Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Bestimme jeweils die Schnittmenge von Ebene und Gerade.

$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = - 3$ und $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = - 3$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$
Setze $g$ in $E_{1}$ ein.
$(3 + r \cdot 1) + (4 + r \cdot 1) - 2 \cdot (9 + r \cdot 3) = - 3$
Vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.
$- 4 \cdot r - 11 = - 3$
$\Rightarrow r = - 2$
Da für $r$ ein reeller Wert rauskommt, schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze $r$ in $g$ ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + (- 2) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S (1 | 2 | 3)$
$\Rightarrow E_{1} \cap g = S (1 | 2 | 3)$
$E_{1} : x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 8$ und $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E_{1} : x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 8$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
Setze $g$ in $E_{1}$ ein.
$(0 + r \cdot 1) - (0 + r \cdot 2) + 2 \cdot (2 + r \cdot - 1) = - 8$
Vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.
$- 3 \cdot r + 4 = - 8$
$\Rightarrow r = 4$
Da für $r$ ein reeler Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze $r$ in $g$ ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$S = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 2 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S = (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 2 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S = (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 2 \end{array})$
$\Rightarrow E_{1} \cap g = (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 2 \end{array})$
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 2$ und $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 2$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
Setze g in $E_{1}$ ein und vereinfache soweit wie möglich und löse nach $r$ auf.
$(1 + r \cdot 4) + (3 + r \cdot 2) - 2 \cdot (2 + r \cdot 3) = 2$
$1 + 4 \cdot r + 3 + 2 \cdot r - 4 - 6 \cdot r = 2$
$\Rightarrow 0 = 2$
Da für kein $r$ die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade parallel und haben keinen Schnittpunkt.
$\Rightarrow$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
$\Rightarrow E_{1} \cap g = ⌀$
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 0$ und $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 0$
und $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
Setze g in $E_{1}$ ein.**
$(1 + 4 r) + (3 + 2 r) - 2 \cdot (2 + 3 r) = 0$
Versuche nach r aufzulösen.
$\begin{array}{l} 1 + 4 r + 3 + 2 r - 4 - 6 r = 0 \\ \Rightarrow 0 = 0 \end{array}$
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene $E_{1}$ .
$\Rightarrow$ Alle Punkte der Gerade liegen in $E_{1}$ .
$\Rightarrow$ Die Gerade liegt in der Ebene.
$\Rightarrow E_{1} \cap g = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
1. Möglichkeit (g in E einsetzen)
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
Setze g in E ein.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0 \\ (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 + r \\ - r \\ 1 - 2 r \end{array}) = 0 \end{array}$
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r Aufzulösen.
$\begin{array}{l} (1 + r) - 3 r - (1 - 2 r) = 0 \\ \Rightarrow 0 = 0 \end{array}$
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.
Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.
$\Rightarrow$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.
$\Rightarrow E \cap g = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
2. Möglichkeit (Ebene von Normalform in Koordinatenform)
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$
Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = 0 \\ x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} - (1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot (- 1)) = 0 \end{array}$
Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.
$\Rightarrow E : x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} = 4$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
$(2 + r) + 3 \cdot (1 - r) - (1 - 2 r) = 4$
Setze g in die Koordinatenform ein
$2 + r + 3 - 3 r - 1 + 2 r = 4$
$\Rightarrow 4 = 4$
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene $E_{1}$ .
$\Rightarrow$ Die Gerade g liegt in der Ebene E.
$\Rightarrow E \cap g = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
1. Möglichkeit
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Setze g in E ein.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0 \\ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 + r \\ 2 - 2 r \\ r \end{array}) = 0 \end{array}$
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
$\begin{array}{l} 3 + r - (2 - 2 r) - 3 r = 0 \\ \Rightarrow 1 = 0 \end{array}$
Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade parallel und haben keinen Schnittpunkt.
$\Rightarrow$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.
$\Rightarrow E \cap g = ⌀$
2. Möglichkeit
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$
Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprofukt ausrechnen.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ \vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) = 0 \\ x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} - (1 \cdot 0 + (- 1) \cdot (- 1) + (- 3) \cdot (- 1)) = 0 \end{array}$
Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite um die Koordinatenform zu erhalten.
$\Rightarrow E : x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} = 4$
Gerade in die Koordinatenform einsetzen.
$(3 + r) - (1 - 2 r) - 3 \cdot (- 1 + r) = 4$
$3 + r - 1 + 2 r + 3 - 3 r = 4$
$5 = 4$
Ist für kein r erfüllt. Also gibt es keinen gemeinsamen Punkt.
$\Rightarrow E \cap g = ⌀$
Ebene und Gerade sind parallel.
$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
1. Möglichkeit
$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
Setze g in E ein.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0 \\ (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 + 2 r \\ 2 - r \\ - 2 r \end{array}) = 0 \end{array}$
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r Aufzulösen.
$\begin{array}{l} 2 (- 2 + 2 r) - 3 (2 - r) - 2 r = 0 \\ \Rightarrow r = 2 \end{array}$
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$\vec{O S} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S (3 | 0 | - 3)$
$\Rightarrow E_{1} \cap g = (3 | 0 | - 3)$
2. Möglichkeit
$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$
Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und das Skalarprodukt ausrechnen.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ \vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = 0 \\ 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - (2 \cdot 1 + 0 + 1 \cdot 1) = 0 \end{array}$
Die Gleichung zusammenfassen und alle Koordinaten auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite, um die Koordinatenform zu erhalten.
$\Rightarrow E : 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = 3$
$E : 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} + x_{3} = 3$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
Setze g in E ein.
$2 \cdot (- 1 + 2 r) - 3 \cdot (2 - r) + (1 - 2 r) = 3$
Löse nach r auf.
$\begin{array}{l} - 7 + 5 r = 3 \\ \Rightarrow r = 2 \end{array}$
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$\vec{O S} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S (3 | 0 | - 3)$
$\Rightarrow E_{1} \cap g = S (3 | 0 | - 3)$
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 3 = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 3 = 0$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
Setze g in E ein.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})] - 3 = 0 | + 3 \\ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 r \\ 1 - 2 r \\ - 1 - r \end{array}) = 3 \end{array}$
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
$\begin{array}{l} 3 r + 2 (1 - 2 r) - (- 1 - r) = 3 \\ \Rightarrow 3 = 3 \end{array}$
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist,liegt die Gerade in der Ebene.
Deshalb liegen alle Koordinaten der Gerade in E.
$\Rightarrow$ Die Gerade g liegt in der Ebene E. $\Rightarrow E \cap g = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
$E : (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 6 = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E : (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 6 = 0$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array})$
Setze g in E ein.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array})] + 6 = 0 | - 6 \\ (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 9 + 4 r \\ - 4 \\ 20 - 6 r \end{array}) = - 6 \end{array}$
Löse das Skalarprodukt auf und versuche nach r aufzulösen.
$\begin{array}{l} 3 (- 9 + 4 r) - 4 - (20 - 6 r) = - 6 \\ \Rightarrow r = 2,5 \end{array}$
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$\vec{O S} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + 2,5 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 5 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S (1 | - 4 | 5)$
$\Rightarrow E \cap g = (1 | - 4 | 5)$
$E : x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 1 = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E : x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 1 = 0$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
Setze g in E ein.
$(2 - r) - 3 \cdot (1 + r) + 2 \cdot (1 + 2 r) - 1 = 0$
Versuche nach r aufzulösen.
$\begin{array}{l} 2 - r - 3 - 3 r + 2 + 4 r - 1 = 0 \\ \Rightarrow 0 = 0 \end{array}$
Da für alle r die Bedingung erfüllt ist, liegt die Gerade g in der Ebene E.
$\Rightarrow$ Alle Punkte der Gerade liegen in E.
$\Rightarrow$ Die Gerade liegt in der Ebene.
$\Rightarrow E \cap g = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
$E : x_{1} + x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 11 = 0$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
$E : x_{1} + x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 11 = 0$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
Setze g in E ein.
$(1 + 2 r) + (3 + r) + 2 \cdot (2) - 11 = 0$
Löse nach r auf.
$\begin{array}{l} - 3 + 3 r = 0 \\ \Rightarrow r = 1 \end{array}$
Da für r ein reeller Wert rauskommt schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Setze r in g ein um den Schnittpunkt zu erhalten.
$\vec{O S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array})$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S (3 | 4 | 2)$
$\Rightarrow E \cap g = (3 | 4 | 2)$

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Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

1. Möglichkeit (g in E einsetzen)

2. Möglichkeit (Ebene von Normalform in Koordinatenform)

1. Möglichkeit

2. Möglichkeit

1. Möglichkeit

2. Möglichkeit