Aufgaben zu Integralen

Berechne

$\int_{0}^{x} t d t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{0}^{x} t d t$ $=$ ${[\frac{1}{2} t^{2}]}_{0}^{x}$
↓
In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} 0^{2}$
$=$ $\frac{1}{2} x^{2}$
$\int_{1}^{x} t d t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{1}^{x} t d t$ $=$ ${[\frac{1}{2} t^{2}]}_{1}^{x}$
↓
In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{x} (t^{2} - t - 1) d t$

$\int_{0}^{x} \sin t d t$

$\int_{1054}^{x} t^{2} d t$

$\int_{1}^{2} \frac{1 + x}{x} d x$

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x} d x$

$\int_{- 2}^{+ 2} v^{2} d v$

$\int_{2}^{3} t^{2} d t$

$\int_{2}^{3} x^{2} d x$

$\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x$

$\int_{0}^{2} x d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{0}^{2} x d x$ $=$ ${[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{2}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
$=$ $\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}$
$=$ $\frac{4}{2} - 0$
$=$ $2$
$\int_{1}^{3} x d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{1}^{3} x d x$ $=$ ${[\frac{x^{2}}{2}]}_{1}^{3}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
$=$ $\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}$
↓
Zähler berechnen.
$=$ $\frac{9}{2} - \frac{1}{2}$
$=$ $\frac{8}{2}$
$=$ $4$
$\int_{- 2}^{0} (- x) d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{- 2}^{0} (- x) d x$ $=$ ${[- \frac{x^{2}}{2}]}_{- 2}^{0}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
$=$ $(- \frac{0^{2}}{2}) - (- \frac{(- 2)^{2}}{2})$
$=$ $\frac{4}{2}$
$=$ $2$

$\int_{0}^{1} (x^{2} + x) d x$

$\int_{1}^{2} x^{2} d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{1}^{2} x^{2} d x$ $=$ ${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{1}^{2}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$
$=$ $\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$
$=$ $\frac{7}{3}$

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x$

$\int_{- 2}^{2} x^{2} d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{- 2}^{2} x^{2} d x$ $=$ ${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{2}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$
↓
Potenzen berechen.
$=$ $\frac{8}{3} + \frac{8}{3}$
$=$ $\frac{16}{3}$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x$

$\int_{732}^{2000} 1 d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{732}^{2000} 1 dx$ $=$ ${[x]}_{732}^{2000}$
↓
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.
$=$ $2000 - 732$
$=$ $1268$

$\int_{1}^{2} (x^{2} + x) d x$

$\int_{0}^{2} (x^{2} + x) d x$

$\int_{- 1}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
$\int_{- 1}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$ $=$ ${[x^{5} - x^{3} - 7 x]}_{- 1}^{1}$
$=$ $[1^{5} - 1^{3} - 7 \cdot 1 - ({(- 1)}^{5} - {(- 1)}^{3} - 7 \cdot (- 1))]$
$=$ $1 - 1 - 7 - (- 1 - (- 1) + 7)$
$=$ $- 7 - (- 1 + 1 + 7)$
$=$ $- 7 - 7$
$=$ $- 14$
Alternative Lösung
$f (x)$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da $f (x) = f (- x)$ :
$f (- x) = 5 \cdot {(- x)}^{4} - 3 {(- x)}^{2} - 7 = 5 x^{4} - 3 x^{2} - 7 = f (x)$ , weil der Exponent eine gerade Zahl ist
$\Rightarrow$ Das Integral lässt sich in zwei gleich große Teile aufteilen, zwischen -1 und 0 und zwischen 0 und 1
$\int_{- 1}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$ $=$ $2 \cdot \int_{0}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$
$=$ $2 \cdot {[x^{5} - x^{3} - 7 x]}_{0}^{1}$
↓
0 und 1 einsetzen
$=$ $2 \cdot [1^{5} - 1^{3} - 7 \cdot 1 - (0^{5} - 0^{3} - 7 \cdot 0)]$
$=$ $2 \cdot (1 - 1 - 7 - 0)$
$=$ $2 \cdot (- 7)$
$=$ $- 14$

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$\int_{1}^{2} \frac{1 + x}{x} d x$	$=$	$\int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + \frac{x}{x}) d x$
	↓	Bruch mit $x$ kürzen.
	$=$	$\int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + 1) d x$
	↓	Integrieren. Die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ ist $\ln x$ .
	$=$	${[\ln x + x]}_{1}^{2}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert 2 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
	$=$	$(\ln 2 + 2) - (\ln 1 + 1)$
	↓	$\ln 1 = 0$
	$=$	$\ln 2 + 2 - 1$
	$=$	$\ln 2 + 1$
	$\approx$	$1,6931$

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x} d x$	$=$	$\int_{1}^{e} (\frac{x^{2}}{2 x} + \frac{2 x}{2 x} + \frac{3}{2 x}) d x$
	$=$	$\int_{1}^{e} (\frac{1}{2} x + 1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}) d x$
	↓	Integriere. Die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ ist $\ln x$ .
	$=$	${[\frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + x + \frac{3}{2} \ln x]}_{1}^{e}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $(e)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{4} e^{2} + e + \frac{3}{2} \ln e) - (\frac{1}{4} 1^{2} + 1 + \frac{3}{2} \ln 1)$
	↓	Löse die Klammern auf. Dabei ist $\ln e = 1$ und $\ln 1 = 0$ .
	$=$	$\frac{e^{2}}{4} + e + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} - 1$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\frac{e^{2}}{4} + e + \frac{1}{4}$
	$\approx$	$4,8155$

$\int_{0}^{x} t d t$	$=$	${[\frac{1}{2} t^{2}]}_{0}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} 0^{2}$
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2}$

$\int_{1}^{x} t d t$	$=$	${[\frac{1}{2} t^{2}]}_{1}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{x} (t^{2} - t - 1) d t$	$=$	${[\frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{2} t^{2} - t]}_{0}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x) - (\frac{1}{3} 0^{3} - \frac{1}{2} 0^{2} - 0)$
	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x$

$\int_{0}^{x} \sin t d t$	$=$	$[- \cos t]_{0}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(- \cos x) - (- \cos 0)$
	↓	$\cos 0 = 1$
	$=$	$- \cos x + 1$

$\int_{1054}^{x} t^{2} d t$	$=$	${[\frac{1}{3} t^{3}]}_{1054}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der rechte Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (1054) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot x^{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 1054^{3})$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x^{3} - \frac{1054^{3}}{3}$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x^{3} - \frac{1.170.905.464}{3}$

$\int_{- 2}^{+ 2} v^{2} d v$	$=$	${[\frac{1}{3} \cdot v^{3}]}_{- 2}^{+ 2}$
	↓	In die Klammer wird für $v$ der obere Wert (+2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3})$
	↓	Klammern auflösen und Potenzen ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{8}{3} + \frac{8}{3}$
	↓	Brüche addieren.
	$=$	$\frac{16}{3}$

$\int_{2}^{3} t^{2} d t$	$=$	${[\frac{1}{3} t^{3}]}_{2}^{3}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3})$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\frac{27}{3} - \frac{8}{3}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\frac{19}{3}$

$\int_{2}^{3} x^{2} d x$	$=$	${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{2}^{3}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3})$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\frac{27}{3} - \frac{8}{3}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\frac{19}{3}$

$\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x$	$=$	${[\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$
	↓	Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
	$=$	$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\frac{3}{6} - \frac{2}{6}$
	$=$	$\frac{1}{6}$

$\int_{0}^{2} x d x$	$=$	${[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{2}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}$
	$=$	$\frac{4}{2} - 0$
	$=$	$2$

$\int_{- 1}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$	$=$	${[x^{5} - x^{3} - 7 x]}_{- 1}^{1}$
	$=$	$[1^{5} - 1^{3} - 7 \cdot 1 - ({(- 1)}^{5} - {(- 1)}^{3} - 7 \cdot (- 1))]$
	$=$	$1 - 1 - 7 - (- 1 - (- 1) + 7)$
	$=$	$- 7 - (- 1 + 1 + 7)$
	$=$	$- 7 - 7$
	$=$	$- 14$

$\int_{1}^{3} x d x$	$=$	${[\frac{x^{2}}{2}]}_{1}^{3}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}$
	↓	Zähler berechnen.
	$=$	$\frac{9}{2} - \frac{1}{2}$
	$=$	$\frac{8}{2}$
	$=$	$4$

$\int_{- 2}^{0} (- x) d x$	$=$	${[- \frac{x^{2}}{2}]}_{- 2}^{0}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$(- \frac{0^{2}}{2}) - (- \frac{(- 2)^{2}}{2})$
	$=$	$\frac{4}{2}$
	$=$	$2$

$\int_{0}^{1} (x^{2} + x) d x$	$=$	${[\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1^{3}}{3} + \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} + \frac{0^{2}}{2})$
	$=$	$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$
	↓	Hauptnenner (6) bilden und auf diesen erweitern.
	$=$	$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$
	$=$	$\frac{5}{6}$

$\int_{1}^{2} x^{2} d x$	$=$	${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{1}^{2}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$
	$=$	$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$
	$=$	$\frac{7}{3}$

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x$	$=$	${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{- 1}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (-1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$
	↓	Potenzen berechen.
	$=$	$- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}$
	$=$	$\frac{7}{3}$

$\int_{- 2}^{2} x^{2} d x$	$=$	${[\frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{2}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3}$
	↓	Potenzen berechen.
	$=$	$\frac{8}{3} + \frac{8}{3}$
	$=$	$\frac{16}{3}$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$	$=$	${[- \cos x]}_{0}^{\frac{π}{2}}$
	↓	In die Klammer wird für x der rechte Wert $(\frac{π}{2})$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (0) gerechnet.
	$=$	$- \cos \frac{π}{2} + \cos 0$
	↓	Kosinus im Bogenmaß berechnen.
	$=$	$0 + 1$
	$=$	$1$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x$	$=$	${[\sin x]}_{0}^{\frac{π}{2}}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $(\frac{π}{2})$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\sin \frac{π}{2} - \sin 0$
	↓	Kosinus im Bogenmaß berechnen.
	$=$	$1 + 0$
	$=$	$1$

$\int_{732}^{2000} 1 dx$	$=$	${[x]}_{732}^{2000}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.
	$=$	$2000 - 732$
	$=$	$1268$

$\int_{1}^{2} (x^{2} + x) d x$	$=$	${[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{2}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$
	$=$	$\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$
	↓	Hauptnenner bilden.
	$=$	$\frac{8}{3} + \frac{6}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})$
	$=$	$\frac{14}{3} - \frac{5}{6}$
	↓	Hauptnenner bilden.
	$=$	$\frac{28}{6} - \frac{5}{6}$
	$=$	$\frac{23}{6}$

Aufgaben zu Integralen

Alternative Lösung

$\int_{- 1}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$	$=$	$2 \cdot \int_{0}^{1} (5 x^{4} - 3 x^{2} - 7) d x$
	$=$	$2 \cdot {[x^{5} - x^{3} - 7 x]}_{0}^{1}$
	↓	0 und 1 einsetzen
	$=$	$2 \cdot [1^{5} - 1^{3} - 7 \cdot 1 - (0^{5} - 0^{3} - 7 \cdot 0)]$
	$=$	$2 \cdot (1 - 1 - 7 - 0)$
	$=$	$2 \cdot (- 7)$
	$=$	$- 14$