Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

Die erste Ableitung wird wie folgt gebildet.

Für $f(x)=x^n$ ist $f^{\prime }\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$

Nicht vergessen, dass bei einem alleine stehenden "x" immer die Hochzahl "1" steht. Außerdem verwenden wir die Summenregel und dass die Ableitung von Konstanten Null ist:

$f\left(x\right)=2x^1+3$

Konstanten verschwinden beim Ableiten.

$f^{\prime }\left(x\right)=2\cdot x^{1-1}+0$

Potenzgesetz: jede Zahl hoch "0" ergibt "1", also ist $x^0=1$

Somit ergibt die Ableitung dieser Funktion

$f^{\prime }\left(x\right)=2\cdot x^0=2\cdot 1=2$

$f(x)=x^2+3$

Bilde die erste Ableitung

$f^{\prime }(x)=2x$

$f(x)=x^4-16$

Bilde die erste Ableitung.

$f^{\prime }(x)=4x^3$

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+6$

Berechne die erste Ableitung.

$\begin{array}{cl}{f}^{\prime }(x)& =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\cdot x-2\\ & =-x-2\\ & =-(x+2)\end{array}$

$f(x)=11$

Berechne die erste Ableitung.

$f^{\prime }(x)=0$

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+1$

Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}+1$

Bilde nun die erste Ableitung.

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$f(x)=\sin \left(\frac{x}{2\mathrm{\pi }}\right)$

Wende die Kettenregel an. Vergiss nicht die innere Funktion $\frac{x}{2\pi }$ nach zu differenzieren.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\cdot \cos \left(\frac{x}{2\mathrm{\pi }}\right)={\displaystyle \frac{\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2\pi }}\right)}{2\pi }}$