Aufgaben zu Geradenscharen

Mit diesen gemischten Aufgaben, lernst du mit Parametern zu arbeiten und entdeckst interessante Eigenschaften von Geradenscharen!

1
Bestimme jeweils den gefragten Repräsentanten
$k_{a} (x) = 2 a x + 4$ , Bestimme den Term von $k_{2}$
$k_{2} (x) = 4 x + 4$
$k_{2} (x) = - 4 x + 4$
$k_{2} (x) = 2 x + 4$
$k_{a} (2) = 4 a + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
Ersetze überall in der Funktionsgleichung a durch 2 und verrechne soweit wie möglich:
$k_{2} (x) = 2 \cdot 2 \cdot x + 4 = 4 x + 4$
Setze den gewünschten Parameterwert in den Term der Funktion ein.

$h_{i} (x) = 2 - i + i^{2} x,$ Bestimme den Term von $h_{- 2} $
$h_{- 2} (x) = 4 + 4 x$
$h_{- 2} (x) = 4 x$
$h_{- 2} (x) = - 4 x$
$h_{- 2} (x) = 4 - 2 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
Ersetze überall in der Funktionsgleichung i durch -2 und verrechne soweit wie möglich:
$h_{- 2} (x) = 2 - (- 2) + {(- 2)}^{2} x = 4 + 4 x$
Setze den gewünschten Parameterwert in den Term der Funktion ein.

$f_{a; b} (x) = (a + b) x + 2 a + b$ , Bestimme $f_{3; - 3}$
$f_{3; - 3} (x) = 9$
$f_{3; - 3} (x) = 6 x + 3$
$f_{3; - 3} (x) = 3$
$f_{3; - 3} (x) = 3 x + 9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
Ersetze überall in der Funktionsgleichung a durch 3 und b durch -3 und verrechne soweit wie möglich:
$f_{3; - 3} (x) = (3 - 3) x + 2 \cdot 3 + (- 3) = 3$
Setze den gewünschten Parameterwert in den Term der Funktion ein.
2
Gib für die Geradenscharen jeweils die Steigung und den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit vom Parameter an.
Entscheide anschließend, ob es sich um eine Parallelenschar handelt und für welche Parameterwerte die Graphen der zugehörigen Repräsentanten steigen, fallen oder waagerecht sind.
$f_{a} (x) = - 2 a x + 1, a \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Die Steigung ist $m = - 2 a$ (dieser Teil des Terms wird mit x multipliziert)
Der y-Achsenabschnitt ist $t = 1$ (dieser Teil des Terms steht ohne x)
Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.
Da die Steigung vom Parameter a abhängig ist, ist sie nicht für alle Repräsentanten gleich und es handelt sich nicht um eine Parallelenschar.
Für $a = 0$ ist die Steigung $m = - 2 \cdot 0 = 0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)
Für $a < 0$ ist die Steigung $m = - 2 a$ positiv, denn das Produkt aus zwei negativen Zahlen ist eine positive Zahl. Die Gerade steigt.
Für $a > 0$ ist die Steigung $m = - 2 a$ negativ und die Gerade fällt.
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .

$f_{b} (x) = b - \frac{1}{2} x + 2, b \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
$f_{b} (x) = - \frac{1}{2} x + b + 2$
Die Steigung ist $m = - \frac{1}{2}$ , der y-Achsenabschnitt ist $t = b + 2$
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung $m = - \frac{1}{2}$ unabhängig vom Parameter b ist, sind alle Geraden der Schar parallel.
Die Geraden der Parallelenschar sind monoton fallend.
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .

$f_{c} (x) = 4 c x - 5 c - 2 x + 1, c \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
$f_{c} (x) = 4 c x - 2 x - 5 c + 1 = (4 c - 2) x - 5 c + 1$
Die Steigung ist $m = 4 c - 2$ , der y-Achsenabschnitt ist $t = - 5 c + 1$
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung $m = 4 c - 2$ abhängig vom Parameter c ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Bestimme, wann die Steigung $m = 0$ ist, um daraus die drei Fälle für die Fallunterscheidung zu ermitteln.
$0$ $=$ $4 c - 2$ $+ 2$
$2$ $=$ $4 c$ $: 4$
$\frac{1}{2}$ $=$ $c$
Für $c = \frac{1}{2}$ ist $m = 0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)
Für $c > \frac{1}{2}$ ist die Steigung $m = 4 c - 2$ positiv und die Gerade steigt monoton.
Für $c < \frac{1}{2}$ ist die Steigung $m = 4 c - 2$ negativ und die Gerade fällt monoton.
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .

$f_{d} (x) = (\frac{1}{3} x - 4) \cdot d^{2} + d, d \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
$f_{d} (x) = \frac{1}{3} d^{2} x - 4 d^{2} + d$
Die Steigung lautet $m = \frac{1}{3} d^{2}$ , der y-Achsenabschnitt ist $t = 4 d^{2} + d$
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung $m = \frac{1}{3} d^{2}$ abhängig vom Parameter d ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Für $d = 0$ ist die Steigung $m = 0$ und die zugehörige Gerade ist waagerecht. Sie ist nicht nur parallel zur x-Achse, sie liegt auf der x-Achse, da $f_{0} (x) = 0$ .
Da $d^{2} > 0$ für alle $d \in ℝ \ {0}$ , ist $m = \frac{1}{3} d^{2} > 0$ für alle übrigen Parameterwerte. Die zugehörigen Geraden sind also alle monoton steigend.
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .
3
Gegeben ist die Geradenschar $f_{a} (x) = (a - 3) x + 2,5 a$ .
Bestimme jeweils den Repräsentanten, der durch den angegebenen Punkt verläuft. Gib in das Eingabefeld den zugehörigen Parameterwert a ein.
A(2|-3)

$f_{a} (x)$ $=$ $(a - 3) x + 2,5 a$
↓
Setze A ein
$- 3$ $=$ $(a - 3) \cdot 2 + 2,5 a$
↓
Fasse den Term rechts zusammen
$- 3$ $=$ $2 a - 6 + 2,5 a$
$- 3$ $=$ $4,5 a - 6$ $+ 6$
$3$ $=$ $4,5 a$ $: 4,5$
$\frac{2}{3}$ $=$ $a$
Term des gesuchten Repräsentanten:
$f_{\frac{2}{3}} (x) = - \frac{7}{3} x + \frac{5}{3}$
Setze den Punkt in den Term der Geradenschar ein und löse nach a auf.

B(-0,5|4,5)

$f_{a} (x)$ $=$ $(a - 3) x + 2,5 a$
↓
Setze B ein
$4,5$ $=$ $(a - 3) \cdot (- 0,5) + 2,5 a$
$4,5$ $=$ $- 0,5 a + 1,5 + 2,5 a$
$4,5$ $=$ $2 a + 1,5$ $- 1,5$
$3$ $=$ $2 a$ $: 2$
$1,5$ $=$ $a$
Term des zugehörigen Repräsentanten:
$f_{1,5} (x) = - 1,5 x + 3,75$
Setze den Punkt in den Term der Geradenschar ein und löse nach a auf.

Der Repräsentant hat eine Nullstelle bei $x = - 3,75$

$f_{a} (x)$ $=$ $(a - 3) x + 2,5 a$
$0$ $=$ $(a - 3) \cdot (- 3,75) + 2,5 a$
$0$ $=$ $- 3,75 a + 11,25 + 2,5 a$
$0$ $=$ $- 1,25 a + 11,25$ $- 11,25$
$- 11,25$ $=$ $- 1,25 a$ $: (- 1,25)$
$9$ $=$ $a$
Zugehöriger Repräsentant:
$f_{9} (x) = 6 x + 22,5$
Setze die Nullstelle N(-3,75|0) in den Term der Geradenschar ein und löse nach a auf.
4
Du sollst prüfen, ob eine Geradenschar einen Büschelpunkt hat. Wähle alle Schritte aus, die du dazu tätigen musst.
zwei Repräsentanten bestimmen
Nullstellen der Repräsentanten bestimmen
Nullstellen der Geradenschar in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen
y-Achsenabschnitt ablesen
x-Koordinate des Schnittpunktes der Repräsentanten bestimmen
x-Koordinate aus einem vorherigem Schritt in den Term der Geradenschar einsetzen
x-Koordinate aus einem vorherigen Schritt in beide Repräsentanten einsetzen
Prüfen, ob nach dem Einsetzen einer x-Koordinate ein Ergebnis herauskommt, das unabhängig vom Parameter ist
Koordinaten des Büschelpunktes angeben, falls vorhanden

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Um einen Büschelpunkt nachzuweisen, musst du folgende Schritte nacheinander ausführen:
zwei Repräsentanten aus der Schar aussuchen (möglichst einfache)
Repräsentanten gleichsetzen und x-Koordinate des Schnittpunktes bestimmen
x-Koordinate in Geradenschar einsetzen
Falls Ergebnis unabhängig vom Parameter: Büschelpunkt vorhanden, sonst nicht
Falls Büschelpunkt vorhanden: Koordinaten des Büschelpunktes angeben (x-Wert aus Schnittpunktbestimmung, y-Wert aus Einsetzen in Geradenschar)
5
Gib eine Geradenschar an, die den gefragten Büschelpunkt und die gefragte Steigung besitzt.
Forme so um, dass der y-Achsenabschnitt ablesbar ist.
B(0|0) und $m = a$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term des Geradenbüschels über Büschelpunkt aufstellen
Einsetzen in Punkt-Steigungs-Form:
$f_{a} (x) = a (x - 0) + 0 = a x$
Der y-Achsenabschnitt ist $t = 0$
Setze die gegebenen Angaben in die Punkt-Steigungs-Form einer Gerade ein.

B(-4|2) und $m = 4 b + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term des Geradenbüschels über Büschelpunkt aufstellen
$f_{b} (x)$ $=$ $(4 b + 1) (x + 4) + 2$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$=$ $4 b x + x + 16 b + 4 + 2$
↓
Fasse zusammen
$=$ $(4 b + 1) x + 16 b + 2$
Der y-Achsenabschnitt ist $t = 16 b + 2$
Setze die gegebenen Angaben in die Punkt-Steigungs-Form einer Gerade ein.
6
Stelle die Geradenschar auf die durch die angegebenen Punkte festgelegt ist. Forme den Term so um, dass Steigung und y-Achsenabschnitt erkennbar sind.
A(r|2) B(4r|-4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Steigung berechnen
Setze A und B ein, um die Steigung zu berechnen:
$m$ $=$ $\frac{Δ y}{Δ x}$
$m$ $=$ $\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$
↓
Setze die Werte von A und B ein
$m$ $=$ $\frac{- 4 - 2}{4 r - r}$
$m$ $=$ $- \frac{6}{3 r}$
$m$ $=$ $- \frac{2}{r}$
y-Achsenabschnitt berechnen
Setze m und einen Punkt in den allgemeinen Funktionsterm ein:
$f_{r} (x)$ $=$ $m x + t$
↓
Setze m und A ein
$2$ $=$ $- \frac{2}{r} \cdot r + t$
$2$ $=$ $- 2 + t$ $+ 2$
$4$ $=$ $t$
Fertigen Funktionsterm angeben
Setze m und t in den allgemeinen Funktionsterm ein:
$f_{r} (x) = - \frac{2}{r} x + 4$
Gehe so vor, wie du ohne Parameter vorgegangen wärst

P(2a|a+1) und Q(a+1|2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Steigung berechnen
Setze P und Q ein, um die Steigung zu berechnen:
$m$ $=$ $\frac{Δ y}{Δ x}$
$m$ $=$ $\frac{y_{P} - y_{Q}}{x_{P} - x_{Q}}$
↓
Setze P und Q ein
$m$ $=$ $\frac{a + 1 - 2}{2 a - (a + 1)}$
$m$ $=$ $\frac{a - 1}{a - 1}$
$m$ $=$ $1$
y-Achsenabschnitt berechnen
Setze m und einen Punkt in den allgemeinen Funktionsterm ein:
$f_{a} (x)$ $=$ $m x + t$
↓
Setze m und Q ein
$2$ $=$ $1 \cdot (a + 1) + t$ $- a - 1$
$1 - a$ $=$ $t$
fertigen Funktionsterm angeben
Setze m und t in den allgemeinen Funktionsterm ein:
$f_{a} (x) = x + 1 - a$
Gehe so vor, wie du ohne Parameter vorgegangen wärst

Bestimme die Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter.

$f_{a} (x) = 2 x + 4 a - 2$ wobei $a, x \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich.
↓
$f_{a} (x)$ $=$ $0$
$2 x + 4 a - 2$ $=$ $0$ $- 4 a + 2$
$2 x$ $=$ $2 - 4 a$ $: 2$
$x$ $=$ $1 - 2 a$
Für a können alle Zahlen eingesetzt werden, der Term kann immer ausgewertet werden. Es ist also keine Fallunterscheidung nötig.
Für $a \in ℝ$ gibt es eine Nullstelle $x = 1 - 2 a$
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
$f_{b} (x) = 2 b x - b$ wobei $b, x \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich
↓
$f_{b} (x)$ $=$ $0$
$2 b x - b$ $=$ $0$ $+ b$
$2 b x$ $=$ $b$ $: 2 b$
$x$ $=$ $\frac{b}{2 b}$
Obwohl man auf den ersten Blick das b im Bruch wegkürzen kann, da es in Zähler und Nenner vorkommt, solltest du den Fall $b = 0$ zunächst genauer unter die Lupe nehmen, denn es gilt weiterhin: Es darf nicht durch 0 geteilt werden.
Fall $b = 0$ : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_{0} (x) = 2 \cdot 0 \cdot x - 0 = 0$ liegt auf der x-Achse. Es gibt also unendlich viele Nullstellen.
Fall $b \neq 0$ : Die jeweiligen Repräsentanten haben alle eine Nullstelle, nämlich $x = \frac{b}{2 b} = \frac{1}{2}$ .
Der konstante Wert der Nullstelle für $b \neq 0$ bedeutet, dass dort der Büschelpunkt der Geraden liegt. Dies kann man überprüfen, indem man $x = \frac{1}{2}$ in die Geradenschar einsetzt:
$f_{b} (\frac{1}{2}) = 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2} - b = b - b = 0$ .
Da $f_{b} (\frac{1}{2})$ ebenfalls unabhängig von b ist, ist $B (\frac{1}{2} | 0)$ gleichzeitig Büschelpunkt und Nullstelle.
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.

$f_{c} (x) = - c x + c + 4 x + 2$ wobei $c, x \in ℝ$

$f_{d} (x) = (d^{2} + 1) x + 4$ wobei $d, x \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich
↓
$f_{d} (x)$ $=$ $0$
$(d^{2} + 1) x + 4$ $=$ $0$ $- 4$
$(d^{2} + 1) x$ $=$ $- 4$ $: (d^{2} + 1)$
$x$ $=$ $- \frac{4}{d^{2} + 1}$
Da der Parameter im Nenner vorkommt, musst du prüfen, ob der Nenner für Parameterwerte den Wert 0 annimmt, denn man darf nicht durch 0 teilen.
$d^{2} + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$d^{2}$ $=$ $- 1$
Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Deshalb ist der Nenner nie 0.
Du hättest die alternativ auch überlegen können, wie die Funktion $h (d) = d^{2} + 1$ aussieht. Es handelt sich um eine Normalparabel, die um 1 nach oben geschoben wurde. Sie hat keine Nullstellen, weshalb $d^{2} + 1 = 0$ auch keine Lösungen hat.
Für alle $d \in ℝ$ haben die zugehörigen Repräsentanten also die Nullstelle $x = - \frac{4}{d^{2} + 1}$ .
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
$f_{m, n} (x) = (m - 2 n) x + m - n$ wobei $m, n, x \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich
↓
$f_{m, n} (x)$ $=$ $0$
$(m - 2 n) x + m - n$ $=$ $0$ $- m + n$
$(m - 2 n) x$ $=$ $n - m$ $: (m - 2 n)$
$x$ $=$ $\frac{n - m}{m - 2 n}$
Unabhängig von der Anzahl der Parameter musst du prüfen, wann der Nenner den Wert 0 annimmt, denn du darfst nicht durch 0 teilen.
$m - 2 n$ $=$ $0$ $+ 2 n$
$m$ $=$ $2 n$
Wenn m das Doppelte von n ist, wird der Nenner 0. Es gibt unendlich viele Zahlenpaare, für die das gilt. Zum Beispiel $m = 2, n = 1$ oder $m = - 30, n = - 15$ .
Die Menge der Repräsentanten, die diese Beziehung erfüllen kannst du angeben durch
$f_{2 n, n} (x) = (2 n - 2 n) x + 2 n - n = n$
Fall $m = 2 n \neq 0$ : Die Graphen der zugehörigen Repräsentanten $f_{2 n, n} (x) = n$ sind parallel zur x-Achse, da $n \in ℝ \ {0}$ den y-Achsenabschnitt angibt und die Steigung 0 ist. Es gibt keine Nullstellen.
Fall $m = 2 n = 0$ : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_{0,0} (x) = 0$ liegt auf der x-Achse und es gibt unendlich viele Nullstellen.
sonst: Für alle anderen Kombinationen haben die Repräsentanten jeweils eine Nullstelle bei $x = \frac{n - m}{m - 2 n}$
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.

$f_{k} (x) = k^{2} x + 4 k x + 4 x - 1$ wobei $k, x \in ℝ$

8
Gegeben ist die Geradenschar $f_{a} (x) = (a - 1) x + 2$ mit $D_{f_{a}} = ℝ$ und $a \in ℝ$
Gib den Term des Repräsentanten $f_{2,5}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
Setze $a = 2,5$ in die Funktionsgleichung ein:
↓
$f_{2,5} (x)$ $=$ $(2,5 - 1) x + 2$
↓
Fasse den Term zusammen
$=$ $1,5 x + 2$
Um einen konkreten Repräsentanten zu bekommen, setze den gewünschten Wert für den Parameter ein.

Ermittle den Repräsentanten, der durch $P (2 | 3)$ verläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
$f_{a} (x)$ $=$ $(a - 1) x + 2$
↓
Setze P ein
$3$ $=$ $(a - 1) \cdot 2 + 2$
$3$ $=$ $2 a - 2 + 2$ $: 2$
$1,5$ $=$ $a$
Der gesuchte Repräsentant ist $f_{1,5} (x) = 0,5 x + 2$
Um einen Repräsentanten durch einen Punkt zu bestimmen, setze den Punkt in die Funktionsgleichung der Geradenschar ein.

Ermittle den Wert des Parameters so, dass der zugehörige Repräsentant die Nullstelle $x = - 4$ hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
$f_{a} (x)$ $=$ $(a - 1) x + 2$
↓
An der Nullstelle x=-4 ist der Funktionswert 0. Setze die Werte ein
$0$ $=$ $(a - 1) \cdot (- 4) + 2$ $- 2$
$- 2$ $=$ $- 4 a + 4$ $- 4$
$- 6$ $=$ $- 4 a$ $: (- 4)$
$1,5$ $=$ $a$
$f_{1,5} (x) = 0,5 x + 2$ hat eine Nullstelle bei $x = - 4$
Setze den Funktionsterm mit 0 gleich und setze die Nullstelle in die Gleichung der Funktionenschar ein.

Bestimme die Nullstelle der Geradenschar in Abhängigkeit von a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung
Term nullsetzen
$f_{a (x)}$ $=$ $0$
↓
Löse nach x auf, nicht nach dem Parameter a!
$(a - 1) x + 2$ $=$ $0$ $- 2$
$(a - 1) x$ $=$ $- 2$ $: (a - 1)$
$x$ $=$ $- \frac{2}{a - 1}$
Fallunterscheidung
Laut Angabe darf für den Parameter $a$ jede Zahl eingesetzt werden ( $a \in ℝ$ )
Da die Nullstelle den Parameter $a$ im Nenner des Bruchs hat, muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, denn:
Merke
Es darf nicht durch die Zahl 0 dividiert werden.
Der Nenner hat den Wert 0, wenn $a = 1$ . Man unterscheidet also die zwei Fälle $a = 1$ und $a \neq 1$ :
$a \neq 1 :$ Die Nullstelle liegt bei $x = - \frac{2}{a - 1}$ , also $N (- \frac{2}{a - 1} | 0)$
$a = 1 :$ Es gibt keine Nullstelle, denn $x = - \frac{2}{1 - 1} = - \frac{2}{0}$ hat keine Lösung.
(Der Graph ist eine waagerechte Gerade, die Funktion ist die konstante Funktion $f_{1} (x) = 2$ )
Gehe vor wie gewohnt und setze die Funktion mit 0 gleich.
Löse anschließend die Gleichung nach der Variable x auf. Du bekommst ein Ergebnis in Abhängigkeit von a.
Führe ggf. eine Fallunterscheidung durch.

Entscheide, ob es sich um eine Parallelenschar handelt. Bestimme anschließend, für welche Werte von a die zugehörigen Repräsentanten steigende bzw. fallende Geraden sind.
Ja
Nein
Nicht entscheidbar

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Parallelenschar
Ist die Geradenschar eine Parallelenschar, so haben alle Repräsentanten die gleiche Steigung.
In dieser Geradenschar ist die Steigung $m = (a - 1)$ abhängig vom Parameterwert a. Je nachdem, was a ist, ergibt sich also eine andere Steigung.
Deshalb handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Fallunterscheidung für steigende und fallende Geraden
Eine Gerade steigt, wenn der Wert von m positiv ist und fällt, wenn der Wert negativ ist. Für $m = 0$ handelt es sich um eine konstante Funktion deren Graph eine waagerechte Gerade ist.
Untersuche, wann die Steigung positiv/negativ/null ist:
$0$ $=$ $m$
$0$ $=$ $a - 1$ $+ 1$
$1$ $=$ $a$
Für $a = 1$ ist die Steigung $m = 0$ und die zugehörige Gerade ist parallel zur x-Achse.
Für $a > 1$ ist die Steigung $m = a - 1$ positiv und die zugehörige Gerade steigt.
Für $a < 1$ ist die Steiung $m = a - 1$ negativ und die zugehörige Gerade fällt.
Betrachte die Steigung der Geradenschar. Ist diese immer gleich?
Wann ist sie positiv, wann negativ?

Untersuche, ob die Geradenschar einen Büschelpunkt hat und bestimme gegebenenfalls seine Koordinaten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Schnittpunkt von zwei Repräsentanten
$f_{a} (x) = (a - 1) x + 2$
Suche dir zwei möglichst einfache Repräsentanten aus:
$f_{0} (x) = - x + 2$
$f_{1} (x) = 2$
Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Repräsentanten:
$f_{0} (x)$ $=$ $f_{1} (x)$
$- x + 2$ $=$ $2$ $- 2$
$- x$ $=$ $0$
$x$ $=$ $0$
Nachweis Büschelpunkt durch Einsetzen in den Term der Schar:
$f_{a} (0) = (a - 1) \cdot 0 + 2 = 2$
Der Termwert ist unabhängig vom Parameterwert a, deshalb ist der y-Achsenabschnitt B(0|2) Büschelpunkt der Geradenschar.
VorsichtHinweis zum Büschelpunkt
Der Büschelpunkt muss nicht immer auf der y-Achse liegen!
Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunktes von zwei Repräsentanten und setze anschließend in den Term der Schar ein.
Erhälst du als Funktionswert einen Wert, der unabhängig vom Parameter ist, so besitzt die Gerade einen Büschelpunkt.

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$f_{a} (x)$	$=$	$(a - 3) x + 2,5 a$
	↓	Setze A ein
$- 3$	$=$	$(a - 3) \cdot 2 + 2,5 a$
	↓	Fasse den Term rechts zusammen
$- 3$	$=$	$2 a - 6 + 2,5 a$
$- 3$	$=$	$4,5 a - 6$	$+ 6$
$3$	$=$	$4,5 a$	$: 4,5$
$\frac{2}{3}$	$=$	$a$

$f_{a} (x)$	$=$	$(a - 3) x + 2,5 a$
	↓	Setze B ein
$4,5$	$=$	$(a - 3) \cdot (- 0,5) + 2,5 a$
$4,5$	$=$	$- 0,5 a + 1,5 + 2,5 a$
$4,5$	$=$	$2 a + 1,5$	$- 1,5$
$3$	$=$	$2 a$	$: 2$
$1,5$	$=$	$a$

$f_{a} (x)$	$=$	$(a - 3) x + 2,5 a$
$0$	$=$	$(a - 3) \cdot (- 3,75) + 2,5 a$
$0$	$=$	$- 3,75 a + 11,25 + 2,5 a$
$0$	$=$	$- 1,25 a + 11,25$	$- 11,25$
$- 11,25$	$=$	$- 1,25 a$	$: (- 1,25)$
$9$	$=$	$a$

$f_{b} (x)$	$=$	$(4 b + 1) (x + 4) + 2$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$4 b x + x + 16 b + 4 + 2$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$(4 b + 1) x + 16 b + 2$

$m$	$=$	$\frac{Δ y}{Δ x}$
$m$	$=$	$\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$
	↓	Setze die Werte von A und B ein
$m$	$=$	$\frac{- 4 - 2}{4 r - r}$
$m$	$=$	$- \frac{6}{3 r}$
$m$	$=$	$- \frac{2}{r}$

$f_{r} (x)$	$=$	$m x + t$
	↓	Setze m und A ein
$2$	$=$	$- \frac{2}{r} \cdot r + t$
$2$	$=$	$- 2 + t$	$+ 2$
$4$	$=$	$t$

$m$	$=$	$\frac{Δ y}{Δ x}$
$m$	$=$	$\frac{y_{P} - y_{Q}}{x_{P} - x_{Q}}$
	↓	Setze P und Q ein
$m$	$=$	$\frac{a + 1 - 2}{2 a - (a + 1)}$
$m$	$=$	$\frac{a - 1}{a - 1}$
$m$	$=$	$1$

$f_{a} (x)$	$=$	$m x + t$
	↓	Setze m und Q ein
$2$	$=$	$1 \cdot (a + 1) + t$	$- a - 1$
$1 - a$	$=$	$t$

Setze den Term mit 0 gleich.
	↓
$f_{a} (x)$	$=$	$0$
$2 x + 4 a - 2$	$=$	$0$	$- 4 a + 2$
$2 x$	$=$	$2 - 4 a$	$: 2$
$x$	$=$	$1 - 2 a$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$f_{b} (x)$	$=$	$0$
$2 b x - b$	$=$	$0$	$+ b$
$2 b x$	$=$	$b$	$: 2 b$
$x$	$=$	$\frac{b}{2 b}$

Setze die Funktion mit 0 gleich
	↓
$f_{c} (x)$	$=$	$0$
$- c x + c + 4 x + 2$	$=$	$0$	$- 2 - c$
$- c x + 4 x$	$=$	$- 2 - c$
	↓	Klammere auf der linken Seite x aus, um besser zu sehen, wodurch du dividieren musst.
$x \cdot (4 - c)$	$=$	$- 2 - c$	$: (4 - c)$
$x$	$=$	$\frac{- 2 - c}{4 - c}$
	↓	Du kannst im Zähler ein Minus ausklammern, um den Bruchterm etwas schöner und handlicher zu machen.
$x$	$=$	$- \frac{2 + c}{4 - c}$

${(k + 2)}^{2}$	$=$	$0$
	↓	${(k + 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow k + 2 = 0$
$k + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$k$	$=$	$- 2$

$f_{a (x)}$	$=$	$0$
	↓	Löse nach x auf, nicht nach dem Parameter a!
$(a - 1) x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$(a - 1) x$	$=$	$- 2$	$: (a - 1)$
$x$	$=$	$- \frac{2}{a - 1}$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$f_{d} (x)$	$=$	$0$
$(d^{2} + 1) x + 4$	$=$	$0$	$- 4$
$(d^{2} + 1) x$	$=$	$- 4$	$: (d^{2} + 1)$
$x$	$=$	$- \frac{4}{d^{2} + 1}$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$f_{m, n} (x)$	$=$	$0$
$(m - 2 n) x + m - n$	$=$	$0$	$- m + n$
$(m - 2 n) x$	$=$	$n - m$	$: (m - 2 n)$
$x$	$=$	$\frac{n - m}{m - 2 n}$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$f_{k} (x)$	$=$	$0$
$k^{2} x + 4 k x + 4 x - 1$	$=$	$0$
	↓	Betrachte zunächst den Term auf der linken Seite. Klammere x aus den ersten drei Summanden aus, um die Steigung besser sichtbar zu machen.
$x \cdot (k^{2} + 4 k + 4) - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
	↓	Innerhalb der Klammer entdeckst du die 1. binomische Formel
$x \cdot {(k + 2)}^{2}$	$=$	$1$	$: {(k + 2)}^{2}$
$x$	$=$	$\frac{1}{{(k + 2)}^{2}}$

Setze $a = 2,5$ in die Funktionsgleichung ein:
	↓
$f_{2,5} (x)$	$=$	$(2,5 - 1) x + 2$
	↓	Fasse den Term zusammen
	$=$	$1,5 x + 2$

$f_{a} (x)$	$=$	$(a - 1) x + 2$
	↓	Setze P ein
$3$	$=$	$(a - 1) \cdot 2 + 2$
$3$	$=$	$2 a - 2 + 2$	$: 2$
$1,5$	$=$	$a$

$f_{a} (x)$	$=$	$(a - 1) x + 2$
	↓	An der Nullstelle x=-4 ist der Funktionswert 0. Setze die Werte ein
$0$	$=$	$(a - 1) \cdot (- 4) + 2$	$- 2$
$- 2$	$=$	$- 4 a + 4$	$- 4$
$- 6$	$=$	$- 4 a$	$: (- 4)$
$1,5$	$=$	$a$

$f_{0} (x)$	$=$	$f_{1} (x)$
$- x + 2$	$=$	$2$	$- 2$
$- x$	$=$	$0$
$x$	$=$	$0$

Aufgaben zu Geradenscharen

Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Steigung berechnen

y-Achsenabschnitt berechnen

Fertigen Funktionsterm angeben

Steigung berechnen

y-Achsenabschnitt berechnen

fertigen Funktionsterm angeben

Term nullsetzen

Fallunterscheidung

Parallelenschar

Fallunterscheidung für steigende und fallende Geraden

Schnittpunkt von zwei Repräsentanten

Nachweis Büschelpunkt durch Einsetzen in den Term der Schar: