Mathe Funktionen Stammfunktion, Integral und Flächenberechnung Integrale Aufgaben zu Integralen

Aufgaben zu Integralen

Berechne.

$\int_{- 1}^{1} e^{| x |} d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren

$\int_{- 1}^{1} e^{| x |} d x$

Fallunterscheidung für $x \geq 0$ und $x < 0$

Für $x \geq 0$ ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.

Für $x < 0$ muss der Betrag durch ein Minuszeichen vor $x$ ersetzt werden, da $- x$ für negatives $x$ positiv wird.

Fall $x \geq 0$

$\int_{0}^{1} e^{x} d x$	$=$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[e^{x}]}_{0}^{1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $1$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert $0$ gerechnet.
	$=$	$e^{1} - e^{0}$
	$=$	$e - 1$

Fall $x < 0$

$\int_{- 1}^{0} e^{- x} d x$	$=$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[- e^{- x}]}_{- 1}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $0$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert $(- 1)$ gerechnet.
	$=$	$(- e^{- 0}) - (- e^{- (- 1)})$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$- e^{0} + e^{1}$
	$=$	$- 1 + e$

Gesamtfläche berechnen

$A$	$=$	$(e - 1) + (- 1 + e)$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$e - 1 - 1 + e$
	$=$	$2 e - 2$

Alternative Lösung

Du kannst hier ausnutzen, dass die Funktion achsensymmetrisch ist. Damit ist der Flächeninhalt, der zwischen $- 1$ und $0$ eingeschlossen ist, genauso groß wie der Flächeninhalt, der zwischen $0$ und $1$ eingeschlossen ist (siehe Abbildung rechts).

Graph Funktion achsensymmetrisch Integration

$\Rightarrow$ $\int_{- 1}^{1} e^{| x |} d x = 2 \cdot \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Gleiche Rechnung wie oben.

$= 2 \cdot {[e^{x}]}_{0}^{1} = 2 \cdot [e^{1} - e^{0}]$ $= 2 \cdot (e - 1) = 2 e - 2$

$\int_{- 2}^{0} e^{- | x |} d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren

$\int_{- 2}^{0} e^{- \| x \|} d x$	$=$
	↓	Da $x$ immer negativ ( bzw. 0 ) ist, kann der Betrag durch ein minus ersetzt werden.
	$=$	$\int_{- 2}^{0} e^{- (- x)} d x$
	$=$	$\int_{- 2}^{0} e^{x} d x$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[e^{x}]}_{- 2}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert 0 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$e^{0} - e^{- 2}$
	$=$	$1 - \frac{1}{e^{2}}$
	$\approx$	$0,86467$

$\int_{- 2}^{0} e^{| x + 1 |} d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren

$\int_{- 2}^{0} e^{| x + 1 |} d x$

Fallunterscheidung für $x \geq - 1$ und $x < - 1$

Für $x \geq - 1$ ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.

Für $x < - 1$ ist der Betrag immer negativ und kann durch ein Minus ersetzt werden.

Fall $x \geq - 1$

$\int_{- 1}^{0} e^{x + 1} d x$	$=$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[e^{x + 1}]}_{- 1}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $0$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert $- 1$ gerechnet.
	$=$	$e^{1} - e^{0}$
	$=$	$e - 1$

Fall $x < - 1$

$\int_{- 2}^{- 1} e^{- (x + 1)} d x$	$=$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\int_{- 2}^{- 1} e^{- x - 1} d x$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[- e^{- x - 1}]}_{- 2}^{- 1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $- 1$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert $- 2$ gerechnet.
	$=$	$(- e^{- (- 1) - 1}) - (- e^{- (- 2) - 1})$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$- e^{0} + e^{1}$
	$=$	$- 1 + e$

Gesamtfläche berechnen

$A$	$=$	$(e - 1) + (- 1 + e)$
	$=$	$e - 1 - 1 + e$
	$=$	$2 \cdot e - 2$
	$=$	$2 \cdot (e - 1)$
	$\approx$	$3,4366$

$\int_{- 7}^{7} \frac{| t |}{t} e^{| t |} d t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren

$\int_{- 7}^{7} \frac{| t |}{t} e^{| t |} d t$

Fallunterscheidung für $t \geq 0$ und $t < 0$ .

Für $t \geq 0$ ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.

Für $t < 0$ ist der Betrag immer negativ und kann durch ein Minus ersetzt werden.

Fall $t \geq 0$

$\int_{0}^{7} \frac{t}{t} e^{t} d t$	$=$
	↓	Mit t kürzen.
	$=$	$\int_{0}^{7} e^{t} d t$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[e^{t}]}_{0}^{7}$
	↓	In die Klammer wird für tt der obere Wert (7) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$e^{7} - e^{0}$
	$=$	$e^{7} - 1$

Fall $t < 0$

$\int_{- 7}^{0} \frac{- t}{t} e^{- t} d t$	$=$
	↓	Mit t kürzen.
	$=$	$\int_{- 7}^{0} - e^{- t} d t$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[e^{- t}]}_{- 7}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-7) gerechnet.
	$=$	$e^{0} - e^{- (- 7)}$
	$=$	$1 - e^{7}$

Gesamtfläche berechnen

$A$	$=$	$(e^{7} - 1) + (1 - e^{7})$
	$=$	$e^{7} - 1 + 1 - e^{7}$
	$=$	$0$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Aufgaben zu Integralen

Fall x≥0

Fall x<0

Gesamtfläche berechnen

Alternative Lösung

Fall x≥−1

Fall x<−1

Gesamtfläche berechnen

Fall t≥0

Fall t<0

Gesamtfläche berechnen

Fall $x \geq 0$

Fall $x < 0$

Fall $x \geq - 1$

Fall $x < - 1$

Fall $t \geq 0$

Fall $t < 0$