Fallunterscheidung mit Parameter

Manchmal findest du in einem Term oder einer Gleichung neben der Variable (meistens x) und dem Funktionswert (meistens y) noch weitere Buchstaben, sogenannte Parameter. Sollen Lösungen in Abhängigkeit von diesem Parameter bestimmt werden, musst du manchmal eine Fallunterscheidung durchführen.

In diesem Artikel lernst du, wann eine Fallunterscheidung nötig ist und wie du bei dieser vorgehen musst.

Ausgangssituation

Meistens hast du eine Gleichung gegeben, in der ein Parameter vorkommt. Diese löst du, wie gewohnt, nach der Variablen auf. Anstelle einer Zahl hast du am Ende allerdings einen Term, in dem der Parameter vorkommt:

BeispielGleichung mit Parameter auflösen

Bestimme für $k \in ℝ$ und $T_{k} (x) = (k - 2) x - k + 5$ in Abhängigkeit von k, wann $T_{k} (x) = 5$

In dieser Aufgabe wird gefragt, wann der Termwert in Abhängigkeit vom Parameter k der Zahl 5 entspricht.
	↓
$(k - 2) x - k + 5$	$=$	$5$	$- 5$
	↓	Löse wie gewohnt nach x auf
$(k - 2) x - k$	$=$	$0$	$+ k$
$(k - 2) \cdot x$	$=$	$k$	$: (k - 2)$
$x$	$=$	$\frac{k}{(k - 2)}$

Dies ist die Lösung in Abhängigkeit von k. Du bist aber noch nicht fertig.

Vorsichtkompliziertere Gleichungen

Nicht immer lässt sich die Gleichung durch Äquivalenzumformungen lösen. Kannst du die Gleichung nicht auf die Form $x = . . .$ bringen, so musst du auf andere Lösungsmethoden zurückgreifen und dort auf die unten beschriebenen Fälle achten. Ein Beispiel hierfür findest du am Ende des Artikels.

Fallunterscheidung bei Brüchen

Kommt der Parameter nach Lösen der Gleichung im Nenner des Bruchs vor, so musst du eine Fallunterscheidung durchführen, denn:

MerkeNull im Nenner

Man darf nicht durch die Zahl 0 dividieren.

Untersuche, für welche Werte des Parameters der Nenner den Wert 0 annimmt und gib an, dass es für diese Werte keine Lösungen gibt.

BeispielNull im Nenner

Nach Lösen einer Gleichung hast du das Ergebnis $x = \frac{k}{k - 2}$ mit $k \in ℝ$ erhalten.

Wenn du für k die Zahl 2 einsetzt, würde der Term ausgewertet werden zu $x = \frac{2}{2 - 2} = \frac{2}{0}$ . Doch man darf nicht durch die Zahl 0 dividieren. Deshalb führst du eine Fallunterscheidung durch:

Fall $k = 2$ : Es gibt keine Lösung, denn man darf nicht durch die Zahl 0 dividieren (siehe oben).

Fall $k \neq 2$ : Die einzige Lösung der Gleichung ist $x = \frac{k}{k - 2}$

Fallunterscheidungen für Wurzeln

Löst du die Gleichung und erhältst eine Lösung, in der eine Wurzel vorkommt, so musst du eine Fallunterscheidung durchführen, denn:

Merkekeine negativen Zahlen unter der Wurzel

Es kann nur eine Wurzel aus einer positiven Zahl oder aus Null gezogen werden.

Du musst hier drei Fälle unterscheiden:

Wann ist der Radikand(=Wert unter der Wurzel) größer als 0 (zwei Lösungen)
Wann ist der Radikand genau 0 (eine Lösung)
Wann ist der Radikand kleiner als 0 (keine Lösung)

Beispieleinfaches Beispiel

Du hast für $k \in ℝ$ die Lösung $x = \sqrt{k}$ erhalten und führst folgende Fallunterscheidung durch:

Fall $k > 0 :$ Da der Radikand größer ist als 0, gibt es zwei Lösungen $x_{1} = k, x_{2} = - k$

Fall $k = 0$ : Da der Radikand 0 ist, gibt es genau eine Lösung $x_{1} = 0$

Fall $k < 0$ : Da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann, gibt es keine Lösungen

Fallunterscheidung für Logarithmen

Kommt dein Parameter nach Lösen einer Gleichung im Argument eines Logarithmus vor, so musst du eine Fallunterscheidung durchführen, denn:

Merkenur positive Zahlen im Logarithmus

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

Du musst hier zwei Fälle unterscheiden:

Das Argument ist größer als 0: eine Lösung
Das Argument ist kleiner oder gleich 0: keine Lösung

Beispieleinfaches Beispiel

Du hast für $k \in ℝ$ die Lösung $x = l o g_{3} (k)$ erhalten.

Du unterscheidest die beiden Fälle

Fall $k \leq 0 :$ keine Lösung

Fall $k > 0 :$ eine Lösung $x = l o g (k)$

Fallunterscheidung aufgrund von Veränderung an der Termstruktur

Bei manchen Termen verschwindet je nach Wahl des Parameterwertes die Variable und die Gleichung wird dadurch immer wahr oder immer falsch.

BeispielImmer wahre Aussage

Löse für $k \in ℝ$ die Gleichung $0 = k x - 2 k$

Umformen liefert: $0 = k (x - 2)$

Setzt du $k = 0$ in die Gleichung ein, so erhälst du:

$0$	$=$	$0 x - 2 \cdot 0$
$0$	$=$	$0$

Diese Aussage ist unabhängig vom eingesetzten x-Wert immer wahr.

Für die anderen Lösungen löst du wie gewohnt auf:

$0$	$=$	$k x - 2 k$	$+ 2 k$
$2 k$	$=$	$k x$	$: k$
$2$	$=$	$x$

Diese Lösung ist sogar unabhängig vom Parameter k!

Die Fallunterscheidung lautet:

Fall $k \neq 0$ : einzige Lösung $x = 2$

Fall $k = 0$ : unendlich viele Lösungen, alle $x \in ℝ$ sind gültige Lösung, da immer $0 = 0$ herauskommt.

Kombinationen aus den vorgestellten Szenarien

Natürlich können die Fälle kombiniert werden. Du kannst einen Bruch unter einer Wurzel haben oder eine Logarithmus im Bruch,...

Gehe schrittweise vor und beachte alle Spezialfälle!

Parameter in Gleichungen mit anderen Lösungsmethoden

Wie zu Beginn erwähnt, muss die Gleichung nicht durch Umformungen lösbar sein. Auch in diesem Fall löst du die Gleichung zunächst mit der vorgesehenen Lösungsmethode und untersuchst dann danach, ob eine Fallunterscheidung nötig ist.

BeispielMitternachtsformel (quadratische Lösungsformel) mit Parameter

Für $k \in ℝ$ hast du deine Gleichung auf die Form $0 = k x^{2} + 4 x + 4 k$ gebracht.

Du setzt $a = k, b = 4, c = 4 k$ in die Mitternachtsformel ein:

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot k \cdot 4 k}}{2 k}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 k^{2}}}{2 k}$
	↓	Klammere 16 aus
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1 - k^{2})}}{2 k}$
	↓	Radiziere teilweise
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 - k^{2}}}{2 k}$
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - k^{2}}}{k}$

Sowohl unter der Wurzel als auch im Nenner kommt der Parameter k vor.

Der Nenner verrät dir, dass $k = 0$ zu keiner Lösung führt.

Die Diskriminante $D = 1 - k^{2}$ gibt für die anderen Fälle die Zahl der Nullstellen an.

Fall $k = 0 :$ Keine Lösung (da nicht durch 0 dividiert werden darf)

Fall $- 1 < k < 1$ , $k \neq 0$ : Da $D > 0$ gibt es hier zwei Lösungen $x_{1 / 2} = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - k^{2}}}{k}$

Fall $k = 1$ : Da $D = 0$ gibt es eine Lösung $x = - 2$

Fall $k = - 1$ : Da $D = 0$ gibt es eine Lösung $x = 2$

Fall sonst ( $k < - 1$ oder $k > 1$ ): keine Lösung, da $D < 0$

Den ersten und den letzten Fall kannst du auch zusammenfassen, da die Begründungen aber unterschiedlich sind, wurden sie in diesem Beispiel getrennt voneinander aufgelistet.

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