Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ Null ist.
Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} \circ \vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = 2 \cdot 0 + (- 1) \cdot v_{2} + 5 \cdot v_{3} = - v_{2} + 5 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{2} = 5 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = 5$ und $v_{3} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} \circ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 0 \cdot 2 + 5 \cdot (- 1) + 1 \cdot 5 = 0 + (- 5) + 5 = 0$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = 12 \cdot 0 + 3 \cdot v_{2} + 4 \cdot v_{3} = 3 v_{2} + 4 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{2} = - 4 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = 4$ und $v_{3} = - 3$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 0 \cdot 12 + 4 \cdot 3 + (- 3) \cdot 4 = 0 + 12 - 12 = 0$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = (- 2) \cdot 0 + 3 \cdot v_{2} + 1 \cdot v_{3} = 3 v_{2} + v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{2} = - v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = 1$ und $v_{3} = - 3$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 0 \cdot (- 2) + 1 \cdot 3 + 1 \cdot (- 3) = 0 + 3 + (- 3) = 0$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = 1 \cdot 0 + (- 2) \cdot v_{2} + (- 4) \cdot v_{3} = - 2 v_{2} - 4 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$2 v_{2} = - 4 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = - 4$ und $v_{3} = 2$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \\ 2 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 0 \cdot 1 + (- 4) \cdot (- 2) + 2 \cdot (- 4) = 0 + 8 + (- 8) = 0$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{3} = 0$ annehmen, wegen $u_{3} = 0$ . Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ 0 \end{array}) = 3 \cdot v_{1} + (- 4) \cdot v_{2} + 0 \cdot 0 = 3 v_{1} + (- 4) v_{2}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{1} = 4 v_{2}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = - 4$ und $v_{2} = - 3$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = (- 4) \cdot 3 + (- 3) \cdot (- 4) + 0 \cdot 0 = (- 12) + 12 + 0 = 0$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{2} = 0$ annehmen, wegen $u_{2} = 0$ . Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} v_{1} \\ 0 \\ v_{3} \end{array}) = 1 \cdot v_{1} + 0 \cdot 0 + (- 1) \cdot v_{3} = v_{1} - v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{1} = v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = 1$ und $v_{2} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (- 1) = 1 - 1 = 0$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = 5 \cdot 0 + 1 \cdot v_{2} + 9 \cdot v_{3} = v_{2} + 9 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{2} = - 9 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = - 9$ und $v_{3} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 9 \\ 1 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 0 \cdot 5 + (- 9) \cdot 1 + 1 \cdot 9 = 0 + (- 9) + 9 = 0$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 9 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{2} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 9 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = (- 1) \cdot v_{1} + 3 \cdot 0 + 9 \cdot v_{3} = - v_{1} + 9 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{1} = 9 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = 9$ und $v_{3} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 9 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 9 = (- 9) + 0 + 9 = 0$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{5}{6} \\ 0.4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{2} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{5}{6} \\ 0,4 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} v_{1} \\ 0 \\ v_{3} \end{array}) = 4 \cdot v_{1} + (- \frac{5}{6}) \cdot 0 + 0,4 \cdot v_{3} = 4 v_{1} + 0,4 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{3} = - 10 v_{1}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = 1$ und $v_{3} = - 10$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 10 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 1 \cdot 4 + (- \frac{5}{6}) \cdot 0 + (- 10) \cdot 0,4 = 4 + 0 - 4 = 0$

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