Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

Bestimme alle Punkte, in denen die Funktion eine waagerechte Tangente besitzt

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 5 x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung einer Potenzfunktion

Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du wissen, wie man die Ableitung einer Potenzfunktion bestimmt.

Die Punkte mit waagrechter Tangente am Funktionsgraph von $f$ sind genau die, in denen die Steigung der Funktion $0$ ist:

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - 5 x + 1$
	↓	Bilde die Ableitung, indem du die Summenregel verwendest.
$f ´ (x)$	$=$	$x - 5$
	↓	Der Wert der Ableitung an einer Stelle $x_{0}$ entspricht der Steigung an dieser Stelle. Setze die Ableitung gleich 0.
$0$	$=$	$x - 5$
	↓	Löse nach x auf.
$x$	$=$	$5$

Für $x = 5$ erhalten wir den einzigen Punkt, der eine waagerechte Tangente besitzt.

Bestimme den zugehörigen y-Wert, indem du $f (5)$ berechnest.

$\Rightarrow P (5 | - 11,5)$

$g (t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t^{2} + 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung einer Potenzfunktion

Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du wissen, wie man die Ableitung einer Potenzfunktion bestimmt.

Die Punkte mit waagrechter Tangente am Funktionsgraph von $f$ sind genau die, in denen die Steigung der Funktion $0$ ist:

$g (t)$	$=$	$\frac{2}{3} t^{3} - 2 t^{2} + 8$
	↓	Bilde die Ableitung, indem du die Summenregel verwendest.
$g ´ (t)$	$=$	$2 t^{2} - 4 t$
	↓	Der Wert der Ableitung an einer Stelle $x_{0}$ entspricht der Steigung an dieser Stelle. Setze die Ableitung gleich 0.
$0$	$=$	$2 t^{2} - 4 t$
	↓	Klammere $2 t$ aus.
$0$	$=$	$2 t (t - 2)$
	↓	Lies die Lösungen ab. Beachte dabei, dass ein Produkt immer dann $0$ ist, wenn einer seiner Faktoren $0$ ist.

$\Rightarrow t = 0$ und $t = 2$

Berechne die zugehörigen Funktionswerte.

$g (0) = \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + 8 = 8$

$\Rightarrow P_{1} (0 | 8)$

$g (2) = \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 8 = \frac{16}{3}$

$\Rightarrow P_{2} (2 | \frac{16}{3})$

$h (x) = x e^{2 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du wissen, wie man die Produktregel anwendet und die Ableitung der Exponentialfunktion bestimmt.

Die Punkte mit waagrechter Tangente am Funktionsgraph von $f$ sind genau die, in denen die Steigung der Funktion $0$ ist:

$h (x)$	$=$	$x e^{2 x}$
	↓	Bilde die Ableitung durch Verwendung der Produktregel. Beachte auch, dass du bei $e^{2 x}$ die Kettenregel verwendest.
$h ´ (x)$	$=$	$1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 \cdot e^{2 x}$
$h ´ (x)$	$=$	$e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$
	↓	Klammere $e^{2 x}$ aus.
$h ´ (x)$	$=$	$e^{2 x} (1 + 2 x)$
	↓	Der Wert der Ableitung an einer Stelle $x_{0}$ entspricht der Steigung an dieser Stelle. Setze die Ableitung gleich $0$ .
$0$	$=$	$e^{2 x} (1 + 2 x)$
	↓	Ein Produkt ist genau dann $0$ , wenn einer seiner Faktoren $0$ ist. Die Exponentialfunktion $e^{2 x}$ ist jedoch immer größer $0$ für alle $x \in ℝ$ . Deswegen musst du nur $(1 + 2 x)$ gleich Null setzen.
$0$	$=$	$1 + 2 x$
	↓	Löse nach x auf. Ziehe zuerst $1$ auf beiden Seiten ab.
$- 1$	$=$	$2 x$
	↓	Teile durch 2
$x$	$=$	$- \frac{1}{2}$
	↓	Berechne den zugehörigen Funktionswert.
$h (- \frac{1}{2})$	$=$	$- \frac{1}{2} e^{2 \cdot (- \frac{1}{2})}$
	↓	Berechne den Exponenten und wende das Potenzgesetz an.
$h (- \frac{1}{2})$	$=$	$- \frac{1}{2 e}$

$\Rightarrow P (- \frac{1}{2} | - \frac{1}{2 e})$

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