Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Hierfür musst du wissen, was ein Definitionsbereich und ein Wertebereich ist.

Definitionsbereich

Die Logarithmusfunktion ist für alle reellen Zahlen größer als $0$ definiert. Du berechnest also, wann das Innere des Logarithmus größer als $0$ ist.

In deiner Definitionsmenge dürfen also nur $x$-Werte sein, die größer als $${\displaystyle -\frac{3}{2}}$$ sind. Das schreibt man als Intervall auf:

$𝔻=]-\frac{3}{2};\infty ]$

Wertebereich

Der Logarithmus "spuckt" Werte von $-\infty$ bis $+\infty$ aus, also ist $𝕎=ℝ$.

Hier musst du wissen, wie man einen Schnittpunkt berechnet und eine Tangente aufstellt.

Schnittpunkt mit der x-Achse

Zuerst berechnet man den Schnittpunkt $x_s$ des Graphen von $g$ mit der $x$-Achse, indem man den Funktionsterm gleich $0$ setzt:

$\begin{array}{r}\\ 0& =\ln (2x+3)& |e^{()}\\ \\ e^0=1& =2x+3& |-3\\ -2& =2x& |:2\\ -1& =x_s\end{array}$

Eine ln-Funktion kann man mit Hilfe der e-Funktion auflösen.

Es ist nach dem Schnittpunkt gefragt, also musst du das Ergebnis noch in Punktschreibweise angeben:

$S_x(-1|0)$

Tangente aufstellen

Anschließend ermittelt man die Steigung von $g$ an der Stelle $x_s$. Das entspricht der Ableitung von $g$ an der Stelle $x_s$. Für die Ableitung musst du wissen, wie man die ln-Funktion ableitet, und die Kettenregel verwenden:

$g^{\prime }(x)=2\cdot \frac{1}{2x+3}=\frac{2}{2x+3}$

Für die Steigung an der Stelle $x_s=-1$ musst du diesen Wert in die Ableitung einsetzen:

$g^{\prime }(x_s)=g^{\prime }(-1)=\frac{2}{2\cdot (-1)+3}=2$

Damit hat die gesuchte Tangente $t(x)=mx+n$ den Anstieg $m=2$.

Da es sich bei $x_s$ um den Schnittpunkt von $g(x)$ mit der $x$-Achse handelt, gilt $g(x_s)=g(-1)=0$.

Tangente mittels Tangentenformel

Nach der Formel für die Tangente an einen Graphen kann man die Tangentengleichung wie folgt ermitteln:

Alternative: Tangente durch Punkt einsetzen

Dazu setzt du in die allgemeine Tangentengleichung $t(x)=mx+n$ zuerst die Steigung $m=2$ ein: $t(x)=2x+n$.

Nun setzt du den Tangentenpunkt $(-1|0)$ in die Tangentengleichung ein und löst nach $n$ auf.

$\begin{array}{rll}0& =& 2\cdot (-1)+n\\ 0& =& -2+n& |+2\\ n& =& 2\end{array}$

Damit ist die Gleichung für die Tangente $t(x)=2x+2$.