Aufgaben zu Integralen

Im Bereich $x=0$ bis $x=1$ hat die Funktion $f(x)=x^3$ keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.

$f(x)=x^3$ , $a=0$ , $b=1$

Integral aufstellen.

${\int }_0^1{x}^3\mathrm{d}x={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^1$

In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.

$=\left(\frac{1^4}{4}\right)-\left(\frac{0^4}{4}\right)$

Zähler berechnen.

$=\frac{1}{4}$

Die Fläche zwischen der $x$-Achse und $G_f$ beträgt $A={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{FE}$.

Im Bereich $x=1$ bis $x=2$ ist die Funktion $f(x)=x^3$ positiv und hat keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.

$f(x)=x^3$ , $a=1$ , $b=2$

Integral aufstellen.

${\int }_1^2{x}^3\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{4}{x}^4\right]}_1^2$

Integrieren.

In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.

$=\frac{1}{4}{2}^4-\frac{1}{4}{1}^4$

Potenzen berechen.

$=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}$

$=\frac{15}{4}=\mathrm{3,75}$

Die Fläche zwischen der x-Achse und $G_f\text{}$ beträgt $A=\mathrm{3,75}\text{FE}$.

Im Bereich $x=-1$ bis $x=0$ hat die Funktion $f(x)=-x^2+x$ nur die Nullstelle $x=0$.

Für die linke Integralgrenze gilt: $f(-1)=-2$. Die gesuchte Fläche liegt somit unterhalb der x-Achse.

$f(x)=-x^2+x$ , $a=-1$ , $b=0$

Integral aufstellen und integrieren:

$${\displaystyle {\int }_{-1}^0-x^2+x\mathrm{d}x={[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2]}_{-1}^0}$$

In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-1) gerechnet.

$=(-\frac{1}{3}\cdot 0^3+\frac{1}{2}\cdot 0^2)-(-\frac{1}{3}\cdot {(-1)}^3+\frac{1}{2}\cdot {(-1)}^2)$

Die erste Klammer ist gleich $"0"$ diese bleibt und auch das Vorzeichen ( - ) vor der zweiten Klammer.

$=0-(\frac{1}{3}+\frac{1}{2})$

Hauptnenner (6) bilden und beide Brüche auf diesen erweitern.

$=0-(\frac{2}{6}+\frac{3}{6})=-\frac{5}{6}$

Die Fläche zwischen der x-Achse und $G_f\text{}$ beträgt $A=|-\frac{5}{6}|=\frac{5}{6}\text{FE}$.