Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

$f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$

Bilde die erste Ableitung.

$f^{\prime }(x)=-3\cdot x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$

$f(x)=\frac{2}{x^2}+x^{-7}=2x^{-2}+x^{-7}$

Hier wurde das Potenzgesetz angewendet, um die Funktion umzuformen. Leite nun ab:

$f^{\prime }\left(x\right)=-4x^{-3}-7x^{-8}=-\frac{4}{x^3}-\frac{7}{x^8}$

$f(x)=e^{-x}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, dass Minus im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\prime }(x)=-e^{-x}$

$f(x)=e^{2x}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, die $2$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\prime }(x)=2e^{2x}$

$f(x)=e^{x^2}$

Bilde die erste Ableitung. Die $2x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $x^2$.

$f^{\prime }(x)=2{\mathrm{xe}}^{x^2}$

Schreibe etwas oder füge mit ⊕ Elemente hinzu.

$f(x)=e^{\sqrt{x}}$

Bilde die erste Ableitung. Die $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\sqrt{x}$.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}$

Wenn du möchtest, kann du noch ein wenig vereinfachen:

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{\sqrt{x}}$



Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x)=\sqrt{e^x}=e^{\frac{1}{2}x}$

Bilde nun die Ableitung. Vergiss nicht, die $1/2$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot e^{\frac{1}{2}x}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{e^x}$

Die äußere Funktion ist $u(x)=e^x$.

Die innere Funktion ist $v(x)=sinx+cosx$.

Die Ableitung der inneren Funktion ist $v\text{´}(x)=cosx-sinx$.

Nun kannst du die Funktion direkt mit der Kettenregel ableiten.

$f^{\prime }(x)=e^{\sin x+\cos x}\cdot (\cos x-\sin x)$

$f(x)=e^{-\frac{1}{2}{x}^2}$

Bilde die erste Ableitung. Die $-x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\frac{1}{2}\cdot x^2$.

$f^{\prime }(x)=-2\cdot \frac{1}{2}\cdot x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2}=-x\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2}$= 

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}}$

Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^{\frac{1}{3}\cdot x}}}$

Bevor du ableitest, bietet es sich an, den Bruch "aufzulösen". Das kannst du mit einem Minus vor dem Exponenten machen.

$f(x)=e^{-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot x}$

$f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{3}\cdot e^{-\frac{1}{3}x}$

Wenn du möchtest, kannst du das Ergebnis noch einmal umformen.

$=-{\displaystyle \frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{e^x}}}$

$f\left(x\right)=x^2{e}^{-\sqrt{x}}$

Die Funktion ist insgesamt ein Produkt mit den Faktoren $u(x)=x^2$ und $v(x)=e^{-\sqrt{x}}$. Berechne zuerst die Ableitungen der Faktoren $u(x)$ und $v(x)$.

$u^{\prime }(x)=2x$

Zur Berechnung von $v^{\prime }(x)$ benötigst du die Kettenregel.

$v^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}$

Wende nun die Produktregel an.

$f^{\prime }\left(x\right)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}+x^2\cdot (-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}})$

Löse die Klammer auf.

$=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}$

Nun kannst du noch vereinfachen. Multiplizere dazu im zweiten Teil $x^2$ mit $x^{-\frac{1}{2}}$.

$=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}$

Wenn du noch weiter vereinfachen möchtest, kannst du z.B. $e^{-\sqrt{x}}$ ausklammern.

$=e^{-\sqrt{x}}\cdot (2x-\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}})$

Bilde die erste Ableitung.

$f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x}$

Leite ab, indem du die Produktregel nutzt. Es müssen die Ableitung von $u(x)=x$ und $v(x)=\ln x$ gebildet werden.

$u^{\prime }=1$

$v^{\prime }=\frac{1}{x}$

$f^{\prime }(x)=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$

Bilde die erste Ableitung.

$f^{\prime }(x)=(-1)\cdot \frac{1}{(-x)}=\frac{1}{x}$

Bilde die erste Ableitung

$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2x}\cdot 2=-\frac{1}{x}$

Kettenregel anwenden.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}\cdot 2\cdot \mathrm{lnx}=\frac{2\cdot \ln x}{x}$

$f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{x}\right)=\ln \left(x^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot \ln x$

Die Wurzel lässt sich als Potenz schreiben. Dann wendet man die Potenzregel des Logarithmus an.

$f(x)=\sqrt{\ln x}={\left(\ln \mathrm{x}\right)}^{\frac{1}{2}}$

$u(x)=x^{\frac{1}{2}}$

$v(x)=\ln (x)$

$u^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$

$v^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$f(x)=\ln [2+\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})]$

Wende die Ableitungsregel für den ln an. Das Argument des ln ist dann der Nenner eines Bruches mit dem Zähler 1. Differenziere dann mit der Ableitung des Arguments des $\ln$ nach.

$f(x)=2x-{(\ln (2-2\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}))}^2$

Zum Ableiten des zweiten Elements zwei mal die Kettenregel anwenden.

$f(x)={\ln }^2(x)=\ln (\ln x)$

Wende die Ableitungsregel für den ln mit beliebigem Argument an und differenziere mit der Ableitung des Arguments nach (hier: lnx).

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}\\ =\frac{1}{\ln x\cdot x}\end{array}$

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2(\ln x-\frac{1}{2})$

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Für den zweiten Faktor wird die Ableitungsregel des ln benötigt.

$\begin{array}{l}f(x)=\ln \left(\sqrt[3]{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}\right)\\ =\frac{1}{3}[\ln (e^{3x})-\ln (1+e^{3x})]\\ =\frac{1}{3}\cdot 3x-\frac{1}{3}\ln (1+e^{3x})\end{array}$

$f(\mathrm{x})=\ln \left(\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\right)$

Mit Hilfe der Quotientenregel den Logarithmus umformen.

$f(\mathrm{x})=\ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)-\ln (1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})$

Den ersten Term vereinfachen.

$f(\mathrm{x})=-\mathrm{x}-\ln (1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})$

Ableiten, beim ln mit der Kettenregel .

$f^{\prime }(\mathrm{x})=-1-\frac{-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{(1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})}$

Den ersten Term zu einem Bruch mit dem gleichen Nenner umformen.

$=-\frac{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}+\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}$

Die Brüche addieren.

$f(x)=\ln (e^x+e^{-x})$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}\cdot (e^x-e^{-x})$

$={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$

$f(x)=\ln (1+e^x)$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten .

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}\cdot e^x={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$

$f(x)=\ln (\log x)-\log (\ln x)$

Leite beide Elemente mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\mathrm{logx}}\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\mathrm{ln1}}-\frac{1}{\mathrm{lnx}}\cdot \frac{1}{\mathrm{ln1}}\cdot \frac{1}{x}$

Nun wende die Logarithmusformel an: $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$

$=\frac{\ln 10}{\ln x\cdot x\cdot \mathrm{ln1}}-\frac{1}{\mathrm{lnx}\cdot x\cdot \mathrm{ln1}}$

$=\frac{\ln 10-1}{\ln x\cdot x\cdot \mathrm{ln1}}$

$f(x)=\ln (e^x)=x$

Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, wodurch diese sich gegenseitig aufheben.

$f^{\prime }\left(x\right)=1$

Zunächst stellen wir den Definitionsbereich fest: da $e$ keine ganze Zahl ist, ist der Ausdruck $x^e$ nur für positive $x$ definiert und positiv. Da wir dann den Logarithmus anwenden können, besteht der Definitionsbereich aus dem Intervall $(0,\infty )$.

$f(\mathrm{x})=\ln ({\mathrm{x}}^{\mathrm{e}})$

Wende die Potenzregel des Logarithmus an.

$f(\mathrm{x})=\mathrm{e}\cdot \ln (\mathrm{x})$

Wende die Ableitungsregel für den $\ln$ an.

$f^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}\cdot \frac{1}{\mathrm{x}}$

$f^{\prime }\left(x\right)=e\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{e}{x}}$

$f(x)=\sin (\ln x)$

Leite mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f^{\prime }\left(x\right)=\cos \left(\ln x\right)\cdot \frac{1}{x}$

$f(x)=x\ln x-x$

Berechne die Ableitung von u ($x$) und v ($\ln x$).

$u^{\prime }(x)=1,v^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

f(x) mit Hilfe der Produktregel ableiten.

$f^{\prime }\left(x\right)=x\cdot \frac{1}{x}+1\cdot \ln x-1$

$=1+\ln x-1=\ln x$

Ableitung berechnen

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$f(x)=x^3\ln x-\frac{1}{3}{x}^3$

Wende zum Ableiten des ersten Summanden die Produktregel an.

$f^{\prime }(x)=3x^2\cdot \ln x+x^3\cdot \frac{1}{x}-x^2$

Kürze den zweiten Summanden mit x.

$=3x^2\cdot \ln x+x^2-x^2=3x^2\cdot \ln x$

$f(x)=x{\left(\ln x\right)}^2-2x\ln x+2x$

Zum Ableiten betrachte jeden Summanden einzeln. Für die Ableitung des ersten Summanden wende die Kettenregel sowie die Ableitungsregel für den $\ln$ an. Für den zweiten Summanden verwende nur die Ableitungsregel für den $\ln$ .

$f^{\prime }\left(x\right)=[1\cdot {\left(\ln x\right)}^2+x\cdot 2\ln x\cdot \frac{1}{x}]-[2\ln x+2x\cdot \frac{1}{x}]+2$

Multipliziere aus und vereinfache.

$={\left(\ln x\right)}^2+2\ln x-[2\ln x+2]+2$

$={\left(\ln x\right)}^2+2\ln x-2\ln x-2+2$

$={\left(\ln x\right)}^2$

$f(x)=\frac{1}{3}{\left(\ln x\right)}^3$

Wende die Kettenregel zum Ableiten an und differenziere mit der Ableitung von ln(x) nach.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot (\ln x{)}^2\cdot \frac{1}{x}$

$=\frac{(\ln x{)}^2}{x}$

$f(x)=x[{\left(\ln x\right)}^3-3(\ln x{)}^2+6\ln x-6]$

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Hierbei muss die Ableitung von $u=x$ und $v=-3(\ln x{)}^2+6\ln x-6$ gebildet werden.

$u^{\prime }=1$

$v^{\prime }=3{\left(\ln x\right)}^2\cdot \frac{1}{x}-3\cdot 2\left(\ln x\right)\cdot \frac{1}{x}+6\cdot \frac{1}{x}$

Um $v$ abzuleiten, wird jeder Summand gesondert betrachtet. Für die Ableitung der ersten beiden Summanden ist die Kettenregel notwendig, wobei mit der Ableitung von $\ln x$  nachdifferenziert werden muss. Für den dritten Summanden muss die Ableitung von $\ln x$ berechnet werden.

$f^{\prime }\left(x\right)=1\cdot [{\left(\ln x\right)}^3-3{\left(\ln x\right)}^2+6\left(\ln x\right)-6]$  

$+x\cdot [3{\left(\ln x\right)}^2\cdot \frac{1}{x}-3\cdot 2\left(\ln x\right)\cdot \frac{1}{x}+6\cdot \frac{1}{x}]$

Multipliziere nun die Klammern aus.

$={\left(\ln x\right)}^3-3{\left(\ln x\right)}^2+6\left(\ln x\right)-6+3{\left(\ln x\right)}^2-6\left(\ln x\right)+6$

Fasse jetzt zusammen.

$={\left(\ln x\right)}^3$