Aufgaben zu Integralen

Für Integrale gilt: $${\displaystyle {\int }_a^{a}f(x)\mathrm{d}x=0}$$.

Daher hat jede Integralfunktion $${\displaystyle F(x)={\int }_a^{x}f(x)\mathrm{d}x}$$ die Nullstelle $x=a$ und damit mindestens eine Nullstelle.

Lösung 1: Für unendlich viele Nullstellen muss die Fläche unter dem Funktionsgraphen immer wechselnd unter und über der x-Achse liegen. Für eine solche Funktion bietet sich der $\sin (x)$ an. Aufgrund der Periodizität des Sinus ist dann für alle $2\pi k,k=1;2;3;\dots$ die Integralfunktion null.

Lösung 2: Eine einfache Lösung gibt es für $f=0$. Dann folgt nämlich, dass die Integralfunktion $F$ ebenfalls konstant gleich Null ist. Insbesondere hat $F$ in diesem Fall unendlich viele Nullstellen.