Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Lerne mit diesen Übungsaufgaben die Lagebeziehung von Geraden und Ebenen zu untersuchen. Schaffst du sie alle?

1
Bestimme jeweils die Schnittmenge von Ebene und Gerade.
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = - 3$ und $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = - 3$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$
Setze $g$ in $E_{1}$ ein.
$(3 + r \cdot 1) + (4 + r \cdot 1) - 2 \cdot (9 + r \cdot 3) = - 3$
Vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.
$- 4 \cdot r - 11 = - 3$
$\Rightarrow r = - 2$
Da für $r$ ein reeller Wert rauskommt, schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze $r$ in $g$ ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + (- 2) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S (1 | 2 | 3)$
$\Rightarrow E_{1} \cap g = S (1 | 2 | 3)$

$E_{1} : x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 8$ und $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E_{1} : x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 8$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
Setze $g$ in $E_{1}$ ein.
$(0 + r \cdot 1) - (0 + r \cdot 2) + 2 \cdot (2 + r \cdot - 1) = - 8$
Vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.
$- 3 \cdot r + 4 = - 8$
$\Rightarrow r = 4$
Da für $r$ ein reeler Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze $r$ in $g$ ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$S = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 2 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S = (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 2 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S = (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 2 \end{array})$
$\Rightarrow E_{1} \cap g = (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 2 \end{array})$

$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 2$ und $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 2$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
Setze g in $E_{1}$ ein und vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.
$(1 + r \cdot 4) + (3 + r \cdot 2) - 2 \cdot (2 + r \cdot 3) = 2$
$1 + 4 \cdot r + 3 + 2 \cdot r - 4 - 6 \cdot r = 2$
$\Rightarrow 0 = 2$
Da für kein $r$ die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade parallel und haben keinen Schnittpunkt.
$\Rightarrow$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
$\Rightarrow E_{1} \cap g = ⌀$

$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 0$ und $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 0$
und $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
Setze g in $E_{1}$ ein.**
$(1 + 4 r) + (3 + 2 r) - 2 \cdot (2 + 3 r) = 0$
Versuche nach r aufzulösen.
$\begin{array}{l} 1 + 4 r + 3 + 2 r - 4 - 6 r = 0 \\ \Rightarrow 0 = 0 \end{array}$
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene $E_{1}$ .
$\Rightarrow$ Alle Punkte der Gerade liegen in $E_{1}$ .
$\Rightarrow$ Die Gerade liegt in der Ebene.
$\Rightarrow E_{1} \cap g = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
1. Möglichkeit (g in E einsetzen)
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
Setze g in E ein.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0 \\ (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 + r \\ - r \\ 1 - 2 r \end{array}) = 0 \end{array}$
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r Aufzulösen.
$\begin{array}{l} (1 + r) - 3 r - (1 - 2 r) = 0 \\ \Rightarrow 0 = 0 \end{array}$
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.
Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.
$\Rightarrow$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.
$\Rightarrow E \cap g = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
2. Möglichkeit (Ebene von Normalform in Koordinatenform)
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$
Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = 0 \\ x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} - (1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot (- 1)) = 0 \end{array}$
Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.
$\Rightarrow E : x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} = 4$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
$(2 + r) + 3 \cdot (1 - r) - (1 - 2 r) = 4$
Setze g in die Koordinatenform ein
$2 + r + 3 - 3 r - 1 + 2 r = 4$
$\Rightarrow 4 = 4$
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene $E_{1}$ .
$\Rightarrow$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.
$\Rightarrow E \cap g = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
1. Möglichkeit
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Setze g in E ein.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0 \\ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 + r \\ 2 - 2 r \\ r \end{array}) = 0 \end{array}$
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
$\begin{array}{l} 3 + r - (2 - 2 r) - 3 r = 0 \\ \Rightarrow 1 = 0 \end{array}$
Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade parallel und haben keinen Schnittpunkt.
$\Rightarrow$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
$\Rightarrow E \cap g = ⌀$
2. Möglichkeit
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$
Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprofukt ausrechnen.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ \vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) = 0 \\ x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} - (1 \cdot 0 + (- 1) \cdot (- 1) + (- 3) \cdot (- 1)) = 0 \end{array}$
Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.
$\Rightarrow E : x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} = 4$
Gerade in die Koordinatenform einsetzen.
$(3 + r) - (1 - 2 r) - 3 \cdot (- 1 + r) = 4$
$3 + r - 1 + 2 r + 3 - 3 r = 4$
$5 = 4$
Ist für kein r erfüllt. Also gibt es keinen gemeinsamen Punkt.
$\Rightarrow E \cap g = ⌀$
Ebene und Gerade sind parallel.

$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
1. Möglichkeit
$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
Setze g in E ein.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0 \\ (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 + 2 r \\ 2 - r \\ - 2 r \end{array}) = 0 \end{array}$
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r Aufzulösen.
$\begin{array}{l} 2 (- 2 + 2 r) - 3 (2 - r) - 2 r = 0 \\ \Rightarrow r = 2 \end{array}$
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$\vec{O S} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S (3 | 0 | - 3)$
$\Rightarrow E_{1} \cap g = (3 | 0 | - 3)$
2. Möglichkeit
$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$
Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ \vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = 0 \\ 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - (2 \cdot 1 + 0 + 1 \cdot 1) = 0 \end{array}$
Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite, um die Koordinatenform zu erhalten.
$\Rightarrow E : 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = 3$
$E : 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} + x_{3} = 3$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
Setze g in E ein.
$2 \cdot (- 1 + 2 r) - 3 \cdot (2 - r) + (1 - 2 r) = 3$
Löse nach r auf.
$\begin{array}{l} - 7 + 5 r = 3 \\ \Rightarrow r = 2 \end{array}$
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$\vec{O S} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S (3 | 0 | - 3)$
$\Rightarrow E_{1} \cap g = S (3 | 0 | - 3)$

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 3 = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 3 = 0$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
Setze g in E ein.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})] - 3 = 0 | + 3 \\ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 r \\ 1 - 2 r \\ - 1 - r \end{array}) = 3 \end{array}$
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
$\begin{array}{l} 3 r + 2 (1 - 2 r) - (- 1 - r) = 3 \\ \Rightarrow 3 = 3 \end{array}$
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.
Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.
$\Rightarrow$ Die Gerade g liegt in der Ebene E. $\Rightarrow E \cap g = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$

$E : (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 6 = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E : (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 6 = 0$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array})$
Setze g in E ein.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array})] + 6 = 0 | - 6 \\ (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 9 + 4 r \\ - 4 \\ 20 - 6 r \end{array}) = - 6 \end{array}$
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
$\begin{array}{l} 3 (- 9 + 4 r) - 4 - (20 - 6 r) = - 6 \\ \Rightarrow r = 2,5 \end{array}$
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$\vec{O S} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + 2,5 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 5 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S (1 | - 4 | 5)$
$\Rightarrow E \cap g = (1 | - 4 | 5)$

$E : x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 1 = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E : x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 1 = 0$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
Setze g in E ein.
$(2 - r) - 3 \cdot (1 + r) + 2 \cdot (1 + 2 r) - 1 = 0$
Versuche nach r aufzulösen.
$\begin{array}{l} 2 - r - 3 - 3 r + 2 + 4 r - 1 = 0 \\ \Rightarrow 0 = 0 \end{array}$
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene E.
$\Rightarrow$ Alle Punkte der Gerade liegen in E.
$\Rightarrow$ Die Gerade liegt in der Ebene.
$\Rightarrow E \cap g = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$

$E : x_{1} + x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 11 = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E : x_{1} + x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 11 = 0$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
Setze g in E ein.
$(1 + 2 r) + (3 + r) + 2 \cdot (2) - 11 = 0$
Löse nach r auf.
$\begin{array}{l} - 3 + 3 r = 0 \\ \Rightarrow r = 1 \end{array}$
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$\vec{O S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S (3 | 4 | 2)$
$\Rightarrow E \cap g = (3 | 4 | 2)$
2
Gegeben sind im $ℝ^{3}$ die Ebene $E : x_{1} - k \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 4 = 0$ mit $k \neq 0$ und die Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ .
Bestimme k so, dass g parallel zu E verläuft. Liegt dann die Gerade g in der Ebene E?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehnung einer Geraden mit einer Ebene
$E : x_{1} - k \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 4 = 0$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
Um den richtigen Wert für k zu ermitteln, geht man erst mal so vor, als sei kein Parameter vorhanden und setzt g in E ein.
$(1 + 3 r) - k \cdot (2 + 2 r) + 2 \cdot (3 + r) - 4 = 0$
$3 - 2 k + r (5 - 2 k) = 0$
Damit g parallel zu E ist, muss sich r aus der Gleichung raus kürzen.
$\Rightarrow 5 - 2 k = 0$
$\Rightarrow k = 2,5$
Jetzt stellt sich noch die Frage ob g zu E echt parrallel ist oder in E liegt. Hierfür setzen wir k in die Gleichung ein.
$\begin{array}{l} 3 - 2 \cdot 2,5 + r \cdot (5 - 2 \cdot 2,5) = 0 \\ \Rightarrow - 2 = 0 \end{array}$
Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade echt parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.
$\Rightarrow$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
$\Rightarrow E \cap g = ⌀$
3
Gegeben sind im $ℝ^{3}$ die Ebene $E : x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} - a = 0$ ( $a \in ℝ$ ) und die Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} k \\ 1 \\ - 2 \end{array})$ mit $k \in ℝ$ .
Bestimme für $a = 4$ den Parameter k so, dass g parallel zu E verläuft. Begründe, dass dann g und E keinen Punkt gemeinsam haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E : x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} - a = 0$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} k \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
$a = 4$
Um den richtigen Wert für $k$ zu ermitteln, geht man erst mal so vor als sei kein Parameter vorhanden und setzt $g$ in $E$ mit $a = 4$ ein.
$(1 + r \cdot k) - 3 \cdot (0 + r) + 2 \cdot (2 - 2 r) - 4 = 0$
$1 + r \cdot (k - 7) = 0$
Damit $g$ parallel zu $E$ ist, muss sich $r$ aus der Gleichung raus kürzen.
Nach dem Vereinfachen kann man $r$ ausklammern und $k$ so ermitteln, dass $r$ verschwindet.
$\begin{array}{l} \Rightarrow k - 7 = 0 \\ \Rightarrow k = 7 \end{array}$
Jetzt stellt sich noch die Frage ob $g$ zu $E$ echt parrallel ist oder in $E$ liegt. Hierfür setzen wir $k$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}{l} 1 + r \cdot (7 - 7) = 0 \\ \Rightarrow 1 = 0 \end{array}$
Da für kein $r$ die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade echt parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.
$\Rightarrow$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
$\Rightarrow E \cap g = ⌀$

Es gelte $k = 7$ , also verläuft g parallel zu E. Bestimme Parameter a so, dass g in E liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E : x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} - a = 0$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} k \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
$k = 7$
Um den richtigen Wert für $a$ zu ermitteln, geht man erst mal so vor als sei kein Parameter vorhanden und setzt $g$ in $E$ mit $k = 7$ ein.
$(1 + r \cdot 7) - 3 \cdot (0 + r) + 2 \cdot (2 - 2 r) - a = 0$
Damit $g$ in $E$ liegt, muss $a$ so gewählt sein, dass für alle $r$ die Gleichung erfüllt ist. Da sich $r$ rauskürzt, muss man die Gleichung nur noch nach $a$ auflösen.
$\begin{array}{l} 1 + 7 r - 3 r + 4 - 4 r - a = 0 \\ \Rightarrow a = 5 \end{array}$
Für $a = 5$ (und $k = 7$ ) liegt die Gerade in der Ebene.
4
Gegeben ist im $ℝ^{3}$ die Ebene $E : 2 \cdot x_{1} - x_{3} - 3 = 0$ .
Gib eine Gerade $g$ an, die ganz in $E$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen einer Gerade und einer Ebene
Die allgemeine Geradengleichung lautet $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} d \\ e \\ f \end{array})$
Wenn $g$ in $E$ liegen soll, muss der Stützvektor der Geraden die Ebenengleichung erfüllen
Also: $2 a - c = 3$ $\Rightarrow$ $c = 2 a - 3$
Diese vorläufige Geradengleichung kann nun in $E$ eingesetzt werden:
$2 (a + d \cdot r) - (c + f \cdot r) = 3$
$ \Leftrightarrow 2 a + 2 d \cdot r - c - f \cdot r = 3$
Da bekannt ist, dass $2 a - c = 3$ :
$3 + 2 d \cdot r - f \cdot r = 3$
Demnach muss $2 d \cdot r - f \cdot r = 0$ sein, also $2 d \cdot r = f \cdot r = > 2 d = f$ , denn es muss ja für alle $r$ gelten.
Da $b$ und $e$ keinen Bedingungen unterliegen, sind diese beiden frei aus $ℝ$ wählbar.
Alle Geraden $g,$ die in $E$ liegen, haben also die Form $\vec{x} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ 2 \cdot a - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} d \\ e \\ 2 \cdot d \end{array})$ mit a;b;d;e; aus $ℝ$ , $d$ und $e$ nicht beide Null.
Eine Lösung ist zum Beispiel $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + r (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$ .
Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen $F_{1}$ und $F_{2}$ zu bestimmen.

Gib zwei von E verschiedene Ebenen $F_{1}$ und $F_{2}$ an, die ebenfalls g enthalten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen einer Gerade und einer Ebene
Werden in der Gleichung der Geraden $b = e = 0$ gewählt, erhältst du mögliche Ebenen $F_{1}$ und $F_{2}$ aus
$2 x_{1} + n x_{2} - x_{3} = 3$ mit $n$ aus $ℝ ∖ {0}$ , da sich $x_{2}$ aus jeglichen Gleichungen herauskürzt.
Zum Beispiel sind $F_{1} : 2 x_{1} + x_{2} - x_{3} = 3$ und $F_{2} : 2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 3$ Lösungen.
Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen $F_{1}$ und $F_{2}$ zu bestimmen.

Gib eine Gerade $k$ so an, dass $k$ in $F_{1}$ liegt und $E$ nicht schneidet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen einer Gerade und einer Ebene
In diesem Teil der Aufgabe gehen wir wieder von einer allgemeinen Ebene $F_{1} : 2 x_{1} + n x_{2} - x_{3} = 0$ mit $n \neq 0$ aus.
Damit $k$ und $E$ keinen Schnittpunkt haben, müssen sie parallel sein, also muss der Richtungsvektor $\vec{k}$ der Geraden $k$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E$ stehen, der sich einfach aus der Ebenengleichung ablesen lässt.
Für $k$ wählen wir wieder die Darstellung $k : \vec{x} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} d \\ e \\ f \end{array})$ .
Mit $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ und $\vec{k} = (\begin{array}{c} d \\ e \\ f \end{array})$ ist
$\vec{k} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot d - 1 \cdot f = 0 \Rightarrow f = 2 d$ .
Damit $k$ nun in $F_{1}$ liegt, kann die vorläufige Geradengleichung hier eingesetzt werden:
$2 (a + d \cdot r) + n (b + e \cdot r) - (c + f \cdot r) = 3$
Mit $f = 2 d$ gilt:
$2 a + 2 d r + n b + n e r - c - 2 d r = 3 \to$
$2 a + n b + n e r - c = 3$ .
Da $k$ in $F_{1}$ liegen soll, muss $r$ aus der Gleichung eliminiert werden, demnach muss $e = 0$ sein.
Also gilt $2 a + n b - 3 = c$ , dabei sind $a$ und $b$ frei wählbar aus $ℝ$
Für $k$ , die in $F_{1}$ liegt und dabei $E$ nicht schneidet, gilt demnach:
Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen $F_{1}$ und $F_{2}$ zu bestimmen.

Gegeben sind eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ mit:

$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$ und $E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

Untersuche die Lage der Geraden $g$ bezüglich der Ebene $E$ .

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$(\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$	$- (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array})$
	↓	Sortiere. Bringe die Vektoren auf die linke Gleichungsseite und die Vektoren mit Parametern auf die rechte Gleichungsseite.
$(\begin{array}{c} - 6 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$	$=$	$+ s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$	$- r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$
$(\begin{array}{c} - 6 \\ - 5 \\ 0 \end{array})$	$=$	$- r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

1. Möglichkeit (g in E einsetzen)

2. Möglichkeit (Ebene von Normalform in Koordinatenform)

1. Möglichkeit

2. Möglichkeit

1. Möglichkeit

2. Möglichkeit