Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

$\mathrm{E}:x_1-k\cdot x_2+2\cdot x_3-4=0$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Um den richtigen Wert für k zu ermitteln, geht man erst mal so vor, als sei kein Parameter vorhanden und setzt g in E ein.

$(1+3r)-k\cdot (2+2r)+2\cdot (3+r)-4=0$

$3-2k+r(5-2k)=0$

Damit g parallel zu E ist, muss sich r aus der Gleichung raus kürzen.

$\Rightarrow 5-2\mathrm{k}=0$

$\Rightarrow \mathrm{k}=\mathrm{2,5}$

Jetzt stellt sich noch die Frage ob g zu E echt parrallel ist oder in E liegt. Hierfür setzen wir k in die Gleichung ein.

$\begin{array}{l}3-2\cdot \mathrm{2,5}+r\cdot (5-2\cdot \mathrm{2,5})=0\\ \Rightarrow -2=0\end{array}$

Da für kein r die Bedingung erfüllt ist, sind die Ebene und die Gerade echt parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.

$\Rightarrow$ Die Gerade und die Ebene sind parallel.

$\Rightarrow E\cap \mathrm{g}=⌀$