Mathe Geometrie Analytische Geometrie Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen Lagebeziehung einer Geraden und einer Ebene Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Gegeben sind eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ mit:

$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$ und $E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

Untersuche die Lage der Geraden $g$ bezüglich der Ebene $E$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

Setze $g = E$ :

$(\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$	$- (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array})$
	↓	Sortiere. Bringe die Vektoren auf die linke Gleichungsseite und die Vektoren mit Parametern auf die rechte Gleichungsseite.
$(\begin{array}{c} - 6 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$	$=$	$+ s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$	$- r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$
$(\begin{array}{c} - 6 \\ - 5 \\ 0 \end{array})$	$=$	$- r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

Du hast ein lineares Gleichungssystem mit $3$ Variablen erhalten, das z.B. mit dem Additionsverfahren gelöst werden kann.

$\begin{array}{ccccc} I & - 6 \cdot r & + & 0 \cdot s & + & 6 \cdot t & = - 6 \\ II & 4 \cdot r & + & 3 \cdot s & + & 2 \cdot t & = - 5 \\ III & - 1 \cdot r & - & 1 \cdot s & - & 1 \cdot t & = 0 \end{array}$

Rechne $II + 3 \cdot III$ :

$\begin{array}{l} \begin{array}{ccccc} II & 4 \cdot r & + & 3 \cdot s & + & 2 \cdot t & = - 5 \\ + 3 \cdot III & - 3 \cdot r & - & 3 \cdot s & - & 3 \cdot t & = 0 \end{array} \\ IV 1 \cdot r + 0 \cdot s - 1 \cdot t = - 5 \end{array}$

Rechne $I : (- 6)$ $\Rightarrow V 1 \cdot r + 0 \cdot s - 1 \cdot t = 1$

Rechne $IV - V$ :

$\begin{array}{l} \begin{array}{ccccc} IV & 1 \cdot r & + & 0 \cdot s & - & 1 \cdot t & = - 5 \\ - V & 1 \cdot r & + & 0 \cdot s & - & 1 \cdot t & = 1 \end{array} \\ 0 \cdot r + 0 \cdot s + 0 \cdot t = - 6 \end{array}$

$\Rightarrow 0 = - 6$

Du hast eine falsche Aussage erhalten. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich nicht. Die Gerade und Ebene verlaufen parallel zueinander.

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