Aufgaben zu Längen und Winkeln

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)\right|& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ & =& \sqrt{9+16}\\ & =& \sqrt{25}\\ & =& 5\end{array}$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+5^2}=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}\approx \mathrm{5,48}$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{{12}^2+3^2+4^2}=\sqrt{144+9+16}=13$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{(-2{)}^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\approx \mathrm{3,74}$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}\approx \mathrm{4,58}$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+0^2}=\sqrt{9+16}=5$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{5^2+1^2+9^2}=\sqrt{25+1+81}=\sqrt{107}\approx \mathrm{10,34}$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{(-5{)}^2+3^2+9^2}=\sqrt{25+9+81}=\sqrt{115}\approx \mathrm{10,72}$

$${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{4^2+{(-\frac{2}{3})}^2+{\mathrm{0,2}}^2}=\sqrt{16+\frac{4}{9}+\mathrm{0,04}}\approx \mathrm{4,06}}$$

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)=(-2)\cdot (-1)+2\cdot (-1)=2-2=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist $0$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,5}\\ -1\end{array}\right)=6\cdot \mathrm{0,5}+4\cdot (-1)=3-4=-1$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist $-1$.Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}$ $=\left(\begin{array}{c}2\pi \\ 7\end{array}\right)\odot$ $\left(\begin{array}{c}-3.5\\ \pi \end{array}\right)$ =$2\pi \cdot (-3.5)+7\cdot \pi$$=7\pi -7\pi =0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist $0$.Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}\sqrt{6}\\ -\sqrt{3}\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 2\end{array}\right)=\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+(-\sqrt{3})\cdot 2=\sqrt{12}-2\sqrt{3}$

Falls du einen Taschenrechner benutzt, ist die Rechnung natürlich kein Problem. Mit einer kleinen Nebenrechnung kommst du aber auch ohne Nebenrechnung weiter.

Nebenrechnung: $2\sqrt{3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}$

Damit ergibt sich insgesamt: $\sqrt{12}-2\sqrt{3}=\sqrt{12}-\sqrt{12}=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist $0$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ Null ist.

Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=2\cdot 0+(-1)\cdot v_2+5\cdot v_3=-v_2+5v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2=5v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=5$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\circ \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 2+5\cdot (-1)+1\cdot 5=0+(-5)+5=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=12\cdot 0+3\cdot v_2+4\cdot v_3=3v_2+4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2=-4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=4$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0+12-12=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=(-2)\cdot 0+3\cdot v_2+1\cdot v_3=3v_2+v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2=-v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=1$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+1\cdot 3+1\cdot (-3)=0+3+(-3)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=1\cdot 0+(-2)\cdot v_2+(-4)\cdot v_3=-2v_2-4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$2v_2=-4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-4$ und $v_3=2$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+(-4)\cdot (-2)+2\cdot (-4)=0+8+(-8)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_3=0$ annehmen, wegen $u_3=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ 0\end{array}\right)=3\cdot v_1+(-4)\cdot v_2+0\cdot 0=3v_1+(-4)v_2$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1=4v_2$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=-4$ und $v_2=-3$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+(-3)\cdot (-4)+0\cdot 0=(-12)+12+0=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen, wegen $u_2=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ 0\\ v_3\end{array}\right)=1\cdot v_1+0\cdot 0+(-1)\cdot v_3=v_1-v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1=v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_2=1$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot (-1)=1-1=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 9\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=5\cdot 0+1\cdot v_2+9\cdot v_3=v_2+9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2=-9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 1\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+(-9)\cdot 1+1\cdot 9=0+(-9)+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 9\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=(-1)\cdot v_1+3\cdot 0+9\cdot v_3=-v_1+9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_1=9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=9\cdot (-1)+3\cdot 0+1\cdot 9=(-9)+0+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\overrightarrow{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\overrightarrow{v}$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\overrightarrow{u}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}4\\ -\frac{5}{6}\\ \mathrm{0,4}\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ 0\\ v_3\end{array}\right)=4\cdot v_1+(-\frac{5}{6})\cdot 0+\mathrm{0,4}\cdot v_3=4v_1+\mathrm{0,4}{v}_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_3=-10v_1$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_3=-10$. Du erhältst also:

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -10\end{array}\right)$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 4+(-\frac{5}{6})\cdot 0+(-10)\cdot \mathrm{0,4}=4+0-4=0$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{15}{\sqrt{30}\cdot \sqrt{89}}}\right)\approx {\mathrm{73,1}}^{\circ }$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{13}\right)\approx {\mathrm{72,1}}^{\circ }$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{84}}\right)\approx {\mathrm{70,9}}^{\circ }$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{-5}{\sqrt{399}}\right)\approx {\mathrm{104,5}}^{\circ }$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{209}}\right)\approx {\mathrm{73,9}}^{\circ }$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)={45}^{\circ }$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}(0)={90}^{\circ }$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{115}\cdot \sqrt{69}}\right)\approx {\mathrm{86,8}}^{\circ }$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(0\right)={90}^{\circ }$