Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a} : x \mapsto x e^{a x}$ mit $a \in ℝ ∖ {0}$ . Ermitteln Sie, für welchen Wert von a die erste Ableitung $f_{a}$ an der Stelle $x = 2$ den Wert 0 besitzt. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
Für diese Aufgabe musst du Ableiten können. Außerdem schadet es nicht zu wisssen, was eine Funktionenschar genau ist.
Um herauszufinden, für welchen Wert von $a$ die Ableitung der Funktionenschar an der Stelle $x = 2$ den Wert $0$ hat, bildest du als Erstes die allgemeine Ableitung. Dafür musst du die Produktregel und die Kettenregel verwenden können sowie wissen, was die Ableitung der e-Funktion ist:
$f_{a}^{^{'}} (x) = e^{a x} + x \cdot e^{a x} \cdot a$
Nun setzt du für $x$ den Wert $2$ ein:
$f_{a}^{^{'}} (2) = e^{2 a} + 2 \cdot e^{2 a} \cdot a$
Jetzt setzt du die Funktionenschar gleich $0$ und löst nach $a$ auf:
$e^{2 a} + 2 \cdot e^{2 a} \cdot a = 0$
Klammere $e^{2 a}$ aus.
$e^{2 a} (1 + 2 a) = 0$
Wende den Satz vom Nullprodukt an und setze die einzelnen Faktoren gleich $0$ .
$e^{2 a} = 0$ und $1 + 2 a = 0$
$e^{()} > 0$ : "e hoch irgendwas" ist immer größer als $0$ und damit auch nie gleich $0$ . Deswegen liefert die erste Gleichung keine Lösung.
Löse die zweite Gleichung nach a auf.
$\begin{array}{rrl} 1 + 2 a & = & 0 & | - 1 \\ 2 a & = & - 1 & | : 2 \\ a & = & - \frac{1}{2} \end{array}$
Für $a = - \frac{1}{2}$ ist der Wert der Ableitung an der Stelle $x = 2$ null.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ und $x \in ℝ$ .
Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von $f$ auf der Geraden mit der Gleichung $y = x - 2$ liegt. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
Überlege dir zunächst, was ein Wendepunkt ist. An diesem Punkt ändert sich die Krümmungsrichtung des Graphen. Du berechnest ihn, indem du alle Punkte bestimmst, an denen die zweite Ableitung Null ergibt, und die dritte Ableitung ungleich Null ist.
Leite nun die Funktion $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ drei mal nach x ab. Dies ergibt:
$\begin{array}{ll} f (x) & = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 \\ f^{'} (x) & = 3 x^{2} - 12 x + 11 \\ f^{''} (x) & = 6 x - 12 \\ f^{'''} (x) & = 6 \neq 0 \end{array}$
Um nun alle Punkte zu erhalten, an denen die zweite Ableitung Null ergibt, musst du $f^{''} (x)$ gleich Null setzen:
$\begin{array}{ll} 6 x - 12 & = 0 & | + 12 \\ 6 x & = 12 & | : 6 \\ x & = 2 \end{array}$
Nur für $x = 2$ ist die zweite Ableitung, also Null. Des Weiteren ist die dritte Ableitung immer ungleich Null, weswegen bei $x = 2$ ein Wendepunkt vorliegt.
Um zu überprüfen, ob dieser auf der Geraden mit der Gleichung $y = x - 2$ liegt, musst du die y-Koordinate des Funktionsgraphen von $f (x)$ an der Stelle $x = 2$ ausrechnen, und dann in die Geradengleichung einsetzen.Es ergibt sich:
$f (2) = 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 11 \cdot 2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0$
Die Koordinaten des Wendepunktes sind also $W (2 | 0)$ . Dieser Punkt erfüllt die Geradengleichung $y = x - 2$ : $2$ als x-Koordinate und $0$ als y-Koordinate eingesetzt ergibt $0 = 2 - 2$ . Dies ist eine wahre Aussage.
Deswegen liegt der Wendepunkt $W (2 | 0)$ der Funktion $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ auf der Geraden $y = x - 2$ .

Der Graph von $f$ wird verschoben. Der Punkt $(2 | 0)$ des Graphen der Funktion $f$ besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten $(3 | 2)$ . Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion $h$ . Geben Sie eine Gleichung von $h$ an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verschiebung von Funktionen
Denke zuerst darüber nach, um wie viel der Graph der Funktion $f$ in x- und in y-Richtung verschoben wurde. Der Punkt $(2 | 0)$ besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten $(3 | 2)$ . Der x-Wert hat also um 1 zugenommen und der y-Wert hat sich um 2 vergrößert.
Im Artikel Verschiebung von Funktionen, kannst du noch mal genau nachlesen, wie sich das Verschieben von Funktionen auf den Funktionsterm auswirkt.
Der Graph der Funktion $h (x)$ ist also um 1 nach rechts verschoben gegenüber der Funktion $f (x)$ . Um den Funktionsterm von $h (x)$ zu bestimmen, müssen wir also $f (x - 1)$ betrachten.
Da der Graph der Funktion $h (x)$ noch um 2 nach oben verschoben ist, ergibt sich insgesamt für den Funktionsterm von $h (x)$ :
$\begin{matrix} h (x) & = f (x - 1) + 2 \\ = (x - 1)^{3} - 6 \cdot (x - 1)^{2} + 11 \cdot (x - 1) - 6 + 2 \\ = (x - 1)^{3} - 6 \cdot (x - 1)^{2} + 11 \cdot (x - 1) - 4 \end{matrix}$
Die Gleichung von $h$ ist also: $h (x) = (x - 1)^{3} - 6 \cdot (x - 1)^{2} + 11 \cdot (x - 1) - 4$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto \ln (2 x + 3)$ mit maximaler Definitionsmenge $𝔻$ und Wertemenge $𝕎$ der Graph von $g$ wird mit $G_{g}$ bezeichnet.
Geben Sie $𝔻$ und $𝕎$ an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Hierfür musst du wissen, was ein Definitionsbereich und ein Wertebereich ist.
Definitionsbereich
Die Logarithmusfunktion ist für alle reellen Zahlen größer als $0$ definiert. Du berechnest also, wann das Innere des Logarithmus größer als $0$ ist.
$2 x + 3$ $=$ $0$ $- 3$
$2 x$ $=$ $- 3$ $: 2$
$x$ $=$ $- \frac{3}{2}$
In deiner Definitionsmenge dürfen also nur $x$ -Werte sein, die größer als $- \frac{3}{2}$ sind. Das schreibt man als Intervall auf:
$𝔻 =] - \frac{3}{2}; \infty]$
Wertebereich
Der Logarithmus "spuckt" Werte von $- \infty$ bis $+ \infty$ aus, also ist $𝕎 = ℝ$ .

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an $G_{g}$ im Schnittpunkt von $G_{g}$ mit der x-Achse. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte
Hier musst du wissen, wie man einen Schnittpunkt berechnet und eine Tangente aufstellt.
Schnittpunkt mit der x-Achse
Zuerst berechnet man den Schnittpunkt $x_{s}$ des Graphen von $g$ mit der $x$ -Achse, indem man den Funktionsterm gleich $0$ setzt:
$\begin{aligned} 0 & = \ln (2 x + 3) & | e^{()} \\ e^{0} = 1 & = 2 x + 3 & | - 3 \\ - 2 & = 2 x & | : 2 \\ - 1 & = x_{s} \end{aligned}$
Eine ln-Funktion kann man mit Hilfe der e-Funktion auflösen.
Es ist nach dem Schnittpunkt gefragt, also musst du das Ergebnis noch in Punktschreibweise angeben:
$S_{x} (- 1 | 0)$
Tangente aufstellen
Anschließend ermittelt man die Steigung von $g$ an der Stelle $x_{s}$ . Das entspricht der Ableitung von $g$ an der Stelle $x_{s}$ . Für die Ableitung musst du wissen, wie man die ln-Funktion ableitet, und die Kettenregel verwenden:
$g^{'} (x) = 2 \cdot \frac{1}{2 x + 3} = \frac{2}{2 x + 3}$
Für die Steigung an der Stelle $x_{s} = - 1$ musst du diesen Wert in die Ableitung einsetzen:
$g^{'} (x_{s}) = g^{'} (- 1) = \frac{2}{2 \cdot (- 1) + 3} = 2$
Damit hat die gesuchte Tangente $t (x) = m x + n$ den Anstieg $m = 2$ .
Da es sich bei $x_{s}$ um den Schnittpunkt von $g (x)$ mit der $x$ -Achse handelt, gilt $g (x_{s}) = g (- 1) = 0$ .
Tangente mittels Tangentenformel
Nach der Formel für die Tangente an einen Graphen kann man die Tangentengleichung wie folgt ermitteln:
$t (x)$ $=$ $g^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + g (x_{0})$
$=$ $g^{'} (x_{s}) (x - x_{s}) + g (x_{s})$
$=$ $2 (x - (- 1)) + 0$
$=$ $2 x + 2$
Alternative: Tangente durch Punkt einsetzen
Dazu setzt du in die allgemeine Tangentengleichung $t (x) = m x + n$ zuerst die Steigung $m = 2$ ein: $t (x) = 2 x + n$ .
Nun setzt du den Tangentenpunkt $(- 1 | 0)$ in die Tangentengleichung ein und löst nach $n$ auf.
$\begin{aligned} 0 & = & 2 \cdot (- 1) + n \\ 0 & = & - 2 + n & | + 2 \\ n & = & 2 \end{aligned}$
Damit ist die Gleichung für die Tangente $t (x) = 2 x + 2$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.
Die Funktion $g$ hat die maximale Definitionsmenge $] - \infty; 5]$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelfunktion
Eine mögliche Funktion mit der angegebenen maximalen Definitionsmenge $] - \infty; 5]$ ist z.B. die Funktion $g (x) = \sqrt{5 - x}$

Die Funktion $k$ hat in $x = 2$ eine Nullstelle und in $x = - 3$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von $k$ hat die Gerade mit der Gleichung $y = 1$ als Asymptote.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen-rationale Funktionen
$k$ hat:
bei $x = 2$ eine Nullstelle
bei $x = - 3$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
die Asymptote $y = 1$
Bei der Nullstelle ist der Zähler der Funktion $k$ gleich null für $x = 2$
$\Rightarrow$ Linearfaktor $(x - 2)$ im Zähler.
Bei der Polstelle ist der Nenner der Funktion $k$ gleich null für $x = - 3$
$\Rightarrow$ Linearfaktor $(x + 3)$ im Nenner.
Da die Polstelle keinen Vorzeichenwechsel hat, muss der Linearfaktor im Nenner eine gerade Potenz haben.
Wenn $y = 1$ Asymptote ist, dann haben die Linearfaktoren im Zähler und im Nenner die gleiche gerade Potenz.

Mögliche Funktionsgleichung: $k (x) = \frac{(x - 2)^{2}}{(x + 3)^{2}}$
Ebenso möglich ist auch: $k (x) = \frac{(x - 2)^{4}}{(x + 3)^{4}}$ usw.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$t (x)$	$=$	$g^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + g (x_{0})$
	$=$	$g^{'} (x_{s}) (x - x_{s}) + g (x_{s})$
	$=$	$2 (x - (- 1)) + 0$
	$=$	$2 x + 2$

$2 x + 3$	$=$	$0$	$- 3$
$2 x$	$=$	$- 3$	$: 2$
$x$	$=$	$- \frac{3}{2}$

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Definitionsbereich

Wertebereich

Schnittpunkt mit der x-Achse

Tangente aufstellen

Tangente mittels Tangentenformel

Alternative: Tangente durch Punkt einsetzen