilt: $f (- 1) = - 2$ . Die gesuchte Fläche liegt somit unterhalb der x-Achse.
$f (x) = - x^{2} + x$ , $a = - 1$ , $b = 0$
Integral aufstellen und integrieren:
$\int_{- 1}^{0} - x^{2} + x d x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 1}^{0}$
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-1) gerechnet.
$= (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$
Die erste Klammer ist gleich $" 0 "$ diese bleibt und auch das Vorzeichen ( - ) vor der zweiten Klammer.
$= 0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$
Hauptnenner (6) bilden und beide Brüche auf diesen erweitern.
$= 0 - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6}) = - \frac{5}{6}$
Die Fläche zwischen der x-Achse und $G_{f} $ beträgt $A = | - \frac{5}{6} | = \frac{5}{6} FE$ .

Berechne

$\int_{0}^{x} t d t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{0}^{x} t d t$ $=$ ${[\frac{1}{2} t^{2}]}_{0}^{x}$
↓
In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} 0^{2}$
$=$ $\frac{1}{2} x^{2}$
$\int_{1}^{x} t d t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{1}^{x} t d t$ $=$ ${[\frac{1}{2} t^{2}]}_{1}^{x}$
↓
In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{x} (t^{2} - t - 1) d t$

$\int_{0}^{x} \sin t d t$

$\int_{1054}^{x} t^{2} d t$

$\int_{1}^{2} \frac{1 + x}{x} d x$

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x} d x$

$\int_{- 2}^{+ 2} v^{2} d v$

$\int_{2}^{3} t^{2} d t$

$\int_{2}^{3} x^{2} d x$

$\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x$

$\int_{0}^{2} x d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{0}^{2} x d x$ $=$ ${[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{2}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
$=$ $\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}$
$=$ $\frac{4}{2} - 0$
$=$ $2$
$\int_{1}^{3} x d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{1}^{3} x d x$ $=$ ${[\frac{x^{2}}{2}]}_{1}^{3}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
$=$ $\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}$
↓
Zähler berechnen.
$=$ $\frac{9}{2} - \frac{1}{2}$
$=$ $\frac{8}{2}$
$=$ $4$
$\int_{- 2}^{0} (- x) d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{- 2}^{0} (- x) d x$ $=$ ${[- \frac{x^{2}}{2}]}_{- 2}^{0}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
$=$ $(- \frac{0^{2}}{2}) - (- \frac{(- 2)^{2}}{2})$
$=$ $\frac{4}{2}$
$=$ $2$

$\int_{0}^{1} (x^{2} + x) d x$

$\int_{1}^{2} x^{2} d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{1}^{2} x^{2} d x$ $=$ ${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{1}^{2}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$
$=$ $\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$
$=$ $\frac{7}{3}$

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x$

$\int_{- 2}^{2} x^{2} d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{- 2}^{2} x^{2} d x$ $=$ ${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{2}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$
↓
Potenzen berechen.
$=$ $\frac{8}{3} + \frac{8}{3}$
$=$ $\frac{16}{3}$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x$

$\int_{732}^{2000} 1 d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{732}^{2000} 1 dx$ $=$ ${[x]}_{732}^{2000}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.
$=$ $2000 - 732$
$=$ $1268$

$\int_{1}^{2} (x^{2} + x) d x$

$\int_{0}^{2} (x^{2} + x) d x$

$\int_{- 1}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{- 1}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$ $=$ ${[x^{5} - x^{3} - 7 x]}_{- 1}^{1}$
$=$ $[1^{5} - 1^{3} - 7 \cdot 1 - ({(- 1)}^{5} - {(- 1)}^{3} - 7 \cdot (- 1))]$
$=$ $1 - 1 - 7 - (- 1 - (- 1) + 7)$
$=$ $- 7 - (- 1 + 1 + 7)$
$=$ $- 7 - 7$
$=$ $- 14$
Alternative Lösung
$f (x)$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da $f (x) = f (- x)$ :
$f (- x) = 5 \cdot {(- x)}^{4} - 3 {(- x)}^{2} - 7 = 5 x^{4} - 3 x^{2} - 7 = f (x)$ , weil der Exponent eine gerade Zahl ist
$\Rightarrow$ Das Integral lässt sich in zwei gleich große Teile aufteilen, zwischen -1 und 0 und zwischen 0 und 1
$\int_{- 1}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$ $=$ $2 \cdot \int_{0}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$
$=$ $2 \cdot {[x^{5} - x^{3} - 7 x]}_{0}^{1}$
↓
0 und 1 einsetzen
$=$ $2 \cdot [1^{5} - 1^{3} - 7 \cdot 1 - (0^{5} - 0^{3} - 7 \cdot 0)]$
$=$ $2 \cdot (1 - 1 - 7 - 0)$
$=$ $2 \cdot (- 7)$
$=$ $- 14$

4
Was kann man über die $f$ sagen, wenn man weiß:
$\int_{0}^{1} f (x) d x = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
$\int_{0}^{1} f (x) d x = 0$
Es gibt zwei Möglichkeiten:
Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1 auf der x-Achse.
Die Flächen ober- und unterhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 gleich groß und heben sich so auf.

$\int_{0}^{1} f (x) d x > 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
$\int_{0}^{1} f (x) d x > 0$
Die Flächen oberhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 größer als die unterhalb.

$\int_{0}^{1} f (x) d x < 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
$\int_{0}^{1} f (x) d x < 0$
Die Flächen unterhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 größer als die oberhalb.

$\int_{1}^{0} f (x) d x > 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
$\int_{1}^{0} f (x) dx$ $>$ $0$
$- \int_{0}^{1} f (x) dx$ $>$ $0$ $: (- 1)$
↓
Dividiere durch $(- 1)$ . Dadurch dreht sich das Größer-Zeichen um.
$\int_{0}^{1} f (x) d x$ $<$ $0$
Mögliche Lösung: siehe Teilaufgabe c.

Berechne die Integrale: $a (x) = 6 - \frac{1}{24} x^{2}; D_{a} = ℝ$

$\int_{0}^{12} a (x) d x$

$\int_{- 12}^{12} a (x) d x$

$\int_{0}^{12 \sqrt{3}} a (x) d x$

Berechne.

$\int_{- 1}^{1} e^{| x |} d x$

$\int_{- 2}^{0} e^{- | x |} d x$

$\int_{- 2}^{0} e^{| x + 1 |} d x$

$\int_{- 7}^{7} \frac{| t |}{t} e^{| t |} d t$

Stelle $f (x)$ integralfrei dar.

$f (x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t$

$f (x) = x \cdot \ln x + \int_{2}^{x} \ln t d t$

$f (x) = \ln x - \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$

$f (x) = \int_{1}^{x} t \ln t d t + \int_{x}^{3} t \ln t d t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integriere

$f (x) = \int_{1}^{x} t \ln t d t + \int_{x}^{3} t \ln t d t$

Da die linke Grenze des ersten Integrals und die rechte des zweiten das gleiche sind und es sich beide male um dieselbe Funktion handelt, kann man die beiden Integrale zusammenfassen.

$= \int_{1}^{3} t lnt d t$

Es muss partiell Integriert werden. $t$ wird als $u^{'}$ gewählt, da es sich einfacher integrieren lässt.

$u = \frac{1}{2} t^{2}$	$u^{'} = t$
$v = \ln t$	$v^{'} = \frac{1}{t}$

$f (x)$	$=$	${[\frac{1}{2} t^{2} \cdot \ln t]}_{1}^{3} - \int_{1}^{3} (\frac{1}{2} t^{2} \cdot \frac{1}{t}) d t$
	↓	Im Integral kürzt sich ein $t$ .
	$=$	${[\frac{1}{2} t^{2} \cdot \ln t]}_{1}^{3} - \int_{1}^{3} (\frac{1}{2} t) d t$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[\frac{1}{2} t^{2} \cdot \ln t]}_{1}^{3} - {[\frac{1}{4} t^{2}]}_{1}^{3}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} \cdot \ln 3 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \ln 1 - \frac{1}{4} \cdot 3^{2} + \frac{1}{4} \cdot 1^{2}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{9}{2} \cdot \ln 3 - \frac{1}{2} \cdot \ln 1 - \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$
	$=$	$\frac{9}{2} \cdot \ln 3 - \frac{1}{2} \cdot \ln 1 - 2$
	$\approx$	$2,944$

8
Löse die Aufgabe (nach einer Abituraufgabe von 2012)
Begründe, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: integrale
Für Integrale gilt: $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ .
Daher hat jede Integralfunktion $F (x) = \int_{a}^{x} f (x) d x$ die Nullstelle $x = a$ und damit mindestens eine Nullstelle.

Gib einen Term für eine Funktion $f$ an, sodass die Integralfunktion
$F : x \mapsto \int_{1}^{x} f (t) d t$ unendlich viele Nullstellen hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: integrale
Lösung 1: Für unendlich viele Nullstellen muss die Fläche unter dem Funktionsgraphen immer wechselnd unter und über der x-Achse liegen. Für eine solche Funktion bietet sich der $\sin (x)$ an. Aufgrund der Periodizität des Sinus ist dann für alle $2 π k, k = 1; 2; 3; \dots$ die Integralfunktion null.
Lösung 2: Eine einfache Lösung gibt es für $f = 0$ . Dann folgt nämlich, dass die Integralfunktion $F$ ebenfalls konstant gleich Null ist. Insbesondere hat $F$ in diesem Fall unendlich viele Nullstellen.

Die Funktion $v (t) = - 15 t^{2} + 90 t$ gibt zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit eines Autos in $\frac{km}{h}$ während einer sechsstündigen Autofahrt an.

Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hatte das Auto bei seiner Fahrt?

Gegeben ist die Funktion $f (x) = - 2 x^{2} + 4 x$ .

Berechne die Sekantensteigung im Intervall $[0; 1]$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Es ist $f (x) = - 2 x^{2} + 4 x$ .
Sekantensteigung allgemein:
$m_{S} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$
Hier folgt:
$m_{S} = \frac{f (1) - f (0)}{1 - 0} = \frac{2 - 0}{1} = 2$
Berechne $m_{S} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .

Berechne mithilfe der Integralrechnung die mittlere Steigung im Intervall $[0; 1]$ .

Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).

Nachdem ein Heißluftballon zur Zeit $t = 0$ seine Reisehöhe erreicht hat, wird seine Flughöhe durch die Funktion $h (t) = - 0,03 t^{3} + 0,4 t^{2} + 300$ beschrieben ( $h$ in Metern und $t$ in Stunden).

Welche durchschnittliche Reisehöhe hatte der Ballon zwischen der $2.$ und $10.$ Stunde?

Eine Wetterstation misst die Lufttemperatur. Der Temperaturverlauf während eines Tages wird näherungsweise durch die Funktion $t (x) = - 0,01 x^{3} + 0,25 x^{2} + 6$ beschrieben ( $x$ ist die Uhrzeit in Stunden und $t (x)$ die Temperatur in $^{\circ}$ C).

Wie groß ist die mittlere Tagestemperatur?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
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$A$	$=$	$(e - 1) + (- 1 + e)$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$e - 1 - 1 + e$
	$=$	$2 e - 2$

$A$	$=$	$(e - 1) + (- 1 + e)$
	$=$	$e - 1 - 1 + e$
	$=$	$2 \cdot e - 2$
	$=$	$2 \cdot (e - 1)$
	$\approx$	$3,4366$

$v$	$=$	$\frac{1}{6} \int_{0}^{6} (- 15 t^{2} + 90 t) d t$
	↓	Bilde die Stammfunktion.
	$=$	$\frac{1}{6} {[- \frac{15}{3} t^{3} + 45 t^{2}]}_{0}^{6}$
	↓	In die Klammer wird für t der obere Wert $6$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert $0$ gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{6} ((- \frac{15}{3} \cdot 6^{3} + 45 \cdot 6^{2}) - 0)$
	↓	Berechne die Klammer.
	$=$	$\frac{1}{6} (- 1080 + 1620)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{540}{6}$
	↓	Kürze.
	$=$	$90$

Aufgaben zu Integralen

Alternative Lösung

Fall $x \geq 0$

Fall $x < 0$

Gesamtfläche berechnen

Alternative Lösung

Fall $x \geq - 1$

Fall $x < - 1$

Gesamtfläche berechnen

Fall $t \geq 0$

Fall $t < 0$

Gesamtfläche berechnen

Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).

$\int_{0}^{x} t d t$	$=$	${[\frac{1}{2} t^{2}]}_{0}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} 0^{2}$
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2}$

$\int_{1}^{x} t d t$	$=$	${[\frac{1}{2} t^{2}]}_{1}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{x} (t^{2} - t - 1) d t$	$=$	${[\frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{2} t^{2} - t]}_{0}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x) - (\frac{1}{3} 0^{3} - \frac{1}{2} 0^{2} - 0)$
	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x$

$\int_{0}^{x} \sin t d t$	$=$	$[- \cos t]_{0}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(- \cos x) - (- \cos 0)$
	↓	$\cos 0 = 1$
	$=$	$- \cos x + 1$

$\int_{1054}^{x} t^{2} d t$	$=$	${[\frac{1}{3} t^{3}]}_{1054}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der rechte Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (1054) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot x^{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 1054^{3})$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x^{3} - \frac{1054^{3}}{3}$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x^{3} - \frac{1.170.905.464}{3}$

$\int_{1}^{2} \frac{1 + x}{x} d x$	$=$	$\int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + \frac{x}{x}) d x$
	↓	Bruch mit $x$ kürzen.
	$=$	$\int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + 1) d x$
	↓	Integrieren. Die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ ist $\ln x$ .
	$=$	${[\ln x + x]}_{1}^{2}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert 2 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
	$=$	$(\ln 2 + 2) - (\ln 1 + 1)$
	↓	$\ln 1 = 0$
	$=$	$\ln 2 + 2 - 1$
	$=$	$\ln 2 + 1$
	$\approx$	$1,6931$

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x} d x$	$=$	$\int_{1}^{e} (\frac{x^{2}}{2 x} + \frac{2 x}{2 x} + \frac{3}{2 x}) d x$
	$=$	$\int_{1}^{e} (\frac{1}{2} x + 1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}) d x$
	↓	Integriere. Die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ ist $\ln x$ .
	$=$	${[\frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + x + \frac{3}{2} \ln x]}_{1}^{e}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $(e)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{4} e^{2} + e + \frac{3}{2} \ln e) - (\frac{1}{4} 1^{2} + 1 + \frac{3}{2} \ln 1)$
	↓	Löse die Klammern auf. Dabei ist $\ln e = 1$ und $\ln 1 = 0$ .
	$=$	$\frac{e^{2}}{4} + e + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} - 1$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\frac{e^{2}}{4} + e + \frac{1}{4}$
	$\approx$	$4,8155$

$\int_{- 2}^{+ 2} v^{2} d v$	$=$	${[\frac{1}{3} \cdot v^{3}]}_{- 2}^{+ 2}$
	↓	In die Klammer wird für $v$ der obere Wert (+2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3})$
	↓	Klammern auflösen und Potenzen ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{8}{3} + \frac{8}{3}$
	↓	Brüche addieren.
	$=$	$\frac{16}{3}$

$\int_{2}^{3} t^{2} d t$	$=$	${[\frac{1}{3} t^{3}]}_{2}^{3}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3})$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\frac{27}{3} - \frac{8}{3}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\frac{19}{3}$

$\int_{2}^{3} x^{2} d x$	$=$	${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{2}^{3}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3})$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\frac{27}{3} - \frac{8}{3}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\frac{19}{3}$

$\int_{- 1}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$	$=$	${[x^{5} - x^{3} - 7 x]}_{- 1}^{1}$
	$=$	$[1^{5} - 1^{3} - 7 \cdot 1 - ({(- 1)}^{5} - {(- 1)}^{3} - 7 \cdot (- 1))]$
	$=$	$1 - 1 - 7 - (- 1 - (- 1) + 7)$
	$=$	$- 7 - (- 1 + 1 + 7)$
	$=$	$- 7 - 7$
	$=$	$- 14$

$\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x$	$=$	${[\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$
	↓	Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
	$=$	$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\frac{3}{6} - \frac{2}{6}$
	$=$	$\frac{1}{6}$

$\int_{0}^{2} x d x$	$=$	${[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{2}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}$
	$=$	$\frac{4}{2} - 0$
	$=$	$2$

$\int_{1}^{3} x d x$	$=$	${[\frac{x^{2}}{2}]}_{1}^{3}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}$
	↓	Zähler berechnen.
	$=$	$\frac{9}{2} - \frac{1}{2}$
	$=$	$\frac{8}{2}$
	$=$	$4$

$\int_{- 2}^{0} (- x) d x$	$=$	${[- \frac{x^{2}}{2}]}_{- 2}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$(- \frac{0^{2}}{2}) - (- \frac{(- 2)^{2}}{2})$
	$=$	$\frac{4}{2}$
	$=$	$2$

$\int_{0}^{1} (x^{2} + x) d x$	$=$	${[\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1^{3}}{3} + \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} + \frac{0^{2}}{2})$
	$=$	$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$
	↓	Hauptnenner (6) bilden und auf diesen erweitern.
	$=$	$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$
	$=$	$\frac{5}{6}$

$\int_{1}^{2} x^{2} d x$	$=$	${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{1}^{2}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$
	$=$	$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$
	$=$	$\frac{7}{3}$

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x$	$=$	${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{- 1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (-1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$
	↓	Potenzen berechen.
	$=$	$- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}$
	$=$	$\frac{7}{3}$

$\int_{- 2}^{2} x^{2} d x$	$=$	${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{2}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$
	↓	Potenzen berechen.
	$=$	$\frac{8}{3} + \frac{8}{3}$
	$=$	$\frac{16}{3}$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$	$=$	${[- \cos x]}_{0}^{\frac{π}{2}}$
	↓	In die Klammer wird für x der rechte Wert $(\frac{π}{2})$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (0) gerechnet.
	$=$	$- \cos \frac{π}{2} + \cos 0$
	↓	Kosinus im Bogenmaß berechnen.
	$=$	$0 + 1$
	$=$	$1$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x$	$=$	${[\sin x]}_{0}^{\frac{π}{2}}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $(\frac{π}{2})$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\sin \frac{π}{2} - \sin 0$
	↓	Kosinus im Bogenmaß berechnen.
	$=$	$1 + 0$
	$=$	$1$

Aufgaben zu Integralen

Alternative Lösung

Fall x≥0

Fall x<0

Gesamtfläche berechnen

Alternative Lösung

Fall x≥−1

Fall x<−1

Gesamtfläche berechnen

Fall t≥0

Fall t<0

Gesamtfläche berechnen

Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).

Fall $x \geq 0$

Fall $x < 0$

Fall $x \geq - 1$

Fall $x < - 1$

Fall $t \geq 0$

Fall $t < 0$

$\int_{732}^{2000} 1 dx$	$=$	${[x]}_{732}^{2000}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.
	$=$	$2000 - 732$
	$=$	$1268$

$\int_{1}^{2} (x^{2} + x) d x$	$=$	${[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{2}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$
	$=$	$\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$
	↓	Hauptnenner bilden.
	$=$	$\frac{8}{3} + \frac{6}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})$
	$=$	$\frac{14}{3} - \frac{5}{6}$
	↓	Hauptnenner bilden.
	$=$	$\frac{28}{6} - \frac{5}{6}$
	$=$	$\frac{23}{6}$

$\int_{- 1}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$	$=$	$2 \cdot \int_{0}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$
	$=$	$2 \cdot {[x^{5} - x^{3} - 7 x]}_{0}^{1}$
	↓	0 und 1 einsetzen
	$=$	$2 \cdot [1^{5} - 1^{3} - 7 \cdot 1 - (0^{5} - 0^{3} - 7 \cdot 0)]$
	$=$	$2 \cdot (1 - 1 - 7 - 0)$
	$=$	$2 \cdot (- 7)$
	$=$	$- 14$

$\int_{1}^{0} f (x) dx$	$>$	$0$
$- \int_{0}^{1} f (x) dx$	$>$	$0$	$: (- 1)$
	↓	Dividiere durch $(- 1)$ . Dadurch dreht sich das Größer-Zeichen um.
$\int_{0}^{1} f (x) d x$	$<$	$0$

$\int_{0}^{12} 6 - \frac{1}{24} x^{2} d x$	$=$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[6 x - \frac{1}{24 \cdot 3} x^{3}]}_{0}^{12}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (12) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(6 \cdot 12 - \frac{1}{72} \cdot 12^{3}) - (6 \cdot 0 - \frac{1}{72} \cdot 0^{3})$
	↓	Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
	$=$	$72 - \frac{1728}{72}$
	↓	Der Bruch lässt sich mit 72 kürzen.
	$=$	$72 - 24$
	$=$	$48$

$\int_{- 12}^{12} 6 - \frac{1}{24} x^{2} d x$	$=$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[6 x - \frac{1}{24 \cdot 3} x^{3}]}_{- 12}^{12}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (12) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-12) gerechnet.
	$=$	$(6 \cdot 12 - \frac{1}{72} \cdot 12^{3}) - (6 \cdot (- 12) - \frac{1}{72} \cdot {(- 12)}^{3})$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$72 - \frac{1728}{72} + 72 - \frac{1728}{72}$
	↓	Die Brüche mit 72 kürzen .
	$=$	$72 - 24 + 72 - 24$
	$=$	$96$

$\int_{0}^{12 \sqrt{3}} 6 - \frac{1}{24} x^{2} d x$	$=$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[6 x - \frac{1}{24 \cdot 3} x^{3}]}_{0}^{12 \sqrt{3}}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert ( $12 \sqrt{3}$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(6 \cdot 12 \cdot \sqrt{3} - \frac{{(12 \cdot \sqrt{3})}^{3}}{72}) - (6 \cdot 0 - \frac{1}{72} \cdot 0)$
	↓	Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
	$=$	$72 \cdot \sqrt{3} - \frac{5184 \cdot \sqrt{3}}{72}$
	↓	Der Bruch lässt sich mit 72 kürzen .
	$=$	$72 \cdot \sqrt{3} - 72 \cdot \sqrt{3} = 0$

$\int_{0}^{1} e^{x} d x$	$=$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[e^{x}]}_{0}^{1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $1$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert $0$ gerechnet.
	$=$	$e^{1} - e^{0}$
	$=$	$e - 1$

$\int_{- 1}^{0} e^{- x} d x$	$=$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[- e^{- x}]}_{- 1}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $0$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert $(- 1)$ gerechnet.
	$=$	$(- e^{- 0}) - (- e^{- (- 1)})$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$- e^{0} + e^{1}$
	$=$	$- 1 + e$

$\int_{- 2}^{0} e^{- \| x \|} d x$	$=$
	↓	Da $x$ immer negativ ( bzw. 0 ) ist, kann der Betrag durch ein minus ersetzt werden.
	$=$	$\int_{- 2}^{0} e^{- (- x)} d x$
	$=$	$\int_{- 2}^{0} e^{x} d x$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[e^{x}]}_{- 2}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert 0 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$e^{0} - e^{- 2}$
	$=$	$1 - \frac{1}{e^{2}}$
	$\approx$	$0,86467$