Aufgaben zu Geradenscharen

Gib für die Geradenscharen jeweils die Steigung und den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit vom Parameter an.

Entscheide anschließend, ob es sich um eine Parallelenschar handelt und für welche Parameterwerte die Graphen der zugehörigen Repräsentanten steigen, fallen oder waagerecht sind.

$f_{a} (x) = - 2 a x + 1, a \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Die Steigung ist $m = - 2 a$ (dieser Teil des Terms wird mit x multipliziert)
Der y-Achsenabschnitt ist $t = 1$ (dieser Teil des Terms steht ohne x)
Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.
Da die Steigung vom Parameter a abhängig ist, ist sie nicht für alle Repräsentanten gleich und es handelt sich nicht um eine Parallelenschar.
Für $a = 0$ ist die Steigung $m = - 2 \cdot 0 = 0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)
Für $a < 0$ ist die Steigung $m = - 2 a$ positiv, denn das Produkt aus zwei negativen Zahlen ist eine positive Zahl. Die Gerade steigt.
Für $a > 0$ ist die Steigung $m = - 2 a$ negativ und die Gerade fällt.
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .
$f_{b} (x) = b - \frac{1}{2} x + 2, b \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
$f_{b} (x) = - \frac{1}{2} x + b + 2$
Die Steigung ist $m = - \frac{1}{2}$ , der y-Achsenabschnitt ist $t = b + 2$
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung $m = - \frac{1}{2}$ unabhängig vom Parameter b ist, sind alle Geraden der Schar parallel.
Die Geraden der Parallelenschar sind monoton fallend.
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .
$f_{c} (x) = 4 c x - 5 c - 2 x + 1, c \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
$f_{c} (x) = 4 c x - 2 x - 5 c + 1 = (4 c - 2) x - 5 c + 1$
Die Steigung ist $m = 4 c - 2$ , der y-Achsenabschnitt ist $t = - 5 c + 1$
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung $m = 4 c - 2$ abhängig vom Parameter c ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Bestimme, wann die Steigung $m = 0$ ist, um daraus die drei Fälle für die Fallunterscheidung zu ermitteln.
$0$ $=$ $4 c - 2$ $+ 2$
$2$ $=$ $4 c$ $: 4$
$\frac{1}{2}$ $=$ $c$
Für $c = \frac{1}{2}$ ist $m = 0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)
Für $c > \frac{1}{2}$ ist die Steigung $m = 4 c - 2$ positiv und die Gerade steigt monoton.
Für $c < \frac{1}{2}$ ist die Steigung $m = 4 c - 2$ negativ und die Gerade fällt monoton.
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .
$f_{d} (x) = (\frac{1}{3} x - 4) \cdot d^{2} + d, d \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
$f_{d} (x) = \frac{1}{3} d^{2} x - 4 d^{2} + d$
Die Steigung lautet $m = \frac{1}{3} d^{2}$ , der y-Achsenabschnitt ist $t = 4 d^{2} + d$
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung $m = \frac{1}{3} d^{2}$ abhängig vom Parameter d ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Für $d = 0$ ist die Steigung $m = 0$ und die zugehörige Gerade ist waagerecht. Sie ist nicht nur parallel zur x-Achse, sie liegt auf der x-Achse, da $f_{0} (x) = 0$ .
Da $d^{2} > 0$ für alle $d \in ℝ \ {0}$ , ist $m = \frac{1}{3} d^{2} > 0$ für alle übrigen Parameterwerte. Die zugehörigen Geraden sind also alle monoton steigend.
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$0$	$=$	$4 c - 2$	$+ 2$
$2$	$=$	$4 c$	$: 4$
$\frac{1}{2}$	$=$	$c$

Aufgaben zu Geradenscharen

Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung