Aufgaben zum Binomialkoeffizient

2
Beweise das Symmetriegesetz $(\begin{array}{c} n \\ n - k \end{array}) = (\begin{array}{c} n \\ k \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffinzient
$(\binom{n}{n - k})$
Benutze die Formel für Binomialkoeffizienten.
$= \frac{n!}{(n - k)! (n - (n - k))!}$
$n - (n - k) = n - n + k = k$
$= \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$
Hier steht bereits die Formel für Binomialkoeffizienten.
$= (\binom{n}{k})$

Beweise die Additionsformel $(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ k + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} n + 1 \\ k + 1 \end{array})$

4
Beweise: $\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) = 2^{n}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Es gilt folgende Formel aufgrund des Binomischen Lehrsatzes.
${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) a^{k} \cdot b^{n - k}$
Setze nun $a = 1$ und $b = 1$ , um die Aussage zu beweisen.
${(1 + 1)}^{n}$ $=$ ${(1 + 1)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) 1^{k} \cdot 1^{n - k}$
$2^{n}$ $=$ $\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array})$
5
Ein Delegation von 20 Parlamentariern soll aus 2 Parteien zusammengesetzt werden. Die Grüne hat 16 Fachleute, die Rote 10 Fachleute anzubieten. Aufgrund der Mehrheitsverhältnisse kann die Grüne 14 und die Rote 6 Sitze im Ausschuss beanspruchen. Wie viele verschiedene Zusammensetzungen sind möglich, wenn
keine weiteren Bedingungen gemacht werden

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Möglichkeiten Abgeordnete auf den jeweiligen Sitzen zu verteilen, ohne dabei die Reihenfolge zu berücksichtigen:
Bei Sitz 1 hat man die Wahl aus 16 Abgeordneten, bei Sitz 2 15 usw…
Anzahl der Möglichkeiten bei den Grünen $= \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{14!} = 120$
(Durch 14! wird geteilt, weil die Reihenfolge der Abgeordneten nicht relevant ist.)
Bei Sitz 1 hat man die Wahl aus 10 Abgeordneten, bei Sitz 2 hat man 9 usw….
Anzahl der Möglichkeiten bei den Roten $= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{6!} = 210$
(Durch 6! wird geteilt, weil die Reihenfolge der Abgeordneten nicht relevant ist.)
Anzahl der Möglichkeiten insgesamt $= 120 \cdot 210 = 25200$
Es gibt also 25200 Möglichkeiten.
Alternative Berechnung
Es gibt 14 Plätze für die BPF und 6 Sitze für die CSD.
Also 14 aus 16 und 6 aus 10 Möglichkeiten.
$(\binom{16}{14})$ und $(\binom{10}{6})$
Berechne nun die Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner und multipliziere sie miteinander.
$(\binom{16}{14}) \cdot (\binom{10}{6}) = 120 \cdot 210 = 25200$

ein bestimmtes Mitglied der Grünen auf alle Fälle im Ausschuss sitzen soll

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Ein Mitglied der Grünen ist sicher dabei. Die anderen 13 Fachleute können noch frei gewählt werden. Für die Roten gibt es keine Einschränkung.
Also 1 fester Parlamentarier und 13 aus den anderen 15, sowie 6 aus den 10 der Roten.
1 und $(\binom{15}{13})$ sowie $(\binom{10}{6})$
Berechne nun die Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner und multipliziere sie miteinander.
$1 \cdot (\binom{15}{13}) \cdot (\binom{10}{6}) = 1 \cdot 105 \cdot 210 = 22050$
Es gibt 22050 Möglichkeiten die Delegation aufzustellen.

3 bestimmte Kandidaten der Grünen von den Roten grundsätzlich abgelehnt werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Das ist nicht möglich!
Wenn nämlich drei Parlamentarier der Grünen grundsätzlich abgelehnt werden, dann hätten die Roten nur noch $16 - 3 = 13$ Möglichkeiten die 14 Sitze zu besetzen. Die Roten müssten also einlenken oder die Grünen noch einen weiteren Kandidaten aufstellen.
6
Das Produkt von allen Ziffern von Stefans vierstelliger Handy-PIN ist $21$ . Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für Stefans PIN? Gib sie alle an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Indem wir die Primfaktorzerlegung von $21$ bestimmen, wissen wir, welche Ziffern in Stefans Handy-PIN vorkommen. Die Primfaktorzerlegung von $21$ ist:
$21 = 7 \cdot 3$
Das bedeutet, dass in der PIN die Ziffern $7$ und $3$ , jeweils einmal vorkommen müssen. Es fehlen noch zwei Ziffern. Diese müssen eine $1$ sein, da eine Multiplikation mit $1$ das Produkt nicht verändert. Die Ziffer der PIN sind also $1$ , $1$ , $3$ , und $7_{}$ .
Es gibt 4! = 24 Permutationen für vier Ziffern. Weil die 1 jedoch doppelt auftritt, muss man 24 durch 2 teilen, also gibt es 12 verschiedene PIN.
Alternative Lösung: Wähle zuerst die Stellen aus, an denen die 1er stehen. Das heißt, wir wählen aus den vier Stellen zwei aus, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt (schließlich sind beide Ziffer eine $1$ und nicht voneinander unterscheidbar). Dies sind $(\binom{4}{2})$ Möglichkeiten.
Nachdem wir die Anzahl der Stellen für die beiden 1er gefunden haben, müssen wir noch die beiden Ziffer $3$ und $7$ auf die restlichen zwei Stellen verteilt werden. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten.
Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist:
$(\binom{4}{2}) \cdot 2 = 12$
7
Wenn die Bundesliga auf 20 Mannschaften vergrößert werden soll, wie viele Spiele finden dann in jeder Saison statt, wenn jede Mannschaft gegen jede andere spielt? Beachte, dass es Hin- und Rückspiel gibt, also je zwei Mannschaften zwei mal gegeneinander spielen.
$2 \cdot (\begin{array}{c} 20 \\ 2 \end{array}) = 380$
$2 \cdot 20 = 40$
$(\begin{array}{c} 20 \\ 4 \end{array}) = 4845$
$(\begin{array}{c} 20 \\ 2 \end{array}) = 190$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Es spielen jeweils 2 der 20 Mannschaften gegeneinander. Die Aufgabe besteht darin "2 aus 20" zu ziehen. Hierbei wird die Reihenfolge beachtet, da es ein Heimrecht im Fussball gibt, und nicht zurückgelegt, da eine Mannschaft nicht gegen sich selbst spielen kann.
Außerdem spielen zwei Mannschaften 2 mal gegeneinander.
$2 \cdot (\binom{20}{2}) = 2 \cdot 190 = 380$
Es würden also 380 Spiele in der Saison stattfinden, wenn die Bundesliga 20 Mannschaften hätte.
8
Nimm an, du hast zwei rote und drei blaue Bausteine, die untereinander nur durch die Farbe unterschieden werden können. Wie viele Möglichkeiten gibt es, damit einen vier Steine hohen Turm zu bauen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Du kannst einen vier Steine hohen Turm entweder mit 1 roten und 3 blauen Steinen oder 2 roten und 2 blauen Steinen bauen.
Die Anzahl der Möglichkeiten, den Turm aus 1 roten und 3 blauen Steinen zu bauen entspricht der Aufgabe 1 roten Stein an eine der 4 möglichen Positionen zu legen und 3 blaue Steine an die restlichen 3 Positionen zu legen. Also "1 aus 4" und "3 aus 3". Hierbei wird die Reihenfolge nicht beachtet, weil die blauen Steine nicht unterscheidbar sind, und es wird nicht zurückgelegt.
$(\binom{4}{1}) \cdot (\binom{3}{3}) = 4 \cdot 1 = 4$
Die Anzahl der Möglichkeiten, den Turm aus 2 roten und 2 blauen Steinen zu bauen entspricht der Aufgabe 2 rote Steine an zwei der 4 möglichen Positionen zu legen und 2 blaue Steine an die restlichen 2 Positionen zu legen. Also "2 aus 4" und "2 aus 2". Hierbei wird die Reihenfolge nicht beachtet, weil die blauen und roten Steine nicht unterscheidbar sind, und es wird nicht zurückgelegt.
$(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{2}{2}) = 6 \cdot 1 = 6$
Insgesamt ergeben sich also $4 + 6 = 10$ Möglichkeiten den Turm zu bauen.
Alternativer Lösungsweg
Wenn alle (insgesamt $5$ ) Steine unterschiedlich wären, gäbe es $\frac{5!}{(5 - 4)!}$ Möglichkeiten.
Da aber einerseits $2$ Steine gleich (rot) und drei Steine in sich auch gleich (blau) sind, muss diese Zahl noch durch $2! \cdot 3!$ geteilt werden, sprich insgesamt $\frac{5!}{(5 - 4)! \cdot 2! \cdot 3!} = \frac{120}{12} = 10$ Möglichkeiten.
9
Gib die Anzahl der möglichen Permutationen an.
ABC

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Permutation bedeutet ziehen ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge.
$\Rightarrow 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ Möglichkeiten

DEMO

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Permutation bedeutet ziehen ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge.
$\Rightarrow 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ Permutationen

SAAL

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Wähle für die zwei gleichen Buchstaben 2 aus 4 Plätzen aus, ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Für die zwei anderen Buchstaben gibt es jeweils noch 2 Möglichkeiten zur Anordnung.
$\Rightarrow (\binom{4}{2}) \cdot 2! = 12$

OTTO

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Wähle aus den vier Plätzen zwei aus, an denen die Buchstaben T stehen. Für die anderen beiden Buchstaben gibt es nurnoch eine Möglichkeit, weil sie sich nicht unterscheiden.
$\Rightarrow (\binom{4}{2}) = 6$

ANANAS

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Für die drei A's wählt man aus den sechs Plätzen drei aus, ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.
Für die zwei N's wählt man aus den restlichen drei Plätzen zwei aus.
Übrig bleibt ein Platz für den Buchstaben S.
$\Rightarrow (\binom{6}{3}) \cdot (\binom{3}{2}) \cdot 1 = 20 \cdot 3 = 60$ Permutationen.
10
Ein Bridgespiel enthält 52 Karten, davon sind vier Asse. Jemand zieht 15 Karten. In wieviel Fällen enthalten diese 15 Karten
kein Ass

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Insgesamt gibt es $(\binom{52}{15})$ Möglichkeiten aus den 52 Karten 15 zu ziehen. Dabei zieht man die Karten ohne zurückzulegen und ohne die Reihenfolge zu beachten.
Im ganzen Kartenstapel sind vier Asse, die man nicht ziehen darf. Man zieht also aus den restlichen 48 Karten 15, ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen.
$\Rightarrow (\binom{48}{15}) = 1 093 260 079 344$

genau ein Ass

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Wähle zuerst eine Karte aus den vier Assen (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge). $\Rightarrow (\binom{4}{1})$
Wähle anschließend aus den restlichen 48 Karten 14 aus (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge). $\Rightarrow (\binom{48}{14})$
Insgesamt ergeben sich also $(\binom{4}{1}) \cdot (\binom{48}{14}) = 1 929 282 492 960$ Möglichkeiten.

mindestens ein Ass

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
„Mindestens ein Ass“ bedeutet „genau ein Ass“ oder „genau zwei Asse“ oder „genau drei Asse“ oder „genau vier Asse“. Das bedeutet man kann die Möglichkeiten für die jeweiligen Ereignisse addieren.
genau ein Ass: Wähle aus den vier Assen ein Ass aus und aus den restlichen 48 Karten 14 aus. $\Rightarrow (\binom{4}{1}) \cdot (\binom{48}{14})$ Möglichkeiten
genau zwei Asse: Wähle aus den vier Assen zwei aus und aus den restlichen 48 Karten 13 aus. $\Rightarrow (\binom{4}{2}) \cdot (\binom{48}{13})$ Möglichkeiten
genau drei Asse: Wähle aus den vier Assen drei aus und aus den restlchen 48 Karten zwölf aus. $\Rightarrow (\binom{4}{3}) \cdot (\binom{48}{12})$ Möglichkeiten
genau vier Asse: Wähle aus den vier Assen vier aus (eine Möglichkeit) und aus den restlichen 48 Karten elf aus. $\Rightarrow (\binom{4}{4}) \cdot (\binom{48}{11})$ Möglichkeiten
$\Rightarrow$ mindestens ein Ass: Addiere die einzelnen Teilergebnisse:
$(\binom{4}{1}) \cdot (\binom{48}{14}) + (\binom{4}{2}) \cdot (\binom{48}{13}) + (\binom{4}{3}) \cdot (\binom{48}{12}) + (\binom{4}{4}) \cdot (\binom{48}{11}) =$
$= 3 388 121 326 976$

höchstens ein Ass

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
„Höchstens ein Ass“ bedeutet entweder „kein Ass“ oder „genau ein Ass“. Die Möglichkeiten für die beiden Ereignisse kann man also einfach addieren, da sie keine Schnittmenge haben.
Kein Ass: Wähle aus 48 Karten 15 aus $\Rightarrow (\binom{48}{15})$
Genau ein Ass: Wähle aus den vier Assen ein Ass aus und aus den restlichen 48 Karten 14 aus. $\Rightarrow (\binom{4}{1}) \cdot (\binom{48}{14})$
$\Rightarrow$ Höchstens ein Ass: Addiere die Möglichkeiten der einzelnen Ereignisse zusammen.
$(\binom{48}{15}) + (\binom{4}{1}) \cdot (\binom{48}{14}) = 3 022 542 572 304$

genau 2 Asse

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Man zieht die Karten ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.
Wähle aus den vier Assen zwei aus, dafür gibt es $(\binom{4}{2})$ Möglichkeiten. Für jede dieser Möglichkeiten kann man aus den restlichen 48 Karten noch 13 ziehen. Dafür gibt es $(\binom{48}{13})$ Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es also $(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{48}{13}) = 1 157 569 495 776$

alle 4 Asse?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Man zieht die Karten ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.
Für die vier Asse gibt es nur eine Möglichkeit. Die restlichen 11 Karten zieht man aus dem Stapel mit 48 Karten.
$(\binom{4}{4}) \cdot (\binom{48}{11}) = 1 \cdot (\binom{48}{11}) = 22 595 200 368$
11
5 Äpfel sollen an 3 Kinder verteilt werden. Da die Kinder kein Messer bei sich haben, können nur ganze Äpfel verteilt werden.
Auf wie viele Arten ist das möglich?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Man verteilt 5 Äpfel auf 3 Kinder, dabei kommt es nur darauf an wie viele Äpfel jedes Kind bekommt, da man die Äpfel nicht unterscheidet. Man zieht also 5 mal mit Zurücklegen, aber ohne die Reihenfolge zu beachten.
$\Rightarrow (\binom{n + k - 1}{k}) = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = (\binom{7}{5}) = 21$
12
Wie viele Zahlen lassen sich als Summe oder Differenz aus jeweils zwei der Primfaktoren der Zahl 114 bilden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Zerlege $114$ in Primfaktoren.
$114 = 2 \cdot 3 \cdot 19$
Die Primfaktoren der Zahl $114$ sind $2$ , $3$ und $19$ .
Summen
Aus den $3$ Zahlen $2$ , $3$ und $19$ lassen sich folgende Summen bilden:
$2 + 3 = 5$
$2 + 19 = 21$
$3 + 2 = 5$
$3 + 19 = 22^{}$
$19 + 2 = 21$
$19 + 3 = 22$
Da die Addition kommutativ ist, ergeben je zwei der Möglichkeiten das gleiche Ergebnis (z.B. $2 + 3 = 5$ und $3 + 2 = 5$ )
Also lassen sich so insgesamt $3$ Zahlen durch Summenbildung darstellen: $5$ , $21$ und $22$ .
Es gibt also drei Möglichkeiten die Primfaktoren zu Addieren.
Differenzen
Aus den Zahlen $2$ , $3$ und $19$ lassen sich folgende Differenzen bilden:
$2 - 3 = - 1$
$2 - 19 = - 17$
$3 - 2 = 1$
$3 - 19 = - 16$
$19 - 2 = 17$
$19 - 3 = 16^{}$
Alle Ergebnisse sind voneinander verschieden.
Es gibt also sechs Möglichkeiten die Primfaktoren zu subtrahieren.
Alle Möglichkeiten
Somit gibt es insgesamt $9$ Möglichkeiten Summen und Differenzen aus den Primfaktoren der Zahl $114$ zu bilden.
Diese wären:
$2 + 3 = 5$
$2 + 19 = 21 $
$3 + 19 = 22$
$2 - 3 = - 1 $
$2 - 19 = - 17 $
$3 - 19 = - 16 $
$3 - 2 = 1 $
$19 - 2 = 17 $
$19 - 3 = 16^{}$
Da keines der Ergebnisse der Addition oder Subtraktion doppelt vorkommt, lassen sich durch Summen- und Differenzbildung der Primfaktoren von $114$ auch $9$ Zahlen erzeugen.
13
Die Fußballvereine aus Vilsbiburg, Seyboldsdorf, Frontenhausen und Geisenhausen tragen ein Turnier aus, bei dem jeder Verein gegen jeden anderen Verein genau einmal spielt. Jeder Verein erhält für einen Sieg drei Punkte, für ein Unentschieden einen Punkt und für eine Niederlage keinen Punkt.
Wie viele Punkte können bei den sechs Spielen des Turniers insgesamt vergeben werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Insgesamt gibt es vier Mannschaften. Jede Mannschaft soll gegen jede andere Mannschaft spielen, d.h. jede Mannschaft macht $3$ Spiele. Da es vier Mannschaften gibt, ergeben sich $4 \cdot 3 = 12$ Spiele. Da jedoch in jedem Spiel $2$ Mannschaften aufeinander treffen, wurden bei dieser Rechnung die Spiele doppelt gezählt, d.h. insgesamt gibt es $\frac{12}{2} = 6$ Spiele.
Um die Gesamtpunktevergabe angeben zu können, muss betrachtet werden, wie viele der Spiele unentschieden ausgehen. Beachte, dass bei einem Sieg $3$ Punkte (für die Siegermannschaft) und bei einem Unentschieden $2$ Punkte (je einen für jede Mannschaft) vergeben werden.
Unentschieden
0
1
2
3
4
5
6
Punkte
$6 \cdot 3 + 0 \cdot 2 = 18$
$5 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 17$
$4 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 16$
$3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 15$
$2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 14$
$1 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 13$
$0 \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 12$

Bei dem Turnier erhielt Vilsbiburg sieben Punkte, Seyboldsdorf fünf Punkte, Frontenhausen drei Punkte und Geisenhausen einen Punkt. Wie endeten die einzelnen Spiele (nur Sieg bzw. Unentschieden)?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Schreibe die Angabe in eine Tabelle:
Verein
Punkte
Vilsbiburg
7 Punkte
Seyboldsdorf
5 Punkte
Frontenhausen
3 Punkte
Geisenhausen
1 Punkte
Mache folgende Überlegung: Vilsbiburg hat $7$ Punkte, d.h. 2-mal gewonnen und 1-mal unentschieden gespielt. Seyboldsdorf hat $5$ Punkte, d.h. 1-mal gewonnen und 2-mal unentschieden gespielt.
Da also weder Vilsbiburg, noch Seyboldsdorf verloren haben, müssen sie gegeneinander unentschieden gespielt haben!
Damit folgt, dass Vilsbiburg die anderen Spiele gegen Frontenhausen und Geisenhausen gewonnen hat.
Da Frontenhausen nun bereits gegen Vilsbiburg verloren hat, muss es seine $3$ Punkte durch einen Sieg erreicht haben (und nicht durch $3$ Unentschieden).
Da Seyboldsdorf und Vilsbiburg kein Spiel verloren haben, muss Frontenhausen gegen Geisenhausen gewonnen haben.
Damit hat Seyboldsdof gegen Frontenhausen gewonnen.
Es verbleibt noch ein Unentscheiden zwischen Geisenhausen und Seyboldsdorf (da Geisenhausen $1$ Punkt hat).
Das Ergebnis ist noch einmal in der folgenden Tabelle verdeutlicht:
Verein
Punkte
Verein
Punkte
Vilsbiburg
1
Seyboldsdorf
1
Vilsbiburg
3
Frontenhausen
0
Vilsbiburg
3
Geisenhausen
0
Frontenhausen
3
Geisenhausen
0
Seyboldsdorf
3
Frontenhausen
0
Geisenhausen
1
Seyboldsdorf
1
14
Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen gibt es
mit genau zwei Ziffern $5$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Gesucht ist eine dreistellige Zahl mit genau zwei $5$ ern.
Wähle aus $3$ Plätzen $2$ aus, an denen die beiden 5er stehen. Die dritte Stelle hat noch $9$ Ziffern zur Verfügung. Die Zahl $055$ wird dabei mitgezählt, ist aber keine dreistellige Zahl und muss deshalb abgezogen werden.
$(\binom{3}{2}) \cdot (\binom{9}{1}) - 1 = 26$
Es gibt also 26 Möglichkeiten.

mit genau einer Ziffer $5.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Gesucht ist eine dreistellige Zahl mit genau einer $5$ .
Wähle aus den drei Stellen eine aus, an die du die $5$ setzt. Für die beiden anderen Stellen stehen dann noch $9$ Ziffern zur Verfügung. Allerdings werden $18$ Zahlen zu viel gezählt, die eine $0$ oder zwei 0en am Anfang stehen haben.
$(\binom{3}{1}) \cdot (\binom{9}{1}) \cdot (\binom{9}{1}) - 18 = 225$
Es gibt also 225 Möglichkeiten.
15
$5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$ . Aus den Primfaktoren $5, 7$ und $11$ lassen sich viele verschiedene Produkte bilden.
Wie viele verschiedene Produkte (mit mindestens zwei Faktoren) lassen sich aus den Primfaktoren $5, 7$ und $11$ bilden, wenn jeder Faktor höchstens einmal vorkommen darf?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Produkte mit zwei Faktoren:
Hier gilt $n = 3$ (drei Faktoren zur Auswahl) und $k = 2$ (Produkt besteht aus genau zwei Faktoren). Es gibt also
$(\binom{3}{2}) = \frac{3!}{2! (3 - 2)!} = \frac{6}{2} = 3$
Möglichkeiten:
$5 \cdot 7 = 35$
$5 \cdot 11 = 55$
$7 \cdot 11 = 77$
Es gibt nur ein Produkt mit drei Faktoren: $5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$ .
Insgesamt gibt es also vier Produkte.
Hinweis:
In dieser Lösung wird nicht zwischen Produkten unterschieden, die nur in der Reihenfolge der Faktoren anders sind. Wenn man doch z.B. $5 \cdot 7$ und $7 \cdot 5$ unterscheiden möchte, gibt es $12$ verschiedene Produkte:
Sechs Produkte mit zwei Faktoren:
$5 \cdot 7$ , $7 \cdot 5$ , $5 \cdot 11$ , $11 \cdot 5$ , $7 \cdot 11$ und $11 \cdot 7$ .
Sechs Produkte mit drei Faktoren:
$5 \cdot 7 \cdot 11$ , $5 \cdot 11 \cdot 7$ , $7 \cdot 5 \cdot 11$ , $7 \cdot 11 \cdot 5$ , $11 \cdot 5 \cdot 7$ und $11 \cdot 7 \cdot 5$
Das entspricht dem Modell "ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge".
Es gibt $3$ Faktoren, bei einem Produkt mit zwei Faktoren ist also $n = 3$ und $k = 2$ und es gibt $\frac{n!}{(n - k)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{6}{1} = 6$ Möglichkeiten.
Bei einem Produkt mit $3$ Faktoren ist $n = k = 3$ sind es $\frac{n!}{(n - k)!} = \frac{3!}{0!} = \frac{6}{1} = 6$ Möglichkeiten (oder du nimmst einfach die Anzahl der Permutationen von drei Elementen).
Benutze hier das Modell "ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen", da beim multiplizieren die Reihenfolge keine Rolle spielt und jeder Faktor höchstens einmal vorkommen darf. Berechne also mit Binomialkoeffizient. Unterscheide dabei zwei Fälle, Produkte mit zwei und Produkte mit drei Faktoren.

Berechne die Differenz des kleinsten und des größten dieser Produkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Hier gilt wieder $n = 3$ und diesmal $k = 3$ , da alle drei Faktoren im Produkt vorkommen.
Mit $(\binom{3}{3}) = 1$ folgt, dass es hier nur eine Möglichkeit $5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$ gibt.
$\Rightarrow$ Es gibt also insgesamt vier Möglichkeiten, die Differenz zwischen der größten und kleinsten Lösung ist $385 - 35 = 350$ .
16
Zum Ausklang von Judits Geburtstagsfeier wird Eis angeboten. Es gibt fünf Sorten: Erdbeere, Himbeere, Schokolade, Vanille und Zitrone.
Jedes Kind darf sich drei Kugeln unterschiedlicher Sorten aussuchen. Wie viele Kombinationen sind möglich?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Es werden $3$ Eissorten aus $5$ ausgewählt, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt und keine Eissorte doppelt vorkommen darf. Benutze also das Modell "ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen" aus der Kombinatorik, also den Binomialkoeffizienten.
$(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}) = \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = 10$
Alternative Interpretation der Aufgabenstellung
Wenn du die Aufgabe so liest, dass jedes Kind gar nicht genau $3$ , sondern auch weniger Kugeln Eis essen darf, dann gibt es sogar noch mehr Möglichkeiten!
Es gibt die oben berechneten $10$ Möglichkeiten für den Fall, dass drei Kugeln genommen werden. Zudem gibt es nun aber noch die Möglichkeiten, dass
zwei Kugeln,
eine Kugel oder
keine Kugel
genommen wird. Die Berechnung erfolgt wie oben.
Es gibt $(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}) = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = 10$ Möglichkeiten $2$ Kugeln aus $5$ verschiedenen Sorten zu wählen.
Es gibt $(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}) = \frac{5!}{1! \cdot (5 - 1)!} = 5$ Möglichkeiten eine Sorte auszuwählen.
Eine Möglichkeit gibt es, keine Kugel zu wählen.
$\begin{array}{llcccccccc} \Rightarrow & (\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}) & + & (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}) & + & (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}) & + & (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array}) \\ = & 10 & + & 10 & + & 5 & + & 1 \\ = & 26 \end{array}$
Insgesamt sind es dann also $26$ Möglichkeiten.

Wie viele Zusammenstellungen gibt es, wenn die drei Kugeln auch von derselben Sorte sein dürfen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Es werden $3$ Eissorten aus $5$ ausgewählt, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt und jede Eissorten mehrmals vorkommen darf. Benutze also das Modell "ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen" aus der Kombinatorik.
Berechne den Binomialkoeffizienten.
$(\begin{array}{c} 5 + 3 - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array})$
$ = \frac{7!}{3! \cdot (7 - 3)!} = 35$
Es gibt also $35$ Möglichkeiten, wenn die drei Kugeln auch von derselben Sorte sein dürfen.

Unentschieden	0	1	2	3	4	5	6
Punkte	$6 \cdot 3 + 0 \cdot 2 = 18$	$5 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 17$	$4 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 16$	$3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 15$	$2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 14$	$1 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 13$	$0 \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 12$

Verein	Punkte
Vilsbiburg	7 Punkte
Seyboldsdorf	5 Punkte
Frontenhausen	3 Punkte
Geisenhausen	1 Punkte

Verein	Punkte	Verein	Punkte
Vilsbiburg	1	Seyboldsdorf	1
Vilsbiburg	3	Frontenhausen	0
Vilsbiburg	3	Geisenhausen	0
Frontenhausen	3	Geisenhausen	0
Seyboldsdorf	3	Frontenhausen	0
Geisenhausen	1	Seyboldsdorf	1

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	$=$	$\frac{14!}{3! \cdot (14 - 3)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 10 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{2184}{6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$364$

	$=$	$\frac{23!}{19! \cdot (23 - 19)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\frac{23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{212520}{24}$
	↓	Verieinfache.
	$=$	$8855$

$\frac{19!}{16! \cdot (19 - 16)!}$	$=$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{16 \cdot 15 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\frac{19 \cdot 18 \cdot 17}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{5814}{6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$969$

$\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - k - 1)!}$	$=$	$\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot ((n - 1) - (k - 1))!} + \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - 1 - k)!}$
	↓	$(n - 1) - (k - 1) = n - k$ und schreibe $(n - 1 - k)$ als $(n - k - 1)$ .
	$=$	$\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - k - 1)!}$
	↓	Erweitere den ersten Bruch mit $k$ und den zweiten mit $(n - k)$ .
	$=$	$\frac{k \cdot (n - 1)!}{k \cdot (k - 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k) (n - k - 1)!}$
	↓	Forme die Fakultäten um: $k \cdot (k - 1)! = k!$ $(n - k) \cdot (n - k - 1)! = {(n - k)}^{}!$ $(n - k) \cdot (n - k - 1)! = (n - k)!$
	$=$	$\frac{k \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\frac{k \cdot (n - 1)! + (n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	Nutze das Distributivgesetz.
	$=$	$\frac{(k + n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	$k + n - k = n$
	$=$	$\frac{n \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	$n \cdot (n - 1)! = n!$
	$=$	$\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	Hier steht bereits die Formel für Binomialkoeffizienten.
	$=$	$= (\binom{n}{k})$

Aufgaben zum Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient und Fakultät

Binomialkoeffizient und Fakultät

Binomialkoeffizient und Fakultät

Alternative Berechnung

Alternativer Lösungsweg

Summen

Differenzen

Alle Möglichkeiten

Alternative Interpretation der Aufgabenstellung

${(1 + 1)}^{n}$	$=$	${(1 + 1)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) 1^{k} \cdot 1^{n - k}$
$2^{n}$	$=$	$\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array})$