Aufgaben zur Berechnung von Längen im Koordinatensystem

Lerne hier, den Abstand zwischen Punkten zu berechnen und die Länge von Strecken im Koordinatensystem zu bestimmen.

1
Berechne die Länge der Strecke $[A B]$ mithilfe der angegebenen Koordinaten
A(2|8), B(2|2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Längen im Koordinatensystem
Trage die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Der Punkt A liegt höher als der Punkt B. Außerdem ist die Strecke [AB] parallel zur y-Achse, weil die Punkte A und B den gleichen x-Wert (Rechtswert) haben.
Berechne die Länge der Strecke [AB], indem du den y-Wert des unteren Punktes von dem y-Wert des oberen Punktes subtrahierst.
$A B = y_{A} - y_{B}$
Setze nun die y-Koordinaten von A und B ein.
$A B = 8 - 2 = 6$
Antwort: die Strecke [AB] hat die Länge 6.

A(-3|-2), B(5|-2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Längen im Koordinatensystem
Trage die Punkte A und B in ein Koordinatensystem ein.
Der Punkt B liegt rechts von dem Punkt A. Außerdem ist die Strecke [AB] parallel zur x-Achse, da die beiden Punkte den gleichen y-Wert (Hochwert) haben.
Berechne die Länge der Strecke [AB], indem du den x-Wert des Punktes, der weiter links liegt ( $x_{A}$ ), von dem x-Wert des Punktes, der weiter rechts liegt ( $x_{B}$ ), subtrahierst.
$A B = x_{B} - x_{A}$
Setze die gegebenen x-Werte ein.
$\begin{array}{rcl} A B & = & 5 - (- 3) \\ = & 5 + 3 = 8 \end{array}$
Antwort: Die Strecke [AB] hat die Länge 8.

A(-2|3), B(1|-1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Längen im Koordinatensystem
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Berechne die Länge der Katheten. Die Kathete 1 ist parallel zur x-Achse und die Kathete 2 ist parallel zur y-Achse.
$Kathete 1 = 1 - (- 2) = 3$
$Kathete 2 = 3 - (- 1) = 4$
Wende den Satz des Pythagoras an. Die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse.
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$
$A B = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$
Die Strecke [AB] hat die Länge 5.
2
Berechne die Länge der Strecke $[A B]$ .

Längen im Koordinatensystem
Lies die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ aus dem Koordinatensystem ab.
$A (3 | - 1)$ und $B (3 | 5)$
Der Punkt $B$ liegt höher als der Punkt $A$ . Berechne nun die Länge der Strecke [ $A B$ ], indem du den $y$ -Wert des unteren Punktes $A$ von dem $y$ -Wert des oberen Punktes $B$ subtrahierst.
$A B = y_{B} - y_{A}$
Setze die gegebenen Koordinaten der Punkte ein.
$\begin{array}{l} A B = 5 - (- 1) \\ = 5 + 1 = 6 \end{array}$
Antwort: Die gegebene Strecke hat die Länge 6.

Längen im Koordinatensystem
Lies die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ aus dem Koordinatensystem ab.
$A (4 | 3)$ und $B (- 3 | 3)$
Der Punkt $A$ liegt weiter rechts als der Punkt $B$ . Außerdem ist die Strecke parallel zur x-Achse. Berechne die Länge von $[A B]$ , indem du den $x$ -Wert von $B$ von dem $x$ -Wert von $A$ subtrahierst.
$A B = x_{A} - x_{B}$
Setze die Koordinaten von $A$ und $B$ ein.
$\begin{array}{l} A B = 4 - (- 3) \\ = 4 + 3 = 7 \end{array}$
Antwort: Die Strecke $[A B]$ hat die Länge $7$ .

$\sqrt{73}$ Längeneinheiten
8 Längeneinheiten
3 Längeneinheiten
11 Längeneinheiten

Längen im Koordinatensystem
Lies die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ aus dem Koordinatensystem ab.
$A (6 | 5)$ und $B (- 2 | 2)$
Die Länge der Strecke $[A B]$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
Berechne zunächst die Längen der Katheten. Beachte dabei, dass Kathete 1 parallel zur x-Achse und Kathete 2 parallel zur y-Achse ist.
$Kathete1 = 6 - (- 2) = 6 + 2 = 8$
$Kathete2 = 5 - 2 = 3$
Berechne nun die Länge der Strecke $[A B]$ mit dem Satz des Pythagoras.
$(A B)^{2} = (Kathete1)^{2} + (Kathete2)^{2}$
Setze die errechneten Längen der Katheten ein.
$\begin{array}{l} (A B)^{2} = 8^{2} + 3^{2} \\ = 64 + 9 \\ = 73 \end{array}$
Ziehe nun auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel
$A B = \sqrt{73}$
Antwort: Die Strecke $[A B]$ hat die Länge $\sqrt{73}$ .
3
Berechne die Längen der Strecken a,b,c und d

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Längen im Koordinatensystem
In der Grafik sieht man, dass die Seiten c und d parallel zu den Achsen liegen.
Da die Seite d parallel zur y-Achse ist, verwenden wir die Formel
$d = C D = y_{o b e n} - y_{u n t e n}$
$d = 5 - 2 = 3$
Die Seite c ist parallel zur x-Achse, also verwendet man die Formel
$c = A B = x_{r e c h t s} - x_{l i n k s}$
$c = 5 - 1 = 4$
Die Seiten a und b liegen nicht parallel zu den Achsen. Deshalb verwendet man Pythagoras, um die Längen zu berechnen.
$a = B C = \sqrt{(x_{C} - x_{B})^{2} + (y_{C} - y_{B})^{2}}$
$b = A C = \sqrt{(x_{C} - x_{A})^{2} + (y_{C} - y_{A})^{2}}$
$a = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{2}$
$b = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Längen im Koordinatensystem
In der Grafik sieht man, dass die Seiten c und d parallel zu den Achsen liegen.
Da die Seite d parallel zur y-Achse ist, verwenden wir die Formel
$d = C D = y_{o b e n} - y_{u n t e n}$
$d = 5 - (- 1) = 6$
Die Seite c ist parallel zur x-Achse, also verwendet man die Formel
$c = A B = x_{r e c h t s} - x_{l i n k s}$
$c = 4 - (- 3) = 7$
Die Seiten a und b liegen nicht parallel zu den Achsen. Deshalb verwendet man Pythagoras, um die Längen zu berechnen.
$a = B C = \sqrt{(x_{C} - x_{B})^{2} + (y_{C} - y_{B})^{2}}$
$= \sqrt{(2 - 4)^{2} + (5 - (- 1))^{2}} = \sqrt{4 + 36} = 2 \sqrt{10}$
$b = A C = \sqrt{(x_{C} - x_{A})^{2} + (y_{C} - y_{A})^{2}}$
$ = \sqrt{(2 - (- 3)^{2} + (5 - (- 1))^{2}} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$

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