Aufgaben zu Geradenscharen

Bestimme die Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter.

$f_{a} (x) = 2 x + 4 a - 2$ wobei $a, x \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich.
↓
$f_{a} (x)$ $=$ $0$
$2 x + 4 a - 2$ $=$ $0$ $- 4 a + 2$
$2 x$ $=$ $2 - 4 a$ $: 2$
$x$ $=$ $1 - 2 a$
Für a können alle Zahlen eingesetzt werden, der Term kann immer ausgewertet werden. Es ist also keine Fallunterscheidung nötig.
Für $a \in ℝ$ gibt es eine Nullstelle $x = 1 - 2 a$
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
$f_{b} (x) = 2 b x - b$ wobei $b, x \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich
↓
$f_{b} (x)$ $=$ $0$
$2 b x - b$ $=$ $0$ $+ b$
$2 b x$ $=$ $b$ $: 2 b$
$x$ $=$ $\frac{b}{2 b}$
Obwohl man auf den ersten Blick das b im Bruch wegkürzen kann, da es in Zähler und Nenner vorkommt, solltest du den Fall $b = 0$ zunächst genauer unter die Lupe nehmen, denn es gilt weiterhin: Es darf nicht durch 0 geteilt werden.
Fall $b = 0$ : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_{0} (x) = 2 \cdot 0 \cdot x - 0 = 0$ liegt auf der x-Achse. Es gibt also unendlich viele Nullstellen.
Fall $b \neq 0$ : Die jeweiligen Repräsentanten haben alle eine Nullstelle, nämlich $x = \frac{b}{2 b} = \frac{1}{2}$ .
Der konstante Wert der Nullstelle für $b \neq 0$ bedeutet, dass dort der Büschelpunkt der Geraden liegt. Dies kann man überprüfen, indem man $x = \frac{1}{2}$ in die Geradenschar einsetzt:
$f_{b} (\frac{1}{2}) = 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2} - b = b - b = 0$ .
Da $f_{b} (\frac{1}{2})$ ebenfalls unabhängig von b ist, ist $B (\frac{1}{2} | 0)$ gleichzeitig Büschelpunkt und Nullstelle.
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.

$f_{c} (x) = - c x + c + 4 x + 2$ wobei $c, x \in ℝ$

$f_{d} (x) = (d^{2} + 1) x + 4$ wobei $d, x \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich
↓
$f_{d} (x)$ $=$ $0$
$(d^{2} + 1) x + 4$ $=$ $0$ $- 4$
$(d^{2} + 1) x$ $=$ $- 4$ $: (d^{2} + 1)$
$x$ $=$ $- \frac{4}{d^{2} + 1}$
Da der Parameter im Nenner vorkommt, musst du prüfen, ob der Nenner für Parameterwerte den Wert 0 annimmt, denn man darf nicht durch 0 teilen.
$d^{2} + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$d^{2}$ $=$ $- 1$
Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Deshalb ist der Nenner nie 0.
Du hättest die alternativ auch überlegen können, wie die Funktion $h (d) = d^{2} + 1$ aussieht. Es handelt sich um eine Normalparabel, die um 1 nach oben geschoben wurde. Sie hat keine Nullstellen, weshalb $d^{2} + 1 = 0$ auch keine Lösungen hat.
Für alle $d \in ℝ$ haben die zugehörigen Repräsentanten also die Nullstelle $x = - \frac{4}{d^{2} + 1}$ .
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
$f_{m, n} (x) = (m - 2 n) x + m - n$ wobei $m, n, x \in ℝ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich
↓
$f_{m, n} (x)$ $=$ $0$
$(m - 2 n) x + m - n$ $=$ $0$ $- m + n$
$(m - 2 n) x$ $=$ $n - m$ $: (m - 2 n)$
$x$ $=$ $\frac{n - m}{m - 2 n}$
Unabhängig von der Anzahl der Parameter musst du prüfen, wann der Nenner den Wert 0 annimmt, denn du darfst nicht durch 0 teilen.
$m - 2 n$ $=$ $0$ $+ 2 n$
$m$ $=$ $2 n$
Wenn m das Doppelte von n ist, wird der Nenner 0. Es gibt unendlich viele Zahlenpaare, für die das gilt. Zum Beispiel $m = 2, n = 1$ oder $m = - 30, n = - 15$ .
Die Menge der Repräsentanten, die diese Beziehung erfüllen kannst du angeben durch
$f_{2 n, n} (x) = (2 n - 2 n) x + 2 n - n = n$
Fall $m = 2 n \neq 0$ : Die Graphen der zugehörigen Repräsentanten $f_{2 n, n} (x) = n$ sind parallel zur x-Achse, da $n \in ℝ \ {0}$ den y-Achsenabschnitt angibt und die Steigung 0 ist. Es gibt keine Nullstellen.
Fall $m = 2 n = 0$ : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_{0,0} (x) = 0$ liegt auf der x-Achse und es gibt unendlich viele Nullstellen.
sonst: Für alle anderen Kombinationen haben die Repräsentanten jeweils eine Nullstelle bei $x = \frac{n - m}{m - 2 n}$
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.

$f_{k} (x) = k^{2} x + 4 k x + 4 x - 1$ wobei $k, x \in ℝ$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Setze den Term mit 0 gleich.
	↓
$f_{a} (x)$	$=$	$0$
$2 x + 4 a - 2$	$=$	$0$	$- 4 a + 2$
$2 x$	$=$	$2 - 4 a$	$: 2$
$x$	$=$	$1 - 2 a$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$f_{b} (x)$	$=$	$0$
$2 b x - b$	$=$	$0$	$+ b$
$2 b x$	$=$	$b$	$: 2 b$
$x$	$=$	$\frac{b}{2 b}$

Setze die Funktion mit 0 gleich
	↓
$f_{c} (x)$	$=$	$0$
$- c x + c + 4 x + 2$	$=$	$0$	$- 2 - c$
$- c x + 4 x$	$=$	$- 2 - c$
	↓	Klammere auf der linken Seite x aus, um besser zu sehen, wodurch du dividieren musst.
$x \cdot (4 - c)$	$=$	$- 2 - c$	$: (4 - c)$
$x$	$=$	$\frac{- 2 - c}{4 - c}$
	↓	Du kannst im Zähler ein Minus ausklammern, um den Bruchterm etwas schöner und handlicher zu machen.
$x$	$=$	$- \frac{2 + c}{4 - c}$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$f_{d} (x)$	$=$	$0$
$(d^{2} + 1) x + 4$	$=$	$0$	$- 4$
$(d^{2} + 1) x$	$=$	$- 4$	$: (d^{2} + 1)$
$x$	$=$	$- \frac{4}{d^{2} + 1}$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$f_{m, n} (x)$	$=$	$0$
$(m - 2 n) x + m - n$	$=$	$0$	$- m + n$
$(m - 2 n) x$	$=$	$n - m$	$: (m - 2 n)$
$x$	$=$	$\frac{n - m}{m - 2 n}$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$f_{k} (x)$	$=$	$0$
$k^{2} x + 4 k x + 4 x - 1$	$=$	$0$
	↓	Betrachte zunächst den Term auf der linken Seite. Klammere x aus den ersten drei Summanden aus, um die Steigung besser sichtbar zu machen.
$x \cdot (k^{2} + 4 k + 4) - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
	↓	Innerhalb der Klammer entdeckst du die 1. binomische Formel
$x \cdot {(k + 2)}^{2}$	$=$	$1$	$: {(k + 2)}^{2}$
$x$	$=$	$\frac{1}{{(k + 2)}^{2}}$

${(k + 2)}^{2}$	$=$	$0$
	↓	${(k + 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow k + 2 = 0$
$k + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$k$	$=$	$- 2$