Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

$f(\mathrm{x})=\ln \left(\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\right)$

Mit Hilfe der Quotientenregel den Logarithmus umformen.

$f(\mathrm{x})=\ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)-\ln (1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})$

Den ersten Term vereinfachen.

$f(\mathrm{x})=-\mathrm{x}-\ln (1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})$

Ableiten, beim ln mit der Kettenregel .

$f^{\prime }(\mathrm{x})=-1-\frac{-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{(1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})}$

Den ersten Term zu einem Bruch mit dem gleichen Nenner umformen.

$=-\frac{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}+\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}$

Die Brüche addieren.

$f(x)=\ln (e^x+e^{-x})$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}\cdot (e^x-e^{-x})$

$={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$

$f(x)=\ln (1+e^x)$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten .

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}\cdot e^x={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$

$f(x)=\ln (\log x)-\log (\ln x)$

Leite beide Elemente mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\mathrm{logx}}\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\mathrm{ln1}}-\frac{1}{\mathrm{lnx}}\cdot \frac{1}{\mathrm{ln1}}\cdot \frac{1}{x}$

Nun wende die Logarithmusformel an: $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$

$=\frac{\ln 10}{\ln x\cdot x\cdot \mathrm{ln1}}-\frac{1}{\mathrm{lnx}\cdot x\cdot \mathrm{ln1}}$

$=\frac{\ln 10-1}{\ln x\cdot x\cdot \mathrm{ln1}}$

$f(x)=\ln (e^x)=x$

Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, wodurch diese sich gegenseitig aufheben.

$f^{\prime }\left(x\right)=1$

Zunächst stellen wir den Definitionsbereich fest: da $e$ keine ganze Zahl ist, ist der Ausdruck $x^e$ nur für positive $x$ definiert und positiv. Da wir dann den Logarithmus anwenden können, besteht der Definitionsbereich aus dem Intervall $(0,\infty )$.

$f(\mathrm{x})=\ln ({\mathrm{x}}^{\mathrm{e}})$

Wende die Potenzregel des Logarithmus an.

$f(\mathrm{x})=\mathrm{e}\cdot \ln (\mathrm{x})$

Wende die Ableitungsregel für den $\ln$ an.

$f^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}\cdot \frac{1}{\mathrm{x}}$

$f^{\prime }\left(x\right)=e\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{e}{x}}$

$f(x)=\sin (\ln x)$

Leite mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f^{\prime }\left(x\right)=\cos \left(\ln x\right)\cdot \frac{1}{x}$

$f(x)=x\ln x-x$

Berechne die Ableitung von u ($x$) und v ($\ln x$).

$u^{\prime }(x)=1,v^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

f(x) mit Hilfe der Produktregel ableiten.

$f^{\prime }\left(x\right)=x\cdot \frac{1}{x}+1\cdot \ln x-1$

$=1+\ln x-1=\ln x$

Ableitung berechnen

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$f(x)=x^3\ln x-\frac{1}{3}{x}^3$

Wende zum Ableiten des ersten Summanden die Produktregel an.

$f^{\prime }(x)=3x^2\cdot \ln x+x^3\cdot \frac{1}{x}-x^2$

Kürze den zweiten Summanden mit x.

$=3x^2\cdot \ln x+x^2-x^2=3x^2\cdot \ln x$

$f(x)=x{\left(\ln x\right)}^2-2x\ln x+2x$

Zum Ableiten betrachte jeden Summanden einzeln. Für die Ableitung des ersten Summanden wende die Kettenregel sowie die Ableitungsregel für den $\ln$ an. Für den zweiten Summanden verwende nur die Ableitungsregel für den $\ln$ .

$f^{\prime }\left(x\right)=[1\cdot {\left(\ln x\right)}^2+x\cdot 2\ln x\cdot \frac{1}{x}]-[2\ln x+2x\cdot \frac{1}{x}]+2$

Multipliziere aus und vereinfache.

$={\left(\ln x\right)}^2+2\ln x-[2\ln x+2]+2$

$={\left(\ln x\right)}^2+2\ln x-2\ln x-2+2$

$={\left(\ln x\right)}^2$

$f(x)=\frac{1}{3}{\left(\ln x\right)}^3$

Wende die Kettenregel zum Ableiten an und differenziere mit der Ableitung von ln(x) nach.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot (\ln x{)}^2\cdot \frac{1}{x}$

$=\frac{(\ln x{)}^2}{x}$

$f(x)=x[{\left(\ln x\right)}^3-3(\ln x{)}^2+6\ln x-6]$

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Hierbei muss die Ableitung von $u=x$ und $v=-3(\ln x{)}^2+6\ln x-6$ gebildet werden.

$u^{\prime }=1$

$v^{\prime }=3{\left(\ln x\right)}^2\cdot \frac{1}{x}-3\cdot 2\left(\ln x\right)\cdot \frac{1}{x}+6\cdot \frac{1}{x}$

Um $v$ abzuleiten, wird jeder Summand gesondert betrachtet. Für die Ableitung der ersten beiden Summanden ist die Kettenregel notwendig, wobei mit der Ableitung von $\ln x$  nachdifferenziert werden muss. Für den dritten Summanden muss die Ableitung von $\ln x$ berechnet werden.

$f^{\prime }\left(x\right)=1\cdot [{\left(\ln x\right)}^3-3{\left(\ln x\right)}^2+6\left(\ln x\right)-6]$  

$+x\cdot [3{\left(\ln x\right)}^2\cdot \frac{1}{x}-3\cdot 2\left(\ln x\right)\cdot \frac{1}{x}+6\cdot \frac{1}{x}]$

Multipliziere nun die Klammern aus.

$={\left(\ln x\right)}^3-3{\left(\ln x\right)}^2+6\left(\ln x\right)-6+3{\left(\ln x\right)}^2-6\left(\ln x\right)+6$

Fasse jetzt zusammen.

$={\left(\ln x\right)}^3$