Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

$\mathrm{E}:x_1-3\cdot x_2+2\cdot x_3-\mathrm{a}=0$

$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}k\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

$\mathrm{a}=4$

Um den richtigen Wert für $k$ zu ermitteln, geht man erst mal so vor als sei kein Parameter vorhanden und setzt $g$ in $E$ mit $a=4$ ein.

$(1+r\cdot k)-3\cdot (0+r)+2\cdot (2-2r)-4=0$

$1+r\cdot (k-7)=0$

Damit $g$ parallel zu $E$ ist, muss sich $r$ aus der Gleichung raus kürzen.

Nach dem Vereinfachen kann man $r$ ausklammern und $k$ so ermitteln, dass $r$ verschwindet.

$\begin{array}{l}\Rightarrow k-7=0\\ \Rightarrow k=7\end{array}$

Jetzt stellt sich noch die Frage ob $g$ zu $E$ echt parrallel ist oder in $E$ liegt. Hierfür setzen wir $k$ in die Gleichung ein.

$\begin{array}{l}1+r\cdot (7-7)=0\\ \Rightarrow 1=0\end{array}$

Da für kein $r$ die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade echt parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.

$\Rightarrow$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.

$\Rightarrow \mathrm{E}\cap \mathrm{g}=⌀$

$\mathrm{E}:x_1-3\cdot x_2+2\cdot x_3-\mathrm{a}=0$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}k\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

$\mathrm{k}=7$

Um den richtigen Wert für $a$ zu ermitteln, geht man erst mal so vor als sei kein Parameter vorhanden und setzt $g$ in $E$ mit $k=7$ ein.

$(1+r\cdot 7)-3\cdot (0+r)+2\cdot (2-2r)-a=0$

Damit $g$ in $E$ liegt, muss $a$ so gewählt sein, dass für alle $r$ die Gleichung erfüllt ist. Da sich $r$ rauskürzt, muss man die Gleichung nur noch nach $a$ auflösen.

$\begin{array}{l}1+7\mathrm{r}-3\mathrm{r}+4-4\mathrm{r}-\mathrm{a}=0\\ \Rightarrow \mathrm{a}=5\end{array}$

Für $a=5$ (und $k=7$) liegt die Gerade in der Ebene.